Raíz n-ésima y radicales: definición, propiedades y ejemplos

Aprende qué es la raíz n-ésima y los radicales: definición, propiedades, ejemplos resueltos, reglas de operación e interpretación intuitiva para dominar potencias y raíces.

Una raíz n-ésima de un número r es un número que, si se multiplica por sí mismo n veces, da r. También se llama radical o expresión radical. Se puede decir que es un número k para el que la siguiente ecuación es verdadera:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r}

En notación de potencias, esto significa que k elevado a la n es igual a r (ver exponenciación). Para la expresión de la potencia escribimos k n {designar k^{n}} .

Notación y elementos

La raíz n-ésima de r se escribe así:

r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}

En esa notación: radicando es el número debajo del símbolo (aquí r), índice es n (indica la raíz: 2 → cuadrada, 3 → cúbica, etc.) y la parte con forma de tilde es el símbolo radical o signo radical.

Ejemplo básico

Por ejemplo,

8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2} porque 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}.

Raíz principal y signos

Cuando hablamos de la raíz n-ésima sin más precisiones, normalmente nos referimos a la raíz principal, que es:

• no negativa si n es par y el radicando es positivo (por ejemplo, la raíz cuadrada principal de 9 es 3, no −3);
• la única raíz real si n es impar (por ejemplo, la raíz cúbica de −8 es −2).

En el caso de índices pares y radicando positivo existen dos raíces reales (±k), pero por convención la raíz indicada por el símbolo radical es la raíz no negativa. Para radicandos negativos y n par no existe raíz real, aunque sí existen raíces complejas (en total hay n raíces complejas distintas, distribuidas en el plano complejo).

Conversión entre raíces y potencias

Las raíces y las potencias se relacionan mediante exponentes racionales. En general:

Las raíces y las potencias pueden cambiarse como se muestra en x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}.

Esto permite trabajar con raíces como potencias racionales: por ejemplo, la raíz n-ésima de x es x^{1/n}.

Propiedades útiles de radicales

Muchas propiedades se aplican siempre que las expresiones estén definidas (por ejemplo, para raíces pares se requiere radicando ≥ 0). Entre las más usadas:

• Producto: para índices pares o cuando las raíces están definidas, a b = a × b {\a}}= {cuadrado de {ab}} por {cuadrado de {a}}}. Es decir, √(ab) = √a · √b cuando ambas raíces están definidas.
• Cociente: análogamente, a b = a b {{sqrt {\frac {a}{b}}={frac {\sqrt {a}}{{sqrt {b}}}}. Es decir, √(a/b) = √a / √b siempre que b>0 (y para índices pares también a≥0).
• Potencia de una raíz: (√[b]{x})^{a} = x^{a/b}, según la conversión anterior.
• Suma y resta: sólo se pueden combinar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando o que se puedan transformar en radicandos iguales tras simplificar). Por ejemplo, √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2.

Cómo simplificar radicales

Para simplificar una raíz n-ésima de un número entero o expresión algebraica:

• factoriza el radicando en factores primos o como potencias perfectas;
• extrae los factores que son potencias de orden n fuera del símbolo radical;
• deja dentro del radical el resto de factores cuyo exponente es menor que n.

Ejemplos:

• √{72} = √(36·2) = √36 · √2 = 6√2.
• ∛{54} = ∛(27·2) = ∛27 · ∛2 = 3∛2.
• Para potencias racionales: x^{7/3} = (x^{1/3})^{7} = (∛x)^{7} = (∛x)^{6}·∛x = (∛x)^{6}·∛x = x^{2}·∛x.

Racionalización del denominador

Cuando aparece una raíz en el denominador es común eliminarla multiplicando numerador y denominador por un factor conveniente:

• Para 1/√a, multiplicar por √a/√a para obtener √a/a.
• Para denominadores con raíces cúbicas u órdenes superiores, la racionalización puede requerir multiplicar por una suma adecuada (usando factorizaciones como (x³−y³) o multiplicar por potencias del radical hasta obtener un exponente múltiplo del índice).

Casos especiales y consideraciones

• Si el índice n es par, el radicando debe ser ≥ 0 para que exista raíz real.
• Si el índice n es impar, la raíz real existe para cualquier radicando real (incluyendo negativos).
• Al resolver ecuaciones con radicales (por ejemplo, con raíces cuadradas), al elevar ambos lados a una potencia puede aparecer soluciones extraviadas; por eso siempre hay que verificar las soluciones en la ecuación original.
• En el campo complejo, una raíz n-ésima de un número no nulo tiene exactamente n valores distintos; la raíz indicada por el símbolo radical es la raíz principal según la convención escogida.

Ejemplos resueltos

• √{50} = √(25·2) = 5√2.
• ∛{-125} = -5 (porque (-5)³ = -125 y el índice 3 es impar).
• Simplificar √[4]{16x^{8}}: 16 = 2^{4} y x^{8} = (x^{2})^{4}, luego √[4]{16x^{8}} = 2x^{2} (tomando la raíz principal si x está en el dominio apropiado).
• Combinar: √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2.
• Racionalizar: 1/(1+√2) — para racionalizar se multiplica por (1−√2)/(1−√2) y se obtiene (1−√2)/(1−2) = (√2−1).

Las propiedades aquí expuestas facilitan el cálculo y la simplificación de expresiones que involucran raíces y permiten pasar entre la notación de radicales y la de potencias racionales (ver exponenciación). Para operaciones más avanzadas, como raíces de números complejos o simplificación sistemática en álgebra simbólica, se usan técnicas adicionales (forma polar, fórmula de De Moivre, etc.).

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es una raíz n-ésima?

P: ¿Cómo se escribe una raíz n-ésima?

P: ¿Cuáles son algunos ejemplos de raíces?

P: ¿Qué establece la propiedad producto de una expresión radical?

P: ¿Qué establece la propiedad de cociente de una expresión radical?

P: ¿Qué otros términos se pueden utilizar para referirse a una raíz n-ésima?

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