Sucesión matemática | un conjunto de acontecimientos, movimientos o elementos relacionados que se suceden en un orden determinado

Una secuencia es una palabra que significa "un conjunto de acontecimientos, movimientos o elementos relacionados que se suceden en un orden determinado".

Se utiliza en matemáticas y otras disciplinas. En el uso ordinario, significa una serie de acontecimientos, uno tras otro. En matemáticas, una secuencia se compone de varias cosas puestas juntas, una tras otra. El orden en el que están las cosas es importante. Por ejemplo, tanto (Azul, Rojo, Amarillo) como (Amarillo, Azul, Rojo) son secuencias, pero no son lo mismo. Las secuencias formadas por números también se llaman progresiones.

Hay dos tipos de secuencias. Un tipo son las secuencias finitas, que tienen un final. Por ejemplo, (1, 2, 3, 4, 5) es una secuencia finita. El otro tipo son las secuencias infinitas, lo que significa que continúan y nunca terminan. Un ejemplo de una secuencia que es infinita es la secuencia de todos los números pares, mayores que 0. Esta secuencia nunca termina: empieza con 2, 4, 6, y así sucesivamente, y siempre se pueden seguir nombrando números pares.

Si una secuencia es finita, es fácil decir lo que es: uno puede simplemente escribir todas las cosas de la secuencia. Esto no funciona para una secuencia infinita. Así que otra forma de escribir una secuencia es escribir una regla para encontrar la cosa en el lugar que uno quiera. La regla debe decirnos cómo obtener la cosa en el n-ésimo lugar, donde n puede ser cualquier número natural. Esto significa que una secuencia es realmente un tipo especial de función con números naturales como dominio. A veces escribimos una secuencia como ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} $(a_{n})$ $a_{n}$ , donde a n {\displaystyle a_{n}} representa el término n-ésimo de la secuencia.

Por ejemplo, la regla podría ser que lo que está en el lugar n es el número 2×n (2 veces n). Esto nos dice cuál es la secuencia completa, aunque nunca termina. El primer número es 2×1, que es 2. El segundo número es 2×2, o sea 4. Si queremos saber cuál es el número 100, simplemente podemos calcular 2×100 y obtener 200. No importa qué cosa de la secuencia queramos, la regla puede decirnos cuál es.

Tipos de secuencias

Progresiones aritméticas (AP)

En una progresión aritmética, la diferencia entre un término y el anterior es siempre una constante.

Ejemplo: $4,9,14,19,24,29,34,\ldots$

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5, y así sucesivamente.

Así que si se toma el primer término como a y la diferencia constante como D, entonces la fórmula general para la secuencia aritmética es $a_{n}=a+(n-1)D$ , donde n es el número de término.

Progresiones geométricas (GP)

En una progresión geométrica, la relación entre un término y el término que le precede es siempre constante.

Ejemplo: $3,6,12,24,48,96,192,\ldots$

6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, 48/24 = 2, y así sucesivamente.

Así que si se toma a como el primer término y r como el cociente, entonces la fórmula general para la progresión geométrica es $a_{n}=ar^{n-1}$ , donde n es el número de término.

Progresiones armónicas (HP)

En una progresión armónica, la diferencia entre el recíproco de un término y el recíproco del término anterior es una constante.

Ejemplo: $3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots$

$(1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}$ , y así sucesivamente.

Serie

Una serie es la suma de todos los términos de una secuencia.

La fórmula general para calcular la suma de la secuencia aritmética es

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

La de una secuencia geométrica es S = a 1 - r {\displaystyle S={tfrac {a}{1-r}} $S={\tfrac {a}{1-r}}$ , si la sucesión es infinita, y S = a $S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ , si es finita.

Aquí, a es el primer término, d es la diferencia común en la secuencia aritmética, r es la razón en la secuencia geométrica y n es el número de término.

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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es una secuencia?

R: Una secuencia es un conjunto de acontecimientos, movimientos o elementos relacionados que se suceden en un orden determinado.

P: ¿Cómo se utiliza?

R: Se utiliza en matemáticas y en otras disciplinas. En el uso ordinario, significa una serie de acontecimientos, uno tras otro.

P: ¿Cuáles son los dos tipos de secuencias?

R: Los dos tipos de secuencias son las secuencias finitas, que tienen un final, y las secuencias infinitas, que nunca terminan.

P: ¿Puede dar un ejemplo de una secuencia infinita?

R: Un ejemplo de secuencia infinita es la secuencia de todos los números pares mayores que 0. Esta secuencia nunca termina; empieza con 2, 4, 6 y así sucesivamente.

P: ¿Cómo podemos escribir una secuencia infinita?

R: Podemos escribir una secuencia infinita escribiendo una regla para encontrarla en cualquier lugar que queramos. La regla debe decirnos cómo obtener la cosa en el n-ésimo lugar, donde n puede ser cualquier número natural.

P: ¿Qué significa (a_n) al escribir una secuencia?

R:(a_n) significa el término n-ésimo de la secuencia.