Polinomio: definición, ejemplos y aplicaciones en álgebra

Polinomios: definición clara, ejemplos paso a paso y aplicaciones prácticas en álgebra para estudiantes, ingenieros y científicos. Aprende a identificar y resolver polinomios fácilmente.

Autor: Leandro Alegsa

En matemáticas, un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma (o resta) de varios términos matemáticos llamados monomios. Cada monomio es el producto de un coeficiente (un número) y una o varias variables elevadas a potencias enteras no negativas. Por ejemplo, cuando una expresión algebraica contiene letras mezcladas con números y operaciones como en 7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197} {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}, es muy probable que se trate de un polinomio. Los polinomios se introducen en el estudio del álgebra y son herramientas fundamentales para matemáticos, científicos e ingenieros.

De forma más precisa, un polinomio en una variable x es una expresión de la forma a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, donde los coeficientes a_i son números reales (o complejos) y los exponentes n, n-1, … son enteros no negativos. En un polinomio solo aparecen las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponenciación de números enteros no negativos; si la expresión requiere raíces, potencias fraccionarias o división por la variable, entonces no es un polinomio. Gracias a su estructura, los polinomios suelen ser más manejables que otras expresiones algebraicas y sirven como aproximaciones útiles en muchos contextos.

Partes fundamentales de un polinomio

  • Término o monomio: cada sumando; por ejemplo 5x^3 es un monomio.
  • Coeficiente: el número que multiplica a la(s) variable(s) (por ejemplo, 5 en 5x^3).
  • Grado de un monomio: la suma de los exponentes de sus variables (en 5x^3 el grado es 3).
  • Grado del polinomio: el mayor grado entre sus monomios (si el término de mayor grado es a_n x^n, el grado es n).
  • Término independiente o término constante: el que no contiene variable (a_0 en la forma general).
  • Forma estándar: escribir los términos ordenados de mayor a menor grado facilita identificar el grado y el coeficiente principal (o líder).

Clasificación por grado

  • Polinomio constante: grado 0 (por ejemplo, 7).
  • Lineal: grado 1 (por ejemplo, 3x + 1).
  • Cuadrático: grado 2 (por ejemplo, x^2 − 4x + 4).
  • Cúbico: grado 3, y así sucesivamente hasta polinomios de grado n.

Operaciones con polinomios

  • Suma y resta: se combinan términos semejantes (mismo grado y mismas variables) sumando sus coeficientes.
  • Multiplicación: se multiplican coeficientes y se suman los exponentes de cada variable (el resultado sigue siendo un polinomio).
  • Potencias: elevar un polinomio a una potencia entera no negativa produce otro polinomio.
  • División: la división entre polinomios puede dar cociente y resto; si el resto es cero, el divisor es factor del dividendo. Sin embargo, la división que implique raíces o exponentes fraccionarios deja de producir polinomios.
  • Evaluación: sustituir un valor por la variable (por ejemplo x = 2) produce un número; esta operación se usa para obtener valores, comprobar raíces y graficar.

Raíces, factorización y teoremas útiles

  • Raíces o ceros: son los valores de la variable que hacen que el polinomio valga cero. Si x = r es raíz, entonces (x − r) es factor (Teorema del factor).
  • Factorización: descomponer un polinomio en factores (lineales y/o irreducibles) facilita resolver ecuaciones polinómicas y estudiar su comportamiento.
  • Teorema fundamental del álgebra: un polinomio de grado n (con coeficientes complejos) tiene exactamente n raíces contando multiplicidades.

Ejemplos y funciones polinómicas

Los polinomios se usan a menudo para formar ecuaciones polinómicas, como la ecuación 7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 = 0 {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0} {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0}, o funciones polinómicas, como f ( x ) = 7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 {\displaystyle f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}{\displaystyle f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}.

Aplicaciones en álgebra y en otras áreas

  • Resolución de ecuaciones: muchas técnicas de álgebra se centran en ecuaciones polinómicas (raíces reales y complejas, multiplicidades).
  • Modelado: en física, ingeniería y economía los polinomios modelan relaciones entre cantidades y permiten aproximar funciones más complicadas.
  • Interpolación y ajuste: polinomios se usan para interpolar datos (polinomio de interpolación de Lagrange) y en regresión para ajustar curvas.
  • Análisis numérico: métodos para encontrar raíces (Newton–Raphson, bisección, etc.) y para aproximar funciones emplean polinomios.
  • Informática y gráficos: curvas y superficies en gráficos por computadora (Bezier, splines) se basan en polinomios o combinaciones de ellos.

Consejos para estudiar polinomios

  • Practicar operaciones con términos semejantes hasta que la combinación sea automática.
  • Aprender a ordenar en forma estándar y a identificar el coeficiente líder y el grado.
  • Estudiar técnicas de factorización (factor común, trinomio cuadrado, diferencia de cuadrados, por agrupación).
  • Relacionar la factorización con las raíces; comprobar siempre sustituyendo las raíces encontradas.

En resumen, los polinomios son expresiones algebraicas sencillas en su forma pero muy potentes en sus aplicaciones. Comprender su estructura y las operaciones básicas sobre ellos es clave para avanzar en álgebra y en muchas áreas científicas y tecnológicas.

