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Vector (matemáticas y física): definición, magnitud y dirección

Vector (matemáticas y física): definición clara de magnitud y dirección, ejemplos visuales y aplicaciones prácticas para entender y representar vectores fácilmente.

Autor: Leandro Alegsa Fecha de creación: 20 de diciembre de 2021 Última actualización: 21 de diciembre de 2025

simple.wikipedia.org · CC BY-SA 3.0

A vector

Un vector es un objeto matemático que tiene un tamaño, llamado magnitud, y una dirección. A menudo se representa con letras en negrita (como u } $\mathbf {u}$ , v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$ , w {\displaystyle \mathbf {w} } $\mathbf {w}$ ), o como un segmento de línea de un punto a otro (como en A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}} ${\overrightarrow {AB}}$ ).

Por ejemplo, un vector se utilizaría para mostrar la distancia y la dirección en la que se mueve algo. Al pedir direcciones, si uno dice "Camina un kilómetro hacia el Norte", eso sería un vector, pero si dicen "Camina un kilómetro", sin mostrar una dirección, entonces eso sería un escalar.

Normalmente dibujamos los vectores como flechas. La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector. La dirección a la que apunta la flecha es la dirección del vector.

Notación

Los vectores se pueden denotar de varias formas:

Negrita: v o v (cuando el formato lo permite).
Con una flecha: \u2192AB o {\overrightarrow{AB}} ${\overrightarrow {AB}}$ .
Componentes: en el plano, un vector se escribe como v = (vx, vy); en el espacio tridimensional, v = (vx, vy, vz).

Magnitud (norma)

La magnitud o norma de un vector v, indicada ||v||, es su longitud. Para un vector en 2 dimensiones v = (x, y):

||v|| = sqrt(x^2 + y^2).

En 3 dimensiones v = (x, y, z):

||v|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2).

La magnitud siempre es un número no negativo. El vector unitario en la dirección de v se obtiene dividiendo v por su magnitud: u = v / ||v|| (si ||v|| ≠ 0).

Dirección

La dirección de un vector puede describirse mediante un ángulo respecto a un eje de referencia (por ejemplo, el eje x) o por las proporciones entre sus componentes. Por ejemplo, en 2D el ángulo θ con el eje x satisface:

tan(θ) = y / x (con las consideraciones del cuadrante correspondiente).

Representación en coordenadas y vectores libres

Un vector puede representarse como un par o tripleta de números (componentes) respecto a una base ortogonal estándar: v = (v_x, v_y) o v = (v_x, v_y, v_z). En muchos contextos, los vectores son vectores libres, es decir, pueden trasladarse paralelamente sin cambiar su significado (lo importante es magnitud y dirección, no su punto de aplicación). En mecánica, en cambio, hay vectores ligados a un punto (por ejemplo, momentos) donde la posición importa.

Operaciones básicas

Suma: la suma de vectores se realiza componente a componente. Geométricamente, se puede usar la regla del paralelogramo o la regla del triángulo. Si a = (ax, ay) y b = (bx, by), entonces a + b = (ax + bx, ay + by).
Multiplicación por un escalar: λv = (λvx, λvy, ...). Si λ > 0 mantiene la dirección, si λ < 0 invierte la dirección; |λ| escala la magnitud.
Producto escalar (o punto): a · b = ax bx + ay by (+ az bz en 3D). También: a · b = ||a|| ||b|| cos(θ), donde θ es el ángulo entre a y b. El producto escalar permite calcular ángulos y proyecciones.
Proyección: la proyección de b sobre a es proj_a(b) = (a · b / ||a||^2) a.
Producto vectorial (en 3D): a × b es un vector perpendicular a ambos, con magnitud ||a|| ||b|| sin(θ) y dirección dada por la regla de la mano derecha. Se usa para torque, momentos y áreas orientadas.

Propiedades importantes

La suma de vectores es conmutativa (a + b = b + a) y asociativa ((a + b) + c = a + (b + c)).
Existencia del vector cero 0 (todas las componentes cero): a + 0 = a.
Cada vector tiene un opuesto −a tal que a + (−a) = 0.
Dos vectores son iguales si y sólo si tienen las mismas componentes (o, geométricamente, misma magnitud y misma dirección).

