Número: definición en matemáticas, tipos y usos (cardinales y ordinales)

Números para las personas

Hay diferentes formas de dar símbolos a los números. Estos métodos se denominan sistemas numéricos. El sistema numérico más común que la gente utiliza es el sistema numérico de base diez. El sistema numérico de base diez también se llama sistema numérico decimal. El sistema numérico de base diez es común porque las personas tienen diez dedos en las manos y diez en los pies. Hay 10 símbolos diferentes {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9} utilizados en el sistema numérico de base diez. Estos diez símbolos se llaman dígitos.

El símbolo de un número está formado por estas diez cifras. La posición de los dígitos muestra el tamaño del número. Por ejemplo, el número 23 en el sistema numérico decimal significa realmente (2 veces 10) más 3. Del mismo modo, 101 significa 1 veces cien (=100) más 0 veces 10 (=0) más 1 veces 1 (=1).

Números para máquinas

Otro sistema numérico es más común para las máquinas. El sistema numérico de las máquinas se llama sistema numérico binario. El sistema numérico binario también se llama sistema numérico de base dos. En el sistema numérico de base dos se utilizan dos símbolos diferentes (0 y 1). Estos dos símbolos se llaman bits.

El símbolo de un número binario está formado por estos dos símbolos de bits. La posición de los símbolos de bits muestra el tamaño del número. Por ejemplo, el número 10 en el sistema numérico binario significa realmente 1 por 2 más 0, y 101 significa 1 por cuatro (=4) más 0 por dos (=0) más 1 por 1 (=1). El número binario 10 es el mismo que el número decimal 2. El número binario 101 es el mismo que el número decimal 5.

El inglés tiene nombres especiales para algunos de los números del sistema numérico decimal que son "potencias de diez". Todos estos números de potencias de diez en el sistema numérico decimal utilizan sólo el símbolo "1" y el símbolo "0". Por ejemplo, diez decenas es lo mismo que diez veces diez, o cien. En símbolos, esto es "10 × 10 = 100". Asimismo, diez centenas es lo mismo que diez veces cien, o mil. En símbolos, esto es "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". Algunas otras potencias de diez también tienen nombres especiales:

• 1 - uno
• 10 - diez
• 100 - cien
• 1.000 - mil
• 1.000.000 - un millón

Cuando se trata de números más grandes que este, hay dos formas diferentes de nombrar los números en inglés. Según la "escala larga", se da un nuevo nombre cada vez que el número es un millón de veces mayor que el último número nombrado. También se denomina "estándar británico". Esta escala solía ser común en Gran Bretaña, pero hoy en día no se utiliza con frecuencia en los países de habla inglesa. Todavía se utiliza en algunas otras naciones europeas.

Otra escala es la "escala corta", según la cual se da un nuevo nombre cada vez que un número es mil veces mayor que el último número nombrado. Esta escala es mucho más común en la mayoría de los países de habla inglesa hoy en día.

• 1.000.000.000 - mil millones (escala corta), un millón (escala larga)
• 1.000.000.000 - un trillón (escala corta), un billón (escala larga)
• 1.000.000.000.000 - un cuatrillón (escala corta), un billón (escala larga)

Números naturales

Los números naturales son los números que normalmente utilizamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etc. Algunos dicen que el 0 también es un número natural. El conjunto de todos los números naturales se escribe como N } .

Otro nombre para estos números es el de números positivos. Estos números se escriben a veces como +1 para mostrar que son diferentes de los números negativos. Pero no todos los números positivos son naturales (por ejemplo, 1 2 {\tfrac {1}{2}} es positivo, pero no natural).

Si el 0 se llama número natural, entonces los números naturales son los mismos que los números enteros. Si al 0 no se le llama número natural, entonces los números naturales son los mismos que los números de conteo. Así que si no se utilizan las palabras "números naturales", entonces habrá menos confusión sobre si el cero está incluido o no. Pero, por desgracia, algunos dicen que el cero no es un número entero, mientras que otros dicen que los números enteros pueden ser negativos. "Números enteros positivos" y "números enteros no negativos" son otra forma de incluir el cero o excluirlo, pero sólo si la gente conoce esas palabras.

Números negativos

Los números negativos son números menores que cero.

Una forma de pensar en los números negativos es utilizar una recta numérica. Llamamos cero a un punto de esta recta. Luego etiquetaremos (escribiremos el nombre de) cada posición de la recta según la distancia que haya a la derecha del punto cero. Por ejemplo, el punto uno está un centímetro a la derecha, y el punto dos está dos centímetros a la derecha.

Sin embargo, el punto situado un centímetro a la izquierda del punto cero no puede ser el punto uno, puesto que ya existe un punto llamado uno. Por lo tanto, llamamos a este punto menos uno (-1, ya que está a un centímetro de distancia pero en la dirección opuesta).

A continuación se muestra un dibujo de una recta numérica.

Todas las operaciones normales de las matemáticas pueden realizarse con números negativos:

• Sumar un número negativo a otro es lo mismo que quitarle el número positivo con los mismos numerales. Por ejemplo, 5 + (-3) es lo mismo que 5 - 3, y es igual a 2.
• Quitar un número negativo a otro es lo mismo que sumar el número positivo con los mismos numerales. Por ejemplo, 5 - (-3) es lo mismo que 5 + 3, y es igual a 8.
• La multiplicación de dos números negativos juntos produce un número positivo. Por ejemplo, -5 por -3 es 15.
• Multiplicar un número negativo por un número positivo, o multiplicar un número positivo por un número negativo, produce un resultado negativo. Por ejemplo, 5 por -3 es -15.

