Número perfecto: definición, propiedades y ejemplos (6, 28, 496, 8128)

Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos se generan mediante la fórmula 2^n-1 (2ⁿ - 1):

para n = 2: 2¹ (2² - 1) = 6

para n = 3: 2² (2³ - 1) = 28

para n = 5: 2⁴ (2⁵ - 1) = 496

para n = 7: 2⁶ (2⁷ - 1) = 8128

Euclides vio que 2ⁿ - 1 es un número primo en estos cuatro casos. Entonces demostró que la fórmula 2^n-1 (2ⁿ - 1) da un número perfecto par siempre que 2ⁿ - 1 sea primo (Euclides, Prop. IX.36).

Los antiguos matemáticos hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que conocían. La mayoría de las suposiciones eran erróneas. Una de estas suposiciones era que, dado que 2, 3, 5 y 7 son precisamente los cuatro primeros primos, el quinto número perfecto se obtendría cuando n = 11, el quinto primo. Sin embargo, 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y, por tanto, n = 11 no da un número perfecto. Otras dos suposiciones erróneas fueron:

• El quinto número perfecto tendría cinco dígitos ya que los cuatro primeros tenían 1, 2, 3 y 4 dígitos respectivamente.
• Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 u 8.

El quinto número perfecto ( 33550336 = 2 12 ( 2 13 - 1 ) {\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)} ) tiene 8 dígitos. Esto falsifica la primera suposición. Para la segunda suposición, el quinto número perfecto termina efectivamente con un 6. Sin embargo, el sexto (8 589 869 056) también termina en un 6. Es sencillo demostrar que la última cifra de cualquier número perfecto par debe ser 6 u 8.

Para que 2 n - 1 {\displaystyle 2^{n}-1} sea primo, es necesario que n {\displaystyle n} sea primo. Los números primos de la forma 2ⁿ - 1 se conocen como primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne, que estudió la teoría de los números y los números perfectos.

Dos milenios después de Euclides, Euler demostró que la fórmula 2^n-1 (2ⁿ - 1) da lugar a todos los números perfectos pares. Por lo tanto, cada primo de Mersenne dará lugar a un número perfecto distinto: existe una asociación concreta de uno a uno entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne. Este resultado se conoce a menudo como el "Teorema de Euclides-Euler". Hasta enero de 2013, sólo se conocen 48 primos de Mersenne. Esto significa que se conocen 48 números perfectos, siendo el mayor 2^57,885,160 × (2^57,885,161 - 1) con 34.850.340 dígitos.

Los primeros 42 números perfectos pares son 2^n-1 (2ⁿ - 1) para

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951 (secuencia A000043 en la OEIS)

Los otros 7 conocidos son para n = 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281. Actualmente no se sabe si hay otros entre ellos.

Todavía no se sabe si existen infinitos primos de Mersenne y números perfectos. La búsqueda de nuevos primos de Mersenne es el objetivo del proyecto de computación distribuida GIMPS.

Como cualquier número perfecto par tiene la forma 2^n-1 (2ⁿ - 1), es un número triangular y, como todos los números triangulares, es la suma de todos los números naturales hasta un cierto punto; en este caso: 2ⁿ - 1. Además, cualquier número perfecto par, excepto el primero, es la suma de los 2 primeros^(n-1)/2 cubos impares:

6 = 2 1 ( 2 2 - 1 ) = 1 + 2 + 3 , {\displaystyle 6=2^{1}(2^{2}-1)=1+2+3,}

28 = 2 2 ( 2 3 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 3 + 3 3 , {\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},}

496 = 2 4 ( 2 5 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 29 + 30 + 31 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 , {\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1+2+3+\cdots +29+30+31=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},}

8128 = 2 6 ( 2 7 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 125 + 126 + 127 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 . {\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1+2+3+\cdots +125+126+127=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.\,}

33550336 = 2 1 3 ( 2 1 4 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 8188 + 8189 + 8190 + 8191 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + ⋯ + 4089 3 + 4091 3 + 4095 3 . {\displaystyle 33550336=2^{1}3(2^{1}4-1)=1+2+3+4+\cdots +8188+8189+8190+8191=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+\cdots +4089^{3}+4091^{3}+4095^{3}. }  

No se sabe si existen números perfectos impares. Se han obtenido varios resultados, pero ninguno que haya ayudado a localizar uno o a resolver la cuestión de su existencia. Carl Pomerance ha presentado un argumento heurístico que sugiere que no existen números perfectos impares[1] También se ha conjeturado que no hay números armónicos impares de Ore. De ser cierto, esto significaría que no hay números perfectos impares.