Vectores en física

En física, los vectores describen cantidades que requieren dirección y magnitud. Algunos ejemplos:

Velocidad: rapidez con dirección (ej. 50 km/h hacia el noreste).
Aceleración: cambio de velocidad por unidad de tiempo.
Fuerza: empuje o tracción con magnitud y dirección; la segunda ley de Newton F = m a se formula con vectores.
Campo eléctrico y magnético: vectores definidos en cada punto del espacio.

Ejemplos numéricos sencillos

Si v = (3, 4) entonces ||v|| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5. El vector unitario en la dirección de v es u = (3/5, 4/5).

Si a = (1, 2) y b = (3, 0):

a + b = (4, 2).
a · b = 1·3 + 2·0 = 3.
Proyección de b sobre a: proj_a(b) = (a·b / ||a||^2) a = (3 / (1^2+2^2)) a = (3/5) a = (3/5, 6/5).

Conceptos avanzados (breve)

Más adelante, en álgebra lineal, los vectores forman espacios vectoriales donde se estudian bases, dimensión, independencia lineal y transformaciones lineales. En análisis vectorial aparecen gradiente, divergencia y rotacional, que son operadores sobre campos vectoriales.

En resumen, los vectores son herramientas fundamentales en matemáticas y ciencias para describir magnitudes con dirección y para realizar operaciones geométricas y algebraicas que modelan fenómenos reales.

Ejemplos de vectores

Juan camina 20 metros hacia el norte. La dirección "norte" junto con la distancia "20 metros" es un vector.
Una manzana cae hacia abajo a 10 metros por segundo. La dirección "hacia abajo" combinada con la velocidad "10 metros por segundo" es un vector. Este tipo de vector también se llama velocidad.

Ejemplos de escalares

La distancia entre dos lugares es de 10 kilómetros. Esta distancia no es un vector porque no contiene una dirección.
El número de frutas en una caja no es un vector.
Una persona que señala no es un vector porque sólo hay una dirección. No hay magnitud (la distancia del dedo de la persona a un edificio, por ejemplo).
La longitud de un objeto.
Un coche circula a 100 kilómetros por hora. Esto no describe un vector, ya que sólo hay una magnitud, pero no una dirección.

Más ejemplos de vectores

El desplazamiento es un vector. El desplazamiento es la distancia que recorre algo en una dirección determinada. Una medida de distancia sola es un escalar.
La fuerza que incluye la dirección es un vector.
La velocidad es un vector, porque es una velocidad en una dirección determinada.
La aceleración es el índice de cambio de velocidad. Un objeto se acelera si cambia de velocidad o de dirección.

Cómo añadir vectores

Añadir vectores en el papel utilizando el método de la cabeza a la cola

El método de suma de vectores de cabeza a cola es útil para hacer una estimación sobre el papel del resultado de la suma de dos vectores. Para ello

Cada vector se dibuja como una flecha con una cantidad de longitud detrás, donde cada unidad de longitud en el papel representa una determinada magnitud del vector.
Dibuje el siguiente vector, con la cola(extremo) del segundo vector en la cabeza(frente) del primer vector.
Repita la operación para todos los vectores posteriores: Dibuje la cola del siguiente vector en la cabeza del anterior.
Dibuje una línea desde la cola del primer vector hasta la cabeza del último vector - esa es la resultante(suma) de todos los vectores.

Se llama método "Head to Tail", porque cada cabeza del vector anterior lleva a la cola del siguiente.

Uso de la forma de los componentes

^{[necesita ser explicado ]}

Utilizar la forma de componentes para sumar dos vectores significa literalmente sumar las componentes de los vectores para crear un nuevo vector. Por ejemplo, sean a y b dos vectores bidimensionales. Estos vectores pueden escribirse en términos de sus componentes.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})} $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y})$

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})} $\mathbf {b} =(b_{x},b_{y})$

Supongamos que c es la suma de estos dos vectores, de modo que c = a + b. Esto significa que c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} $\mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})$ .