Como encontrar la raíz cuadrada de un número negativo es imposible para los números reales (ya que negativo por negativo es igual a positivo para los números reales), la raíz cuadrada de -1 recibe un nombre especial: i. También se denomina unidad imaginaria.

Números enteros

Los números enteros son todos los números naturales, todos sus opuestos y el número cero. Los números decimales y las fracciones no son números enteros.

Números racionales

Los números racionales son números que pueden escribirse como fracciones. Esto significa que pueden escribirse como a dividido por b, donde los números a y b son enteros, y b no es cero.

Algunos números racionales, como el 1/10, necesitan un número finito de dígitos después de la coma para escribirlos en forma decimal. El número una décima se escribe en forma decimal como 0,1. Los números escritos con una forma decimal finita son racionales. Algunos números racionales, como el 1/11, necesitan un número infinito de dígitos después de la coma para escribirlos en forma decimal. Los dígitos que siguen a la coma decimal se repiten. El número una undécima se escribe en forma decimal como 0,0909090909 ... .

Un porcentaje podría llamarse número racional, porque un porcentaje como el 7% puede escribirse como la fracción 7/100. También puede escribirse como el decimal 0,07. A veces, un cociente se considera un número racional.

Números irracionales

Los números irracionales son números que no pueden escribirse como una fracción, pero que no tienen partes imaginarias (se explica más adelante).

Los números irracionales aparecen a menudo en la geometría. Por ejemplo, si tenemos un cuadrado que tiene lados de 1 metro, la distancia entre las esquinas opuestas es la raíz cuadrada de dos, que es igual a 1,414213 . Este es un número irracional. Los matemáticos han demostrado que la raíz cuadrada de todo número natural es un número entero o un número irracional.

Un número irracional muy conocido es pi. Es la circunferencia (distancia alrededor) de un círculo dividida por su diámetro (distancia a través). Este número es el mismo para todos los círculos. El número pi es aproximadamente 3,1415926535 ... .

Un número irracional no puede escribirse completamente en forma decimal. Tendría un número infinito de dígitos después de la coma, y a diferencia de 0,333333..., estos dígitos no se repetirían eternamente.

Números reales

Números reales es un nombre para todos los conjuntos de números mencionados anteriormente:

• Los números racionales, incluidos los enteros
• Los números irracionales

Los números reales forman la línea real. Se trata de todos los números que no implican números imaginarios.

Números imaginarios

Los números imaginarios están formados por números reales multiplicados por el número i. Este número es la raíz cuadrada de menos uno (-1).

No hay ningún número en los números reales que al elevar al cuadrado haga el número -1. Por ello, los matemáticos inventaron un número. Llamaron a este número i, o la unidad imaginaria.

Los números imaginarios funcionan con las mismas reglas que los números reales:

• La suma de dos números imaginarios se encuentra sacando (factorizando) la i. Por ejemplo, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• La diferencia de dos números imaginarios se encuentra de forma similar. Por ejemplo, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Al multiplicar dos números imaginarios, recuerde que i × i (i² ) es -1. Por ejemplo, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Los números imaginarios se llamaron imaginarios porque cuando se descubrieron por primera vez, muchos matemáticos no creían que existieran. La persona que descubrió los números imaginarios fue Gerolamo Cardano en el año 1500. El primero en utilizar las palabras número imaginario fue René Descartes. Las primeras personas que utilizaron estos números fueron Leonard Euler y Carl Friedrich Gauss. Ambos vivieron en el siglo XVIII.

Números complejos

Los números complejos son números que tienen dos partes: una parte real y otra imaginaria. Todo tipo de número escrito anteriormente es también un número complejo.

Los números complejos son una forma más general de números. Los números complejos pueden dibujarse en un plano numérico. Éste se compone de una línea de números reales y una línea de números imaginarios.

3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | | i|_ | |_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2i -2i|_ | -3i|_ |

Toda la matemática normal se puede hacer con números complejos:

• Para sumar dos números complejos, sume las partes real e imaginaria por separado. Por ejemplo, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Para restar un número complejo de otro, reste las partes real e imaginaria por separado. Por ejemplo, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Multiplicar dos números complejos es más complicado. Es más fácil describirlo en términos generales, con dos números complejos a + bi y c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\a veces (a+b\mathrm {i} )\a veces (c+d\mathrm {i} )=a veces c+a veces d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Por ejemplo, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Números trascendentales

Un número real o complejo se llama número trascendental si no se puede obtener como resultado de una ecuación algebraica con coeficientes enteros.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Demostrar que un determinado número es trascendental puede ser extremadamente difícil. Cada número trascendental es también un número irracional. Las primeras personas que vieron que había números trascendentales fueron Gottfried Wilhelm Leibniz y Leonhard Euler. El primero en demostrar realmente que había números trascendentales fue Joseph Liouville. Lo hizo en 1844.

Algunos números trascendentales conocidos son:

• e
• π
• e^a para algebraica a ≠ 0
• 2 2 {\displaystyle 2^{\\\c al cuadrado {2}}

• Nombres de números en inglés