Cuadrado perfecto

Un número cuadrado, a veces también llamado cuadrado perfecto, es el resultado de un número entero multiplicado por sí mismo. 1, 4, 9, 16 y 25 son los cinco primeros números cuadrados. En una fórmula, el cuadrado de un número n se denota $n 2$ (exponenciación), que suele pronunciarse como "n al cuadrado". El nombre de número cuadrado proviene del nombre de la forma; véase más abajo.

Los números cuadrados son no negativos. Otra forma de decir que un número (no negativo) es un número cuadrado, es que su raíz cuadrada es de nuevo un número entero. Por ejemplo, √9 = 3, por lo que 9 es un número cuadrado.

Ejemplos

Las plazas (secuencia A000290 en la OEIS) menores de 70 ²son:

0 ²=0

1 ²= 1

2 ²= 4

3 ²= 9

4 ²= 16

5 ²= 25

6 ²= 36

7 ²= 49

8 ²= 64

9 ²= 81

10 ²=100

11 ²= 121

12 ²= 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16 ²= 256

17² = 289

18² = 324

19 ²= 361

20² = 400

21² = 441

22 ²= 484

23² = 529

24 ²= 576

25 ²= 625

26 ²= 676

27 ²= 729

28 ²= 784

29 ²= 841

30 ²= 900

31² = 961

32 ²= 1024

33² = 1089

34 ²= 1156

35 ²= 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39 ²= 1521

40² = 1600

41² = 1681

42 ²= 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47 ²= 2209

48² = 2304

49 ²= 2401

50² = 2500

51² = 2601

52 ²= 2704

53² = 2809

54 ²= 2916

55 ²= 3025

56 ²= 3136

57 ²= 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61 ²= 3721

62 ²= 3844

63 ²= 3969

64 ²= 4096

65 ²= 4225

66 ²= 4356

67 ²= 4489

68 ²= 4624

69 ²= 4761

Hay infinitos números cuadrados, como hay infinitos números naturales.

Propiedades

El número m es un número cuadrado si y sólo si se puede componer un cuadrado de m cuadrados iguales (menores):

m = 1 ²= 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5 ²= 25
Nota: Los espacios blancos entre las casillas sólo sirven para mejorar la percepción visual. No debe haber espacios entre las casillas reales.

Un cuadrado de lado n tiene un área $n 2$ .

La expresión para el enésimo número cuadrado es n² . También es igual a la suma de los n primeros números impares, como se puede ver en las imágenes anteriores, en las que un cuadrado resulta del anterior al sumar un número impar de puntos (mostrados en magenta). La fórmula es la siguiente:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\a suma _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Así, por ejemplo, $52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9$ .

Un número cuadrado sólo puede terminar con las cifras 0, 1, 4, 6, 9 o 25 en base 10, como sigue:

Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado termina en un número par de 0s (por lo tanto, al menos 00) y los dígitos que preceden a los 0s finales también deben formar un cuadrado.
Si la última cifra de un número es 1 o 9, su cuadrado termina en 1 y el número formado por sus cifras anteriores debe ser divisible por cuatro.
Si la última cifra de un número es 2 u 8, su cuadrado termina en 4 y la cifra anterior debe ser par.
Si la última cifra de un número es el 3 o el 7, su cuadrado termina en 9 y el número formado por sus cifras anteriores debe ser divisible por cuatro.
Si la última cifra de un número es 4 o 6, su cuadrado termina en 6 y la cifra anterior debe ser impar.
Si la última cifra de un número es 5, su cuadrado termina en 25 y las cifras anteriores deben ser 0, 2, 06 o 56.

Un número cuadrado no puede ser un número perfecto.

Todas las cuartas potencias, sextas potencias, octavas potencias y demás son cuadrados perfectos.

Casos especiales

Si el número es de la forma m5 donde m representa los dígitos anteriores, su cuadrado es n25 donde $n = m \times (m + 1)$ y representa los dígitos anteriores a 25. Por ejemplo, el cuadrado de 65 puede calcularse mediante $n = 6 \times (6 + 1) = 42$ , lo que hace que el cuadrado sea igual a 4225.
Si el número es de la forma m0 donde m representa las cifras anteriores, su cuadrado es n00 donde $n = m 2$ . Por ejemplo, el cuadrado de 70 es 4900.
Si el número tiene dos cifras y es de la forma 5m donde m representa la cifra de las unidades, su cuadrado es AABB donde $AA = 25 + m$ y $BB = m 2$ . Ejemplo: Para calcular el cuadrado de 57, 25 + 7 = 32 y 7²= 49, lo que significa que 57 ²= 3249.

Números cuadrados pares e impares

Los cuadrados de los números pares son pares (y de hecho divisibles por 4), ya que $(2n) 2 = 4n$ $2$ .

Los cuadrados de los números impares son impares, ya que $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1$ .

Se deduce que las raíces cuadradas de los números cuadrados pares son pares, y las raíces cuadradas de los números cuadrados impares son impares.

Como todos los números pares cuadrados son divisibles por 4, los números pares de la forma $4n + 2$ no son números cuadrados.

Como todos los números cuadrados impares son de la forma $4n + 1$ , los números impares de la forma $4n + 3$ no son números cuadrados.

Los cuadrados de los números impares son de la forma $8n + 1$ , ya que $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1$ y $n (n + 1)$ es un número par.