Álgebra: definición, ejemplos, ecuaciones y aplicaciones

Las primeras formas de álgebra fueron desarrolladas por los babilonios y los geómetras griegos como Héroe de Alejandría. Sin embargo, la palabra "álgebra" es una forma latina de la palabra árabe Al-Jabr ("fundición") y proviene de un libro de matemáticas Al-Maqala fi Hisab-al Jabr wa-al-Muqabilah, ("Ensayo sobre el cálculo de la fundición y la ecuación") escrito en el siglo IX por un matemático persa, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, que era un musulmán nacido en Khwarizm, en Uzbekistán. Floreció bajo el mando de Al-Ma'moun en Bagdad, Irak, entre el 813 y el 833 d.C., y murió alrededor del 840 d.C. El libro fue llevado a Europa y traducido al latín en el siglo XII. El libro recibió entonces el nombre de "Álgebra". (La terminación del nombre del matemático, al-Khwarizmi, se cambió por una palabra más fácil de pronunciar en latín, y se convirtió en la palabra inglesa algorithm).

He aquí un ejemplo sencillo de un problema de álgebra:

Sue tiene 12 caramelos y Ana tiene 24 caramelos. Deciden compartirlos para tener el mismo número de caramelos. ¿Cuántos caramelos tendrá cada una?

Estos son los pasos que puede utilizar para resolver el problema:

1. Para tener el mismo número de caramelos, Ann tiene que dar algunos a Sue. Dejemos que x {\displaystyle x} represente el número de caramelos que Ann le da a Sue.
2. Los caramelos de Sue, más x {\displaystyle x} , deben ser los mismos que los caramelos de Ann menos x {\displaystyle x} . Esto se escribe como 12 + x = 24 - x {\displaystyle 12+x=24-x}
3. Reste 12 a ambos lados de la ecuación. Esto da: x = 12 - x {\displaystyle x=12-x} . (Lo que ocurre en un lado del signo igual debe ocurrir también en el otro lado, para que la ecuación siga siendo cierta. Así que en este caso, cuando se restó 12 a ambos lados, hubo un paso intermedio de 12 + x - 12 = 24 - x - 12 {\displaystyle 12+x-12=24-x-12} . Después de que una persona se sienta cómoda con esto, el paso del medio no se escribe).
4. Añada x {\displaystyle x} a ambos lados de la ecuación. Esto da: 2 x = 12 {\displaystyle 2x=12}
5. Divida ambos lados de la ecuación por 2. Esto da x = 6 {\displaystyle x=6} . La respuesta es 6. Esto significa que si Ana le da a Sue 6 caramelos, tendrán el mismo número de caramelos.
6. Para comprobarlo, vuelva a poner 6 en la ecuación original donde x {\displaystyle x} era: 12 + 6 = 24 - 6 {\displaystyle 12+6=24-6}
7. Esto da 18 = 18 {\Ndice 18=18} , lo que es cierto. Ahora cada uno tiene 18 caramelos.

Con la práctica, el álgebra puede utilizarse cuando se enfrenta a un problema que es demasiado difícil de resolver de otra manera. Problemas como la construcción de una autopista, el diseño de un teléfono móvil o la búsqueda de la cura de una enfermedad requieren el álgebra.

Como en la mayoría de las matemáticas, la suma de y {\displaystyle y} a z {\displaystyle z} (o y {\displaystyle y} más z {\displaystyle z} ) se escribe como y + z {\displaystyle y+z} ;

La sustracción de z {\año z} de y {\año y} (o y {\año y} menos z {\año z} ) se escribe como y - z {\año y-z} ;

y dividiendo y {\displaystyle y} entre z {\displaystyle z} (o y {\displaystyle y} sobre z {\displaystyle z} ) se escribe como y / z {\displaystyle y/z} o y z {\displaystyle y \ sobre z} .

En álgebra, multiplicar y {\displaystyle y} por z {\displaystyle z} (o y {\displaystyle y} por z {\displaystyle z} ) puede escribirse de 3 formas diferentes: y ⋅ z {\displaystyle y\cdot z} , y ( z ) {\displaystyle y(z)} o simplemente y z {\displaystyle yz} . Todas estas notaciones significan lo mismo: y {\displaystyle y} por z {\displaystyle z} . El símbolo " × {\displaystyle \times } " que se utiliza en aritmética no se usa en álgebra, porque se parece demasiado a la letra x {\displaystyle x} , que a menudo se utiliza como variable.