He aquí un ejemplo de suma de dos vectores, utilizando sus formas componentes:

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)} $\mathbf {a} =(3,-1)$

b = ( 2 , 2 ) {\mathbf =(2,2)} $\mathbf {b} =(2,2)$

c = a + b = ( a x + b x , a y + b y ) = ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) = ( 5 , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {a} +\mathbf {b} \\&=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})\\&=(3+2,-1+2)\\&=(5,1)\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {a} +\mathbf {b} \\&=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})\\&=(3+2,-1+2)\\&=(5,1)\end{aligned}}$

Este método funciona para todos los vectores, no sólo los bidimensionales.

Cómo multiplicar vectores

Utilizando el producto punto

El producto punto es un método para multiplicar vectores. Produce un escalar. Utiliza la forma de los componentes:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a ⋅ b = ( 2 , 3 ) ⋅ ( 1 , 4 ) = ( 2 ⋅ 1 ) + ( 3 ⋅ 4 ) = 2 + 12 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=(2,3)\Nmathbf {b} &=(1,4)\Nmathbf {a} \Ny =(2,3)\Nmathbf (1,4)\Ny =(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\Ny =2+12\Ny =14\Nfinal{alineado}}. ${\begin{aligned}\mathbf {a} &=(2,3)\\\mathbf {b} &=(1,4)\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=(2,3)\cdot (1,4)\\&=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\&=2+12\\&=14\end{aligned}}$

Utilizando el producto cruzado

El producto cruzado es otro método para multiplicar vectores. A diferencia del producto punto, produce un vector. Utilizando la forma de los componentes:

a × b = | a | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} |mathbf {b} =|mathbf {a} |||mathbf {b} |sin(\theta )|mathbf {n} } $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n}$

Aquí, | a | {\displaystyle |mathbf {a} |} $|\mathbf {a} |$ significa la longitud de un {\displaystyle \mathbf {a} } $\mathbf {a}$ , y n {\displaystyle \mathbf {n} } $\mathbf {n}$ es el vector unitario en ángulo recto tanto de a {\displaystyle \mathbf {a} } $\mathbf {a}$ y b {\displaystyle \mathbf {b} } $\mathbf {b}$ .

Multiplicar por un escalar

Para multiplicar un vector por un escalar (un número normal), se multiplica el número por cada componente del vector:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\_{2},...,c\_{n})} $c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})$

Un ejemplo de ello es

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 ⋅ 3 , 5 ⋅ 4 ) = ( 15 , 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}c&=5\mathbf {x} &=(3,4)\\c,\mathbf {x} &=(5\cdot 3,5\cdot 4)\c&=(15,20)\cend{aligned}}. ${\begin{aligned}c&=5\\\mathbf {x} &=(3,4)\\c\,\mathbf {x} &=(5\cdot 3,5\cdot 4)\\&=(15,20)\end{aligned}}$

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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es un vector?

R: Un vector es un objeto matemático que tiene un tamaño, llamado magnitud, y una dirección. Se suele representar con letras en negrita o como un segmento de línea que va de un punto a otro.

P: ¿Cómo solemos dibujar los vectores?

R: Solemos dibujar los vectores como flechas. La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector y la dirección a la que apunta la flecha es la dirección del vector.

P: ¿Qué significa que alguien pida una dirección?

R: Cuando se pide una dirección, si se dice "Camina un kilómetro hacia el Norte", eso sería un vector, pero si se dice "Camina un kilómetro", sin mostrar una dirección, eso sería un escalar.

P: ¿Cuáles son algunos ejemplos de cómo se pueden utilizar los vectores?

R: Los vectores pueden utilizarse para mostrar la distancia y la dirección en la que se ha movido algo. También pueden utilizarse cuando se piden direcciones o se navega por una zona.

P: ¿Cómo se representan los vectores matemáticamente?

R: Los vectores suelen representarse con letras en negrita (como u, v, w) o como un segmento de línea de un punto a otro (como en A→B).

P: ¿Qué significa cuando se hace referencia a algo como escalar?

R: Cuando se hace referencia a algo como escalar significa que no hay ninguna información direccional asociada a ello; sólo valores numéricos como la distancia o la velocidad.