Números racionales: definición, ejemplos y propiedades
Descubre los números racionales: definición clara, ejemplos cotidianos y propiedades esenciales para identificarlos y diferenciarlos de los números irracionales.
En matemáticas, un número racional es un número que puede escribirse como una fracción. Los números racionales son todos los números reales y pueden ser positivos o negativos. Un número que no es racional se llama irracional.
La mayoría de los números que se utilizan en la vida cotidiana son racionales. Entre ellos se encuentran las fracciones y los números enteros. Y también un número que puede escribirse como una fracción mientras está en su propia forma.
Definición formal
Un número es racional si puede expresarse como el cociente p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0. Es decir, cualquier número de la forma:
p/q, con p ∈ Z y q ∈ Z\{0}.
Ejemplos: 3/4, −5/2, 7 (porque 7 = 7/1) y 0 (porque 0 = 0/1).
Forma decimal y carácter periódico
- Todo número racional tiene una representación decimal que es finita (termina) o periódica (repite un bloque de dígitos). Por ejemplo:
- 1/2 = 0,5 (terminante)
- 1/3 = 0,333... = 0,(3) (periódico)
- 5/6 = 0,8333... = 0,8(3) (parte periódica)
- Si una representación decimal es finita, también puede verse como periódica con período 0 (por ejemplo 0,5 = 0,5000... = 0,5(0)).
Forma canónica y simplificación
- Dos fracciones representan el mismo número racional si son equivalentes: a/b = c/d cuando ad = bc.
- La forma irreducible o simplificada se obtiene dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor (mcd). Por ejemplo, 6/8 = 3/4 tras dividir por 2.
- La representación canónica suele pedir que el denominador sea positivo; si la fracción es negativa, el signo se coloca en el numerador: −3/4 en lugar de 3/−4.
Operaciones y propiedades algebraicas
- Cerradura: El conjunto de números racionales es cerrado bajo suma, resta, multiplicación y división (salvo la división por cero). Es decir, el resultado siempre es racional cuando operamos racionales entre sí y en el caso de la división el divisor no es 0.
- Conmutatividad y asociatividad: Tanto la suma como la multiplicación son conmutativas y asociativas en los racionales.
- Elemento neutro y opuesto: El 0 es el elemento neutro para la suma; el 1 es el neutro para la multiplicación. Cada racional p/q tiene un opuesto −p/q y, si p ≠ 0, un inverso multiplicativo q/p.
Densidad y orden
- Los racionales son densos en la recta real: entre dos números racionales cualesquiera existe otro racional. Por ejemplo, entre a/b y c/d siempre está (a+c)/(b+d) u otras construcciones.
- Están ordenados: podemos comparar dos racionales usando común denominador o mediante su representación decimal.
- El conjunto de números racionales es numerable (contablemente infinito), a diferencia del conjunto de los reales o de los irracionales, que es no numerable.
Diferencia con los números irracionales
Un número irracional no puede representarse como fracción de enteros. Sus decimales son no periódicos e infinitos (por ejemplo, π = 3,14159..., √2 = 1,41421...). Tanto racionales como irracionales forman el conjunto de los números reales.
Aplicaciones y ejemplos cotidianos
- Medidas: 1/2 litro, 3/4 de hora.
- Dinero: fracciones de moneda (por ejemplo, 0,25 € = 1/4 €).
- Proporciones y probabilidades: probabilidades expresadas como fracciones o porcentajes (que son racionales si el porcentaje es racional).
Consejos prácticos
- Para comprobar si una fracción está en su forma más simple, calcule el mcd del numerador y denominador y divida ambos por él.
- Para convertir un decimal periódico a fracción, use métodos algebraicos básicos (por ejemplo, x = 0,333... ⇒ 10x − x = 3 ⇒ x = 1/3).
- Para sumar o comparar fracciones, reduzca al mismo denominador o utilice simplificación cruzada.
Resumen
Los números racionales son aquellos que pueden escribirse como p/q con q ≠ 0. Incluyen fracciones, enteros y decimales finitos o periódicos. Tienen propiedades algebraicas completas (cerradura bajo las operaciones usuales), son densos en la recta real y forman un conjunto contable. Comprender su representación y manipulación es fundamental para la aritmética, el álgebra y muchas aplicaciones prácticas.
Escribir números racionales
Forma de la fracción
Todos los números racionales se pueden escribir como una fracción. Tomemos como ejemplo 1,5, que se puede escribir como 1 1 2 {{displaystyle 1{frac {1}{2}} 
3 2 {pantalla {frac {3}{2}}, o 3 / 2 {pantalla {frac {3}{2}}. 
o 3 / 2 {estilo de visualización 3/2} 
.
Más ejemplos de fracciones que son números racionales incluyen 1 7 {\displaystyle {\frac {1}{7}}, - 8 9 {\frac {-8}{9}}. 
8 9 {\frac {-8}{9}}, y 2 5 {\frac {2}{5}}. 
y 2 5 {estilo de visualización {\frac {2}{5}} 
.
Terminación de los decimales
Un decimal de terminación es un decimal con un cierto número de dígitos a la derecha del punto decimal. Algunos ejemplos son 3,2, 4,075 y -300,12002. Todos ellos son racionales. Otro buen ejemplo sería 0,9582938472938498234.
Repetición de decimales
Un decimal repetitivo es un decimal en el que hay infinitas cifras a la derecha del punto decimal, pero que siguen un patrón de repetición.
Un ejemplo de esto es 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}
. Como decimal, se escribe como 0,33333333... Los puntos indican que el número 3 se repite eternamente.
A veces, un grupo de dígitos se repite. Un ejemplo es 1 11 {\displaystyle {\frac {1}{11}}
. Como decimal, se escribe como 0,09090909... En este ejemplo, el grupo de dígitos 09 se repite.
Además, a veces los dígitos se repiten después de otro grupo de dígitos. Un ejemplo es 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}
. Se escribe como 0,16666666... En este ejemplo, el dígito 6 se repite, después del dígito 1.
Si lo intentas con tu calculadora, a veces puede cometer un error de redondeo al final. Por ejemplo, su calculadora puede decir que 2 3 = 0,6666667 {\displaystyle {\frac {2}{3}=0,6666667} 
aunque no haya ningún 7. Redondea el 6 del final a 7.
Números irracionales
Los dígitos después del punto decimal en un número irracional no se repiten en un patrón infinito. Por ejemplo, los primeros dígitos de π (Pi) son 3,1415926535... Algunos de los dígitos se repiten, pero nunca comienzan a repetirse en un patrón infinito, no importa lo lejos que vayas a la derecha del punto decimal.
Aritmética
- Siempre que sumas o restas dos números racionales, obtienes otro número racional.
- Siempre que se multiplican dos números racionales, se obtiene otro número racional.
- Siempre que se dividen dos números racionales, se obtiene otro número racional, siempre que no se divida por cero.
- Dos números racionales a b {estilo de visualización {a}{b}}
y c d {estilo de visualización {c}{d}}
son iguales si a d = b c {estilo de visualización ad=bc}
.
Páginas relacionadas
- Número irracional
- Fracción (matemáticas)
- Número real
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