Cuando multiplicamos un número y una variable en álgebra, podemos escribir simplemente el número delante de la letra: 5 ⋅ y ⟺ 5 y {\cdot 5\cdot 5y} . Cuando el número es 1, entonces no se escribe porque 1 veces cualquier número es ese número ( 1 ⋅ y = y {\displaystyle 1\cdot y=y} ) y por tanto no es necesario. Y cuando es 0, podemos eliminar completamente los términos, porque 0 veces cualquier número es cero ( 0 ⋅ y = 0 {\displaystyle 0\cdot y=0} ).

Como nota al margen, no es necesario utilizar las letras x {\displaystyle x} o y {\displaystyle y} en álgebra. Las variables son sólo símbolos que significan algún número o valor desconocido, así que puede utilizar cualquier letra para una variable (excepto e {\displaystyle e} (número de Euler) e i {\displaystyle i} (unidad imaginaria), porque son constantes matemáticas). Sin embargo, x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} son las más comunes.

Una parte importante del álgebra es el estudio de las funciones, ya que a menudo aparecen en las ecuaciones que intentamos resolver. Una función es como una máquina en la que se puede introducir un número (o varios) y obtener un número (o varios) determinado. Cuando se utilizan funciones, las gráficas pueden ser herramientas poderosas para ayudarnos a estudiar las soluciones de las ecuaciones.

Un gráfico es una imagen que muestra todos los valores de las variables que hacen que la ecuación o la desigualdad sean verdaderas. Normalmente es fácil de hacer cuando sólo hay una o dos variables. La gráfica suele ser una línea, y si la línea no se curva ni va en línea recta hacia arriba y hacia abajo, puede describirse mediante la fórmula básica y = m x + b {\displaystyle y=mx+b} . La variable b {\displaystyle b} es la intersección y de la gráfica (donde la línea cruza el eje vertical) y m {\displaystyle m} es la pendiente o inclinación de la línea. Esta fórmula se aplica a las coordenadas de una gráfica, donde cada punto de la línea se escribe ( x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} ).

En algunos problemas matemáticos como la ecuación de una recta, puede haber más de una variable ( x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} en este caso). Para encontrar los puntos de la recta, se cambia una variable. La variable que se cambia se llama variable "independiente". A continuación, se hacen las cuentas para obtener un número. El número que se hace se llama la variable "dependiente". La mayoría de las veces la variable independiente se escribe como x {\displaystyle x} y la variable dependiente se escribe como y {\displaystyle y} , por ejemplo, en y = 3 x + 1 {\displaystyle y=3x+1} . Esto se suele poner en un gráfico, utilizando un eje x {\displaystyle x} (que va a la izquierda y a la derecha) y un eje y {\displaystyle y} (que va hacia arriba y hacia abajo). También se puede escribir en forma de función: f ( x ) = 3 x + 1 {\displaystyle f(x)=3x+1} . Así que en este ejemplo, podríamos poner 5 para x {\displaystyle x} y obtener y = 16 {\displaystyle y=16} . Si ponemos 2 para x {\displaystyle x} obtendríamos y = 7 {\displaystyle y=7} . Y 0 para x {\displaystyle x} obtendría y = 1 {\displaystyle y=1} . Así que habría una línea que pasaría por los puntos (5,16), (2,7) y (0,1) como se ve en la gráfica de la derecha.

Si x {\displaystyle x} tiene una potencia de 1, es una línea recta. Si es cuadrada o alguna otra potencia, será curva. Si utiliza una desigualdad ( < {\displaystyle <} o > {\displaystyle >} ), entonces normalmente parte de la gráfica está sombreada, ya sea por encima o por debajo de la línea.

En el álgebra, hay algunas reglas que se pueden utilizar para comprender mejor las ecuaciones. Son las llamadas reglas del álgebra. Aunque estas reglas pueden parecer sin sentido u obvias, es conveniente comprender que estas propiedades no se mantienen en todas las ramas de las matemáticas. Por lo tanto, será útil conocer cómo se declaran estas reglas axiomáticas, antes de darlas por sentadas. Antes de pasar a las reglas, reflexione sobre dos definiciones que se darán.

1. Opuesto: lo opuesto a un {\displaystyle a} es - un {\displaystyle -a} .
2. Recíproco: el recíproco de un {\displaystyle a} es 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}} .

Propiedad conmutativa de la suma

'Conmutativo' significa que una función tiene el mismo resultado si se intercambian los números. En otras palabras, el orden de los términos en una ecuación no importa. Cuando se suman dos términos (sumandos), se aplica la "propiedad conmutativa de la suma". En términos algebraicos, esto da a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} .

Obsérvese que esto no se aplica para la resta (es decir, a - b ≠ b - a {\displaystyle a-b\neq b-a} excepto si a = b {\displaystyle a=b} ).

