Un vector unitario es cualquier vector que tiene una unidad de longitud. Los vectores unitarios se suelen anotar de la misma manera que los vectores normales, pero con una marca llamada circunflejo sobre la letra (por ejemplo, {\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } es el vector unitario de v {\displaystyle {\displaystyle \mathbf {v} }.)

Para convertir un vector en un vector unitario, basta con dividirlo por su longitud: {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} /\lVert \mathbf {v} \rVert }. El vector unitario resultante estará en la misma dirección que el vector original.

Cálculo paso a paso para normalizar un vector

  • 1. Calcular la norma (longitud) del vector. Para un vector v = (v1, v2, ..., vn) en R^n, la norma euclídea es ‖v‖ = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2).
  • 2. Verificar que v no sea el vector cero. El vector cero (0,0,...,0) tiene norma cero y no puede normalizarse porque implicaría dividir por cero.
  • 3. Dividir cada componente del vector por su norma. El resultado es el vector unitario â = v / ‖v‖, que tiene norma 1 y conserva la dirección de v.

Ejemplos

Ejemplo 2D. Sea v = (3, 4). Su norma es ‖v‖ = sqrt(3^2 + 4^2) = 5. Entonces el vector unitario es â = (3/5, 4/5). Comprueba que ‖â‖ = sqrt((3/5)^2 + (4/5)^2) = 1.

Ejemplo 3D. Sea v = (1, 2, 2). Su norma es ‖v‖ = sqrt(1^2 + 2^2 + 2^2) = 3. El vector unitario es â = (1/3, 2/3, 2/3).

Nota sobre el vector cero. No existe un vector unitario en la dirección del vector cero, porque su dirección es indeterminada y su norma es 0.

Vectores unitarios comunes y notación

  • En el espacio cartesiano 2D y 3D es habitual usar los vectores unitarios de la base: î y ĵ en 2D (o î, ĵ, k̂ en 3D) para indicar las direcciones de los ejes x, y (y z).
  • También se usa la notación e1, e2, e3 o simplemente un circunflejo sobre la letra (p. ej. {\displaystyle \mathbf {\hat {v}} }) para indicar vectores de longitud uno.

Propiedades y aplicaciones

  • Un vector unitario tiene norma 1: ‖û‖ = 1.
  • Multiplicar un vector unitario por un escalar r da un vector de longitud |r| en la misma dirección: rû tiene norma |r|.
  • El producto escalar entre un vector v y un vector unitario û en su misma dirección da la proyección escalar de v sobre û: v · û = ‖v‖ cos θ, donde θ es el ángulo entre ellos.
  • Aplicaciones: física (direcciones de fuerzas, velocidades unitarias), gráficos por ordenador (normales unitarias para iluminación), estadística (direcciones en análisis de componentes) y cálculos numéricos en general.

Consejos prácticos al normalizar en código

  • Comprueba si la norma es cero o muy cercana a cero antes de dividir; si la norma es extremadamente pequeña, la normalización puede provocar inestabilidad numérica.
  • En implementaciones numéricas, a veces conviene usar funciones que combinan cálculo de norma y normalización con protección contra desbordamiento/underflow.
  • Si sólo necesitas la dirección y no la orientación exacta (signo), recuerda que tanto â como −â son vectores unitarios en direcciones opuestas.