Potenciación | una operación aritmética sobre números

En matemáticas, la exponenciación (potencia) es una operación aritmética sobre los números. Puede considerarse como una multiplicación repetida, al igual que la multiplicación puede considerarse como una suma repetida.

En general, dados dos números x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} , la exponenciación de x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} puede escribirse como x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ y leerse como " x {\displaystyle x} elevado a la potencia de y {\displaystyle y} ", o "x {\displaystyle x} a la potencia de y {\displaystyle y} ". En el pasado se han utilizado otros métodos de notación matemática. Cuando no se puede escribir el índice superior, se pueden escribir potencias utilizando los signos ^ o **, de modo que 2^4 o 2**4 significa 2 4 {\displaystyle 2^{4}}. $2^{4}$ .

Aquí, el número x {\displaystyle x} se llama base, y el número y {\displaystyle y} se llama exponente. Por ejemplo, en 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ , 2 es la base y 4 es el exponente.

Para calcular 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ , uno simplemente multiplica 4 copias de 2. Así que 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2} $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ , y el resultado es 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=16} . $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ . La ecuación podría leerse en voz alta como "2 elevado a la potencia de 4 es igual a 16".

Otros ejemplos de exponenciación son:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ para todo número x

Si el exponente es igual a 2, entonces la potencia se llama cuadrada, ya que el área de un cuadrado se calcula con un 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Así que

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ es el cuadrado de x {\displaystyle x}

Del mismo modo, si el exponente es igual a 3, entonces la potencia se llama cubo, porque el volumen de un cubo se calcula con un 3 {\displaystyle a^{3}} $a^{3}$ . Así que

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ es el cubo de x {\displaystyle x}

Si el exponente es igual a -1, entonces la potencia es simplemente el recíproco de la base. Así que

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Si el exponente es un entero menor que 0, entonces la potencia es el recíproco elevado al exponente opuesto. Por ejemplo:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\año({\frac {1}{2}\año)^{3}={\frac {1}{8}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Si el exponente es igual a 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}} ${\tfrac {1}{2}}$ Entonces, el resultado de la exponenciación es la raíz cuadrada de la base, con x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\qrt {x}}.} $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Por ejemplo:

4 1 2 = 4 = 2 {\\a6}= {\a6}= {\a6}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Del mismo modo, si el exponente es 1 n {\displaystyle {tfrac {1}{n}} ${\tfrac {1}{n}}$ , entonces el resultado es la raíz n, donde

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={cuadrado[{n}]{a}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Si el exponente es un número racional p q {\displaystyle {tfrac {p}{q}} ${\tfrac {p}{q}}$ , entonces el resultado es la raíz q de la base elevada a la potencia de p:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

En algunos casos, el exponente puede ni siquiera ser racional. Para elevar una base a a una potencia x irracional, utilizamos una secuencia infinita de números racionales (x_n ), cuyo límite es x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

así:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=lim _{n\to \infty }a^{x_{n}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Hay algunas reglas que facilitan el cálculo de los exponentes:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={frac {1}{a^{n}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Es posible calcular la exponenciación de matrices. En este caso, la matriz debe ser cuadrada. Por ejemplo, I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Conmutatividad

Tanto la suma como la multiplicación son conmutativas. Por ejemplo, 2+3 es lo mismo que 3+2, y 2 - 3 es lo mismo que 3 - 2. Aunque la exponenciación es una multiplicación repetida, no es conmutativa. Por ejemplo, 2³=8, pero 3²=9.

Operaciones inversas

La suma tiene una operación inversa: la resta. Asimismo, la multiplicación tiene una operación inversa: la división.

Pero la exponenciación tiene dos operaciones inversas: La raíz y el logaritmo. Esto es así porque la exponenciación no es conmutativa. Puede ver esto en este ejemplo:

Si tiene x+2=3, entonces puede utilizar la resta para averiguar que x=3-2. Lo mismo ocurre si se tiene 2+x=3: también se obtiene x=3-2. Esto se debe a que x+2 es lo mismo que 2+x.
Si tiene x - 2=3, entonces puede utilizar la división para averiguar que x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Lo mismo ocurre si se tiene 2 - x=3: también se obtiene que x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Esto es porque x - 2 es lo mismo que 2 - x
Si se tiene x²=3, entonces se utiliza la raíz (cuadrada) para averiguar x: se obtiene el resultado de que x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Sin embargo, si tiene 2^x =3, entonces no puede utilizar la raíz para averiguar x. En su lugar, tiene que utilizar el logaritmo (binario) para averiguar x: obtiene el resultado de que x=log₂ (3).

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Función exponencial
Exponenciación por cuadratura
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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la exponenciación?

R: La exponenciación es una operación aritmética sobre números que puede considerarse como una multiplicación repetida.

P: ¿Cómo se escribe la exponenciación?

R: La exponenciación se suele escribir como x^y, donde x es la base e y es el exponente. También puede escribirse utilizando los signos ^ o **, como 2^4 o 2**4.

P: ¿Cuáles son algunos ejemplos de exponenciación?

R: Algunos ejemplos de exponenciación son 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 por cada número x; y 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

P: ¿Qué significa que el exponente sea igual a -1?

R: Cuando el exponente es igual a -1, entonces la potencia es simplemente el recíproco de la base (x^(-1) = 1/x).

P: ¿Cómo se calcula una potencia irracional de una base?

R: Para elevar una base a a una potencia irracional x, utilizamos una secuencia infinita de números racionales (xn), cuyo límite es x (a^x = lim n->infinito a^(x_n)).

P: ¿Existen reglas que faciliten el cálculo de los exponentes?

R: Sí, hay varias reglas que facilitan el cálculo de exponentes. Entre ellas están (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); etc.