Propiedad conmutativa de la multiplicación

Cuando se multiplican dos términos (factores), se aplica la "propiedad conmutativa de la multiplicación". En términos algebraicos, esto da a ⋅ b = b ⋅ a {\cdot a=b\cdot a} .

Obsérvese que esto no se aplica a la división (es decir, a b ≠ b a {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}). , cuando a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} y b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} , excepto si a = b {\displaystyle a=b} ).

Propiedad asociativa de la adición

El término "asociativo" se refiere a la agrupación de números. La propiedad asociativa de la suma implica que, al sumar tres o más términos, no importa cómo estén agrupados. Algebraicamente, esto da a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} . Observe que esto no se cumple para la resta, por ejemplo, 1 - ( 2 - 3 ) ≠ ( 1 - 2 ) - 3 {\displaystyle 1-(2-3)\neq (1-2)-3} (véase la propiedad distributiva).

Propiedad asociativa de la multiplicación

La propiedad asociativa de la multiplicación implica que, al multiplicar tres o más términos, no importa cómo se agrupen estos términos. Algebraicamente, esto da a ( b c ) = ( a b ) c {\displaystyle a(bc)=(ab)c} . Tenga en cuenta que esto no es válido para la división, por ejemplo, 1 / ( 2 / 4 ) ≠ ( 1 / 2 ) / 4 {\displaystyle 1/(2/4)\neq (1/2)/4} .

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva establece que la multiplicación de un término por otro puede ser distribuida. Por ejemplo: a ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a(b+c)=ab+ac} . (¡No confunda esto con las propiedades asociativas! Por ejemplo: a ( b + c ) ≠ ( a b ) + c {\displaystyle a(b+c)\neq (ab)+c} .)

Identidad aditiva

La "identidad" se refiere a la propiedad de un número de ser igual a sí mismo. En otras palabras, existe una operación de dos números para que sea igual a la variable de la suma. La propiedad de identidad aditiva afirma que cualquier número más 0 es ese número: a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} . Esto también es válido para la resta: a - 0 = a {\displaystyle a-0=a} .

Identidad multiplicativa

La propiedad de identidad multiplicativa afirma que cualquier número por 1 es ese número: a ⋅ 1 = a {\displaystyle a\cdot 1=a} . Esto también es válido para la división: a 1 = a {\displaystyle {\frac {a}{1}}=a} .

Propiedad inversa aditiva

La propiedad aditiva inversa es algo así como lo contrario de la identidad aditiva. Cuando sumamos un número y su opuesto, el resultado es 0. Algebraicamente, dice lo siguiente: a + - a = 0 {\displaystyle a+-a=0} , que es lo mismo que a - a = 0 {\displaystyle a-a=0} . Por ejemplo, el inverso aditivo (u opuesto) de 1 es -1.

Propiedad inversa multiplicativa

La propiedad inversa multiplicativa significa que cuando multiplicamos un número y su inverso, el resultado es 1. Algebraicamente, dice lo siguiente: a ⋅ 1 a = 1 {\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1} , que es lo mismo que a a = 1 {\displaystyle {\frac {a}{a}}=1} . Por ejemplo, la inversa multiplicativa (o simplemente inversa) de 2 es 1/2. Para obtener la inversa de una fracción, hay que intercambiar el numerador y el denominador: la inversa de 2 3 {displaystyle {\frac {2}{3}} es 3 2 {displaystyle {\frac {3}{2}} .

Además del "álgebra elemental", o álgebra básica, existen formas avanzadas de álgebra, que se enseñan en colegios y universidades, como el álgebra abstracta, el álgebra lineal y el álgebra universal. Esto incluye cómo utilizar una matriz para resolver muchas ecuaciones lineales a la vez. El álgebra abstracta es el estudio de las cosas que se encuentran en las ecuaciones, yendo más allá de los números hasta lo más abstracto con grupos de números.

Muchos problemas de matemáticas tienen que ver con la física y la ingeniería. En muchos de estos problemas de física el tiempo es una variable. La letra que se utiliza para el tiempo es t {\displaystyle t} . Utilizar las ideas básicas del álgebra puede ayudar a reducir un problema matemático a su forma más simple, lo que facilita la resolución de problemas difíciles. La energía es e {\displaystyle e} , la fuerza es f {\displaystyle f} , la masa es m {\displaystyle m} , la aceleración es a {\displaystyle a} y la velocidad de la luz es a veces c {\displaystyle c} . Esto se utiliza en algunas ecuaciones famosas, como f = m a {\displaystyle f=ma} y e = m c 2 {\displaystyle e=mc^{2}} (aunque se necesitó una matemática más compleja que el álgebra para llegar a esa última ecuación).

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