Un número cuadrado, también denominado con frecuencia cuadrado perfecto, es el resultado de multiplicar un número entero por sí mismo. En notación algebraica el cuadrado de un número n se escribe n2, operación que forma parte de la exponenciación.

Ejemplos y notación

Los primeros números cuadrados son:

  • 0 = 0·0
  • 1 = 1·1
  • 4 = 2·2
  • 9 = 3·3
  • 16 = 4·4
  • 25 = 5·5

La expresión n2 se lee "n al cuadrado". El término "cuadrado" procede de la correspondencia geométrica: estos números cuentan puntos o unidades que pueden disponerse en forma de un cuadrado de lado entero.

Definición práctica

  • Un número entero no negativo m es un número cuadrado si existe un número entero n tal que m = n2.
  • Equivalente práctico: m es cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es un entero.
  • En términos de multiplicación: m = n × n (ver multiplicado).

Propiedades elementales

  • Signo: los cuadrados de enteros son siempre no negativos.
  • Paridad: el cuadrado de un entero par es par; el de un entero impar es impar.
  • Crecimiento: la sucesión de cuadrados crece de forma cuadrática: el n-ésimo cuadrado es n2.
  • Diferencias consecutivas: la diferencia entre cuadrados sucesivos satisface (n+1)2 − n2 = 2n + 1 (una sucesión de números impares).
  • Suma de impares: la suma de los primeros n números impares es n2.
  • Factorización: la diferencia de cuadrados se factoriza: a2 − b2 = (a − b)(a + b).

Criterios para reconocer un cuadrado perfecto

  • Raíz entera: calcular la raíz cuadrada. Si es un entero, el número es cuadrado.
  • Factorización prima: un entero positivo es cuadrado perfecto si en su descomposición en factores primos todos los exponentes son pares.
  • Última cifra (base 10): un cuadrado decimal puede terminar solo en 0, 1, 4, 5, 6 o 9; no puede terminar en 2, 3, 7 ni 8. Esto es una prueba rápida de exclusión, no una condición suficiente.

Interpretación geométrica

Un número cuadrado representado sobre una cuadrícula regular corresponde al número de puntos que forman un cuadrado de lado entero. Por ejemplo, 16 puntos se pueden colocar en una malla para formar un cuadrado de lado 4.

Relaciones y observaciones adicionales

  • El cuadrado de −n es el mismo que el de n: (−n)2 = n2, por eso la noción de cuadrado perfecto se aplica a números enteros no negativos.
  • Los cuadrados aparecen frecuentemente en fórmulas de áreas (área de un cuadrado de lado n es n2) y en identidades algebraicas básicas.
  • La secuencia de cuadrados es una de las sucesiones aritmético–geométricas más estudiadas y sirve como punto de partida para conceptos como números figurados y números poligonales.

Para detectar y manipular cuadrados perfectos en cálculos es habitual combinar la comprobación de la raíz cuadrada con la observación de la descomposición en primos y con pruebas modulares simples. La idea fundamental permanece: un número es cuadrado perfecto cuando puede expresarse como n multiplicado por sí mismo (véase multiplicado por entero).