En matemáticas, un número racional es un número que puede escribirse como una fracción. Los números racionales son todos los números reales y pueden ser positivos o negativos. Un número que no es racional se llama irracional.

La mayoría de los números que se utilizan en la vida cotidiana son racionales. Entre ellos se encuentran las fracciones y los números enteros. Y también un número que puede escribirse como una fracción mientras está en su propia forma.

Definición formal

Un número es racional si puede expresarse como el cociente p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0. Es decir, cualquier número de la forma:

p/q, con p ∈ Z y q ∈ Z\{0}.

Ejemplos: 3/4, −5/2, 7 (porque 7 = 7/1) y 0 (porque 0 = 0/1).

Forma decimal y carácter periódico

  • Todo número racional tiene una representación decimal que es finita (termina) o periódica (repite un bloque de dígitos). Por ejemplo:
    • 1/2 = 0,5 (terminante)
    • 1/3 = 0,333... = 0,(3) (periódico)
    • 5/6 = 0,8333... = 0,8(3) (parte periódica)
  • Si una representación decimal es finita, también puede verse como periódica con período 0 (por ejemplo 0,5 = 0,5000... = 0,5(0)).

Forma canónica y simplificación

  • Dos fracciones representan el mismo número racional si son equivalentes: a/b = c/d cuando ad = bc.
  • La forma irreducible o simplificada se obtiene dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor (mcd). Por ejemplo, 6/8 = 3/4 tras dividir por 2.
  • La representación canónica suele pedir que el denominador sea positivo; si la fracción es negativa, el signo se coloca en el numerador: −3/4 en lugar de 3/−4.

Operaciones y propiedades algebraicas

  • Cerradura: El conjunto de números racionales es cerrado bajo suma, resta, multiplicación y división (salvo la división por cero). Es decir, el resultado siempre es racional cuando operamos racionales entre sí y en el caso de la división el divisor no es 0.
  • Conmutatividad y asociatividad: Tanto la suma como la multiplicación son conmutativas y asociativas en los racionales.
  • Elemento neutro y opuesto: El 0 es el elemento neutro para la suma; el 1 es el neutro para la multiplicación. Cada racional p/q tiene un opuesto −p/q y, si p ≠ 0, un inverso multiplicativo q/p.

Densidad y orden

  • Los racionales son densos en la recta real: entre dos números racionales cualesquiera existe otro racional. Por ejemplo, entre a/b y c/d siempre está (a+c)/(b+d) u otras construcciones.
  • Están ordenados: podemos comparar dos racionales usando común denominador o mediante su representación decimal.
  • El conjunto de números racionales es numerable (contablemente infinito), a diferencia del conjunto de los reales o de los irracionales, que es no numerable.

Diferencia con los números irracionales

Un número irracional no puede representarse como fracción de enteros. Sus decimales son no periódicos e infinitos (por ejemplo, π = 3,14159..., √2 = 1,41421...). Tanto racionales como irracionales forman el conjunto de los números reales.

Aplicaciones y ejemplos cotidianos

  • Medidas: 1/2 litro, 3/4 de hora.
  • Dinero: fracciones de moneda (por ejemplo, 0,25 € = 1/4 €).
  • Proporciones y probabilidades: probabilidades expresadas como fracciones o porcentajes (que son racionales si el porcentaje es racional).

Consejos prácticos

  • Para comprobar si una fracción está en su forma más simple, calcule el mcd del numerador y denominador y divida ambos por él.
  • Para convertir un decimal periódico a fracción, use métodos algebraicos básicos (por ejemplo, x = 0,333... ⇒ 10x − x = 3 ⇒ x = 1/3).
  • Para sumar o comparar fracciones, reduzca al mismo denominador o utilice simplificación cruzada.

Resumen

Los números racionales son aquellos que pueden escribirse como p/q con q ≠ 0. Incluyen fracciones, enteros y decimales finitos o periódicos. Tienen propiedades algebraicas completas (cerradura bajo las operaciones usuales), son densos en la recta real y forman un conjunto contable. Comprender su representación y manipulación es fundamental para la aritmética, el álgebra y muchas aplicaciones prácticas.