Terminología

Dada una serie de n {\displaystyle n}n números k 0 , ... , k n {\displaystyle k_{0},\ldots ,k_{n}} {\displaystyle k_{0},\ldots ,k_{n}}, un polinomio de variable x {\displaystyle x}x toma generalmente la forma k n x n + ... + k 0 x 0 {\displaystyle k_{n}x^{n}+\ldots +k_{0}x^{0}}. {\displaystyle k_{n}x^{n}+\ldots +k_{0}x^{0}}. Las partes de un polinomio separadas por signos más (o menos) se llaman "términos", y los signos son en sí mismos parte del término.

(En un polinomio, la multiplicación se "entiende". Eso significa, por ejemplo, que 2 x {\displaystyle 2x}{\displaystyle 2x} significa dos veces x {\displaystyle x}x , o dos veces x {\displaystyle x}x . Así que si x {\displaystyle x}x es 7 {\displaystyle 7} {\displaystyle 7}, entonces 2 x {\displaystyle 2x}{\displaystyle 2x} es 14 {\displaystyle 14} .) {\displaystyle 14}

Así, en el polinomio 7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197} {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}, los términos son:

7 x 4 {\displaystyle 7x^{4}} {\displaystyle 7x^{4}}

( - 3 ) x 3 {\displaystyle (-3)x^{3}} {\displaystyle (-3)x^{3}}

+ 19 x 2 {\displaystyle +19x^{2}} {\displaystyle +19x^{2}}

( - 8 ) x {\dirección (-8)x} {\displaystyle (-8)x}

+ 197 {\displaystyle +197} {\displaystyle +197}

Si un polinomio sólo tiene un término, se llama "monomio". Los monomios son también los bloques de construcción de los polinomios. Por ejemplo, 5 x 3 {\displaystyle 5x^{3}}{\displaystyle 5x^{3}} es un monomio.

En un término, el multiplicador que va delante se llama "coeficiente". La letra se llama "incógnita" o "variable", y el número elevado después de la letra se llama exponente. En una calculadora y en algunos ordenadores, en lugar de poner un exponente encima y a la derecha de la variable, se utiliza el símbolo ^, de modo que el monomio anterior podría escribirse como 5 x {\displaystyle 5x} {\displaystyle 5x}^ 3 {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} .

Un polinomio con exactamente dos términos se llama "binomio". Un polinomio con exactamente tres términos se llama "trinomio". Dentro de un término:

  • Un término sin variables en él se llama "término constante".
  • Un término con una variable pero sin exponente se llama "término de primer grado", o "término lineal".
  • Un término con una variable que tiene el exponente 2 {\displaystyle 2}{\displaystyle 2} se llama "término de segundo grado" o "término cuadrático". Una "ecuación cuadrática" es una ecuación en la que el mayor exponente de cualquier término es 2 {\displaystyle 2}{\displaystyle 2} .
  • Un término con una variable que tiene el exponente 3 {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} se llama "término de tercer grado" o "término cúbico". Una "ecuación cúbica" es una ecuación en la que el mayor exponente de cualquier término es 3 {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} .
  • Un término con una variable que tiene el exponente 4 {\displaystyle 4}{\displaystyle 4} se llama "término de cuarto grado" o "término cuártico". Una "ecuación cuártica" es una ecuación en la que el mayor exponente de cualquier término es 4 {\displaystyle 4}{\displaystyle 4} .
  • Un término con una variable que tiene el exponente 5 {\displaystyle 5}{\displaystyle 5} se llama "término de quinto grado" o "término quíntico". Una "ecuación quíntica" es una ecuación en la que el mayor exponente de cualquier término es 5 {\displaystyle 5}{\displaystyle 5} .
  • Un término con una variable que tiene el exponente 6 {\displaystyle 6}{\displaystyle 6} se llama "término de sexto grado" o "término sextatico". Una "ecuación sexta" es una ecuación en la que el mayor exponente de cualquier término es 6 {\displaystyle 6}{\displaystyle 6} .


 

Páginas relacionadas

  • Licenciatura (matemáticas)
  • Teorema fundamental del álgebra
  • Teorema del resto del polinomio
  • Raíz del polinomio
  • Ecuación cuártica
  • Teoría de Galois
 

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es un polinomio?


R: Un polinomio es un tipo de expresión matemática que es una suma de varios términos matemáticos llamados monomios, que son números, variables o productos de números y varias variables.

P: ¿Cómo utilizan los polinomios los matemáticos, científicos e ingenieros?


R: Tanto los matemáticos como los científicos y los ingenieros utilizan los polinomios para resolver problemas.

P: ¿Qué operaciones se pueden utilizar en una expresión algebraica para convertirla en un polinomio?


R: Para que una expresión algebraica se considere un polinomio, las únicas operaciones aritméticas que se pueden utilizar son la suma, la resta, la multiplicación y la exponenciación de números enteros. Si se utilizan operaciones más difíciles, como la división o las raíces cuadradas, la expresión algebraica no se considera un polinomio.

P: ¿Qué tipo de ecuaciones se pueden formar con polinomios?


R: Los polinomios se utilizan a menudo para formar tanto ecuaciones polinómicas (como 7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+7=0) como funciones polinómicas (como f(x)=7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197).

P: ¿Qué materia hay que entender para trabajar con polinomios?


R: Para trabajar con polinomios hay que entender el álgebra, que es una asignatura de entrada a todas las materias técnicas.


Buscar dentro de la enciclopedia
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3