Definición y representación
Un número real es un número que puede ser racional o irracional. Normalmente, cuando la gente dice "número" suele querer decir "número real". El símbolo oficial de los números reales es una R en negrita o una R en negrita de pizarra {\displaystyle \mathbb {R} } 
.
Concepto intuitivo
Podemos imaginar los números reales como una regla infinitamente larga: hay una marca para el cero y marcas para todos los demás números, ordenadas según su tamaño. A diferencia de una regla física, los reales incluyen tanto los valores por encima del cero (los positivos) como los que están por debajo (negativos). Un número positivo es "mayor que cero" y un número negativo es "menor que cero"; a los negativos se les antepone el signo menos (-) para distinguirlos.
Propiedades esenciales
Algunas propiedades importantes de los números reales son:
- Cerradura: Los reales están cerrados bajo suma, resta y multiplicación; la división también lo es salvo por el cero (no se puede dividir entre cero).
- Conmutatividad y asociatividad: La suma y la multiplicación son conmutativas y asociativas.
- Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro para la suma; el 1 lo es para la multiplicación.
- Inversos: Todo real a tiene inverso aditivo (-a); todo real distinto de cero tiene inverso multiplicativo (1/a).
- Distributividad: La multiplicación distribuye sobre la suma: a(b + c) = ab + ac.
- Orden total: Los reales se pueden comparar: para cualesquiera a y b en R se cumple exactamente una de a < b, a = b o a > b.
- Densidad: No hay "espacios" entre reales: si a < b hay siempre otro real c tal que a < c < b. De hecho, entre dos reales existen infinitos racionales e irracionales.
- Completitud (propiedad de cierre superior): Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene una mínima cota superior (supremo). Esta propiedad distingue a R de Q (racionales), que no son completos).
Decimal y tipos de representación
Los reales pueden representarse por su expansión decimal:
- Los racionales tienen expansión decimal terminante (ej. 0.5 = 1/2) o periódica (ej. 0.333... = 1/3).
- Los irracionales tienen expansión decimal no periódica y no terminante (ejemplos clásicos: π, √2, e).
Ejemplos sencillos
- 0 (cero) — es real y es el elemento neutro de la suma.
- 5, -3, 1/2 (racionales).
- √2, π, e (irracionales).
- Todo número real también puede verse como un número complejo con parte imaginaria cero: R ⊂ C.
Cardinalidad: contables e incontables
Hay infinitos números reales y no existe un mayor o menor real absoluto. No importa cuántos reales se enumeren, siempre faltarán más. Formalmente, los reales son incontables, lo que significa que no se pueden poner todos en una secuencia enumerable. El argumento clásico de Cantor (diagonal) muestra que cualquier intento de listar todos los reales en un intervalo contiene necesariamente un número que queda fuera de la lista. Por eso decimos que el conjunto R tiene una cardinalidad mayor que la de los enteros o los racionales: los enteros y los racionales son contables, los reales son incontables (cardinalidad del continuo).
Densidad y diferencia entre Q y R
Los racionales (Q) están densos en R: entre cualesquiera dos reales hay un racional. Lo mismo ocurre con los irracionales: entre dos reales también hay irracionales. Sin embargo, Q no es completo: hay límites de sucesiones de racionales que no son racionales (por ejemplo, sucesiones que tienden a √2). La completitud es la propiedad que hace que R sea el "continuo" y sea la base de muchas propiedades en análisis y geometría.
Usos y contexto
Los números reales forman la base de gran parte de la matemática aplicada y pura: sirven para medir longitudes, tiempo, probabilidades, magnitudes físicas y para definir conceptos fundamentales en cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales, análisis funcional, topología y más. A partir de R se definen espacios métricos, se introduce la noción de límite, continuidad y derivada.
En resumen, los números reales forman un sistema numérico completo, ordenado y denso que incluye a los números racionales y a los irracionales, y cuyo comportamiento algebraico y ordenado es esencial para la mayor parte de las matemáticas continuas.