Cualquier número perfecto impar N debe satisfacer las siguientes condiciones:

• N > 10³⁰⁰ . Es probable que, en un futuro próximo, se demuestre que N > 10⁵⁰⁰ . [2]
• N es de la forma

N = q α p 1 2 e 1 ... p k 2 e k , {\displaystyle N=q^{{alpha }p_{1}^{2e_{1}\ldots p_{k}^{2e_{k},}

donde:

·         q, p₁ , ..., p_k son primos distintos.

·         q ≡ α ≡ 1 (módulo 4) (Euler).

Prueba

Sea n = p 0 e 0 p 1 e 1 . . . p r e r {\displaystyle n=p_{0}^{e_{0}}p_{1}^e_{1}}...p_{r}^e_{r}} un número perfecto impar. Como la función divisora es multiplicativa, 2 n = σ ( n ) = σ ( p 0 e 0 ) σ ( p 1 e 1 ) . . σ ( p r k r ) {\displaystyle 2n=\sigma (n)=\sigma (p_{0}^{e_{0}})\sigma (p_{1}^{e_{1}})...\sigma (p_{r}^{k_{r}})} .

σ ( p 0 e 0 ) {\displaystyle \sigma (p_{0}^{e_{0}})} debe ser un par no divisible por 4 y todos los restantes deben ser impares.

σ ( p 0 e 0 ) ≡ e 0 + 1 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (p_{0}^{e_{0}})\equiv e_{0}+1{pmod {4}} obliga a e 0 ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle e_{0}\equiv 1{pmod {4}} .

• O bien q^α > 10²⁰ , o bien p j 2 e j {{displaystyle p_{j}^{2e_{j}} > 10²⁰ para alguna j (Cohen 1987).
• N < 2 4 k {\displaystyle 2^{4^{k}} (Nielsen 2003).
• La relación e 1 {\displaystyle e_{1}} ≡ e 2 {\displaystyle e_{2}} ...≡ e k {\displaystyle e_{k}} ≡ 1 (módulo 3) no se satisface (McDaniel 1970).
• El factor primo más pequeño de N es menor que (2k + 8) / 3 (Grün 1952).

• El mayor factor primo de N es mayor que 10⁸ (Takeshi Goto y Yasuo Ohno, 2006).
• El segundo factor primo más grande es mayor que 10⁴ , y el tercer factor primo más grande es mayor que 100 (Iannucci 1999, 2000).
• N tiene al menos 75 factores primos; y al menos 9 factores primos distintos. Si 3 no es uno de los factores de N, entonces N tiene al menos 12 factores primos distintos (Nielsen 2006; Kevin Hare 2005).

Los números perfectos pares tienen una forma muy precisa; los números perfectos impares son raros, si es que existen. Hay una serie de resultados sobre los números perfectos que en realidad son bastante fáciles de demostrar, pero que, sin embargo, son superficialmente impresionantes; algunos de ellos también entran en la Ley Fuerte de los Números Pequeños de Richard Guy:

• Todo número perfecto impar es de la forma 12m + 1 o 4356m + 1089 o 468m + 117 o 2916m + 729 (Roberts 2008).
• Un número perfecto impar no es divisible por 105 (Kühnel 1949).
• Todo número perfecto impar es la suma de dos cuadrados (Stuyvaert 1896).
• Un número de Fermat no puede ser un número perfecto (Luca 2000).
• El único número perfecto par de la forma x 3 + 1 {\displaystyle x^{3}+1} es el 28 (Makowski 1962).
• Al dividir la definición por el número perfecto N, los recíprocos de los factores de un número perfecto N deben sumar 2:
• Para 6, tenemos 1 / 6 + 1 / 3 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2 {\displaystyle 1/6+1/3+1/2+1/1=2} ;
• Para 28, tenemos 1 / 28 + 1 / 14 + 1 / 7 + 1 / 4 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2 {\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2} etc.
• El número de divisores de un número perfecto (sea par o impar) debe ser par, ya que N no puede ser un cuadrado perfecto.
• De estos dos resultados se deduce que todo número perfecto es un número armónico de Ore.

La suma de los divisores propios da otras clases de números. Los números en los que la suma es menor que el propio número se llaman deficientes, y en los que es mayor que el número, abundantes. Estos términos, junto con el propio perfecto, proceden de la numerología griega. Un par de números que son la suma de los divisores propios de cada uno se llaman amistosos, y los ciclos de números mayores se llaman sociables. Un número entero positivo tal que cada número entero positivo menor es una suma de divisores distintos de él es un número práctico.

Por definición, un número perfecto es un punto fijo de la función de suma de divisores restringida s(n) = σ(n) - n, y la sucesión alícuota asociada a un número perfecto es una sucesión constante.