En matemáticas, una función es un objeto matemático que produce una salida, cuando se le da una entrada (que puede ser un número, un vector, o cualquier cosa que pueda existir dentro de un conjunto de cosas).

Así que una función es como una máquina, que toma un valor de x y devuelve una salida y. El conjunto de todos los valores que puede tener x se llama dominio, y el conjunto que contiene todos los valores que puede tener y se llama codominio. Una función se denota a menudo con letras cursivas, como f g, h {\displaystyle h} .

Si esto ocurre, entonces decimos que y es una función de x, y escribimos {\displaystyle y=f(x)} . Aquí, f es el nombre de la función, y se escribe (función de X a Y) para representar las tres partes de la función: el dominio (X), el codominio (Y) y el proceso de emparejamiento (la flecha).

Un ejemplo de función es {\displaystyle f(x)=x+1} . Uno da un número x como entrada, y obtiene un número natural y, que es {\displaystyle x+1} . Por ejemplo, dar 3 como entrada a f da como resultado una salida de 4.

Una función no tiene por qué ser una ecuación. La idea principal es que las entradas y salidas se emparejen de alguna manera, aunque el proceso pueda ser muy complicado.




 

Definición formal y idea clave

Formalmente, una función f de un conjunto X a un conjunto Y, denotada , es un conjunto de pares ordenados (x,y) con x en X e y en Y tal que para cada x en X existe exactamente un y en Y con (x,y) en f. Esa unicidad (una sola salida por cada entrada) es la propiedad esencial que distingue a una función de una simple relación.

Dominio, codominio y recorrido (rango)

Dominio: es el conjunto X de todas las entradas posibles para las que la función está definida.

Codominio: es el conjunto Y en el que "viven" las salidas permitidas según la definición de la función. No todas las elementos del codominio tienen por qué ser alcanzados.

Recorrido o imagen (rango): es el subconjunto de Y formado por las salidas efectivamente producidas: { y ∈ Y : existe x ∈ X con y = f(x) }. Es importante distinguir codominio (lo que se declara) de recorrido (lo que realmente se obtiene).

Notación y ejemplos básicos

Se acostumbra a escribir {\displaystyle y=f(x)}. Ejemplos sencillos:

  • f(x)=x+1: si X = N (números naturales) y Y = N, entonces f(3)=4.
  • g(x)=x^2: si X = R (reales) y Y = R, el recorrido es [0, ∞) aunque el codominio declarado sea R.
  • Función por partes: h(x)= { x^2 si x≥0; -x si x<0 } — muestra que la regla puede cambiar según la entrada.

Tipos importantes de funciones

  • Inyectiva (uno a uno): cada imagen tiene como mucho una preimagen distinta. Formalmente, f(x1)=f(x2) implica x1=x2.
  • Sobreyectiva (sobre): el recorrido coincide con el codominio; cada elemento del codominio es imagen de al menos una entrada.
  • Biyectiva: inyectiva y sobreyectiva a la vez; tiene una inversa bien definida f^{-1}:Y→X.
  • Constante: f(x)=c para todo x del dominio (no inyectiva salvo trivialmente si el dominio tiene una sola elemento).
  • Parcial: a veces se habla de función parcial cuando no está definida para todos los elementos de un conjunto dado.

Composición e inversa

Si f:X→Y y g:Y→Z son funciones, la composición g∘f es la función X→Z definida por (g∘f)(x)=g(f(x)).

Una función biyectiva f tiene una función inversa f^{-1}:Y→X que satisface f^{-1}(f(x))=x y f(f^{-1}(y))=y para todos los x en X y y en Y.

Cómo determinar dominio y recorrido (práctico)

  • Para funciones algebraicas dadas por fórmulas, el dominio suele ser todos los reales salvo restricciones: división por cero, raíces pares de números negativos, logaritmos de no positivos, etc.
  • Para el recorrido, se puede despejar la variable dependiente, estudiar la continuidad y límites, o analizar la monotonía y valores extremos.
  • Ejemplo: para f(x)=1/(x-2), dominio R\{2}; recorrido R\{0} porque 1/(x-2)=0 no tiene solución.

Representaciones y grafos

Una función puede representarse por fórmula, por tabla de valores, por descripción algorítmica, o por su grafo (conjunto de pares (x,f(x)) en el plano). En el caso de funciones reales de variable real, el grafo permite visualizar propiedades como continuidad, máximos, mínimos y asíntotas.

Conclusión y observaciones finales

La noción de función es central en matemáticas y aparece en muchas formas: funciones entre conjuntos arbitrarios, funciones vectoriales, operadores, transformadas, etc. Lo esencial es siempre la correspondencia unívoca de cada entrada (del dominio) con exactamente una salida (en el codominio). Entender dominio, codominio y recorrido, así como los tipos de función (inyectiva, sobreyectiva, biyectiva), es clave para trabajar con funciones y sus aplicaciones.