Producto cruzado (producto vectorial): definición, propiedades y cálculo

Al tratarse de una operación vectorial, el producto cruzado es muy importante en todo tipo de ciencias (especialmente en física), ingeniería y matemáticas. Un ejemplo importante del producto cruzado es el par o el momento. Otra aplicación importante es el campo magnético.

El producto cruzado de a → {\displaystyle {\vec {a}} y b → {\displaystyle {\vec {b}} es un vector que llamaremos c → {\displaystyle {\vec {c}} :

c → = a → × b → {\cvec {}}={vec {a}} {veces {b}}

Entonces, la magnitud de c → {\displaystyle {\vec {c}} viene dada por:

c = | c → | = | a → | b → | sin θ = a b sin θ {\displaystyle c=|{vec {c}}|=|{vec {a}}||{vec {b}}|sin \theta =ab\sin \theta } ,

donde θ {\displaystyle \theta } es el ángulo entre a → {\displaystyle {\vec {a}} y b → {\displaystyle {\vec {b}} . El vector a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}times {\vec {b}} es perpendicular tanto a → {displaystyle {\vec {a}} como a b → {\displaystyle {\vec {b}} . La dirección de a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}times {\vec {b}} está determinada por una variación de la regla de la mano derecha. Si se sostiene la mano derecha como se muestra en la figura, el pulgar está en la dirección de c → {\displaystyle {\vec {c}} , el dedo índice indica la dirección de a → {\displaystyle {\vec {a}} y tu segundo dedo señala la dirección de b → {\displaystyle {\vec {b}} . Si el ángulo entre tus dedos índice y segundo es mayor de 180°, es necesario poner la mano boca abajo.

Como cualquier operación matemática, el producto cruzado puede realizarse de forma sencilla.

Dos dimensiones

Si
a → = ⟨ a 1 , a 2 ⟩ {\displaystyle {\vec {a}}=\lángulo a_{1},a_{2}}
 y
b → = ⟨ b 1 , b 2 ⟩ {\displaystyle {\vec {b}}=\lángulo b_{1},b_{2}\rangle }
 entonces
a → × b → = ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) k ^ {\displaystyle {\vec {a}\times {\vec {b}}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\hat {k}}}

 o

a → × b → = c → {\a} {vec {a} {veces {b}}= {vec {c}}
 y
c → = ⟨ 0 , 0 , a 1 b 2 - a 2 b 1 ⟩ = ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) k ^ {\displaystyle {{vec {c}}={lángulo 0,0,a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}rangle =(a_{1}b_2}-a_{2}b_{1}){\hat {k}}

k ^ {\displaystyle {\hat {k}} es sólo un símbolo que dice que nuestro nuevo vector apunta hacia arriba (en la dirección z). Si "cruzas" dos vectores que están ambos en el plano x-y, el producto siempre será perpendicular a ambos vectores, y si ambos vectores están en el plano x-y, la única forma de que sea perpendicular a ambos es que esté en la dirección z. Si el valor de a 1 b 2 - a 2 b 1 {\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} es positivo, entonces apunta fuera de la página; si su valor es negativo, entonces apunta dentro de la página.

Tres dimensiones

Si
a → = ⟨ a 1 , a 2 , a 3 ⟩ {\displaystyle {\vec {a}}=\lángulo a_{1},a_{2},a_{3}}
 y
b → = ⟨ b 1 , b 2 , b 3 ⟩ {\displaystyle {\vec {b}}=\lángulo b_{1},b_{2},b_{3}}
 entonces
a → × b → = ⟨ a 2 b 3 - a 3 b 2 , a 3 b 1 - a 1 b 3 , a 1 b 2 - a 2 b 1 ⟩ {desde el estilo {vec {a}}=langulo a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}a_{2}b_{1}}rangle }

a → × b → = - b → × a → {\displaystyle {\vec {a}}=-{\vec {b}}={\vec {a}}}.

a → × ( b → + c → ) = a → × b → + a → × c → {\vec {a} {veces ({\vec {b}+ {\vec {c}})= {\vec {a} {veces {b}+ {\vec {a} {veces {vec {c}}}

c ( a → × b → ) = ( c a → ) × b → = a → × ( c b → ) {\displaystyle c({\vec {a}}\times {\vec {b}})=(c{\vec {a})\times {\vec {b}}={\vec {a}\times (c{\vec {b}})}