Hipótesis de Riemann: definición y su impacto en los números primos

¿Qué es la función zeta de Riemann?

La función zeta de Riemann es un tipo de función. Las funciones son cosas en matemáticas como las ecuaciones. Las funciones toman números y le devuelven otros números. Es como la forma en que se obtiene una respuesta cuando se hace una pregunta. El número que se introduce se llama "entrada". El número que recibe de vuelta se llama "valor". Cada entrada que ponga en la función zeta de Riemann le devuelve un valor especial. La mayoría de las veces se obtiene un valor diferente para cada entrada. Pero cada entrada le da el mismo valor cada vez que la utiliza. Tanto la entrada que usted da, como el valor que obtiene, de la función zeta de Riemann son números especiales llamados números complejos. Un número complejo es un número con dos partes, una parte real y otra imaginaria. La parte imaginaria se llama imaginaria porque habría que "imaginar" un número como i {\displaystyle i} que cuando se multiplica por sí mismo es igual a i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1} . Porque según las reglas de la aritmética ( - ) × ( - ) = ( + ) {\displaystyle (-)\times (-)=(+)} y ( + ) × ( + ) = ( + ) {\displaystyle (+)\times (+)=(+)} no podría existir tal número, tendría que ser imaginado. Los números imaginarios tienen un amplio uso en las matemáticas; sin ellos, muchas tecnologías no serían posibles. Como ejemplo tangible, para utilizar la fórmula cuadrática para resolver algunas ecuaciones, la respuesta a veces tiene que ser un número imaginario, e históricamente ésta fue la razón por la que se inventaron los números imaginarios en primer lugar.

¿Qué es una raíz no trivial?

A veces, cuando se introduce una entrada en la función zeta de Riemann, se obtiene de vuelta el número cero. Cuando esto ocurre, se llama a esa entrada una raíz de la función zeta de Riemann. Llamamos a la entrada una "raíz" cuando nos da el cero. Se han encontrado muchas raíces. Pero algunas raíces son más fáciles de encontrar que otras. Llamamos a las raíces "triviales" o "no triviales". Llamamos a una raíz "trivial" si es fácil de encontrar. Pero llamamos a una raíz "no trivial" si es difícil de encontrar. Las raíces triviales son números llamados "enteros pares negativos". La razón por la que pensamos que son fáciles es porque son fáciles de encontrar. Hay reglas claras que dicen cuáles son las raíces triviales. Sabemos cuáles son las raíces triviales gracias a la ecuación que dio Bernhard Riemann. Esa ecuación se llamó "ecuación funcional de Riemann".

¿Cómo encontramos las raíces no triviales?

Las raíces no triviales son más difíciles de encontrar. No tienen las mismas reglas claras que dicen lo que son. Aunque son difíciles de encontrar, se han encontrado muchas raíces no triviales. Recuerde que el valor de la función zeta de Riemann era un tipo de número llamado número complejo. Y recuerde que los números complejos tienen dos partes. Una de estas partes se llama "parte real". Nos hemos dado cuenta de una cosa interesante sobre la parte real de las raíces no triviales. Todas las raíces no triviales que encontramos tienen una parte real que es el mismo número. Este número es 1/2, que es una fracción. Esto nos lleva a la gran pregunta de Riemann, que es sobre el tamaño de las partes reales. La pregunta es "¿tienen todas las raíces no triviales parte real 1/2?", y la hipótesis dice que la respuesta es sí. Todavía estamos tratando de averiguar si la respuesta es "sí" o "no".

Todavía no conocemos la respuesta a la pregunta. Pero sí conocemos algunos hechos importantes. Estos hechos pueden ayudarnos. Hay una forma de encontrar hechos sobre las partes reales de las raíces no triviales. Se trata de la ecuación especial de Riemann (ecuación funcional de Riemann). La ecuación funcional de Riemann nos habla del tamaño de las partes reales. Dice que todos los ceros no triviales tienen una parte real cercana a 1/2. Dice lo pequeñas que pueden ser las partes reales y lo grandes que pueden ser. Pero no dice exactamente cuáles son. En concreto, dice que las partes reales tienen que ser mayores que 0. Pero tienen que ser menores que 1. Pero aún no sabemos si puede haber una raíz no trivial con una parte real muy cercana a 1/2. Tal vez la haya, pero aún no la hemos encontrado. El grupo de números complejos que tienen una parte real mayor que 0 pero menor que 1 se llama la "franja crítica".

La imagen de la esquina superior derecha de esta página muestra la función zeta de Riemann. Las raíces no triviales se muestran con los puntos blancos. Parece que están todas en una línea en el centro de la imagen. No están demasiado lejos a la izquierda ni demasiado lejos a la derecha. La parte real es lo lejos que están de la izquierda a la derecha. Estar en el centro de la imagen significa que tienen una parte real de 1/2. Así que todas las raíces no triviales de la imagen tienen una parte real de 1/2. Pero nuestra imagen no muestra todo porque la función zeta de Riemann es demasiado grande para mostrarla. Entonces, ¿qué pasa con las raíces no triviales que están por encima y por debajo de la imagen? ¿Estarían también en el centro? ¿Y si rompen el patrón de estar en el centro? Podrían estar ligeramente a la izquierda o a la derecha. La hipótesis de Riemann pregunta si cada raíz no trivial (punto blanco) estaría en la línea del centro. Si la respuesta es negativa, decimos que la "hipótesis es falsa". Esto significaría que hay puntos blancos que no están en la línea dada.