Para el segundo operando de una división, véase división (matemáticas).

En matemáticas, un divisor de un número entero n, también llamado factor de n, es un número entero que divide uniformemente a n sin dejar un resto. Cualquier número es siempre divisible uniformemente por 1 y por sí mismo, que son dos de los divisores. Un número primo no tiene otros divisores.

Encontrar uno o más factores de un número dado se llama factorización.

Definición algebraica

Formalmente, decimos que un entero d es divisor de otro entero n si existe un entero k tal que n = d · k. En notación, se escribe d | n (se lee "d divide a n"). Si no existe tal entero k, se escribe d ∤ n.

Divisores positivos y negativos; unidades y divisores propios

  • Divisores positivos: al hablar de divisores en teoría elemental se consideran frecuentemente solo los divisores positivos de n.
  • Divisores negativos: si d divide a n, entonces también -d divide a n. Por tanto cada divisor positivo tiene su opuesto negativo como divisor.
  • Unidades: en los enteros los únicos elementos invertibles (unidades) son 1 y -1. A menudo se consideran equivalentes los divisores que difieren sólo por signo (se llaman asociados).
  • Divisor propio: un divisor propio de n es un divisor distinto de n mismo (y, según contexto, a veces también distinto de ±1).

Ejemplo sencillo

Los divisores positivos de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Los divisores enteros completos de 12 son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Sus divisores propios positivos son 1, 2, 3, 4 y 6.

Propiedades básicas de la divisibilidad

  • Transitividad: si a | b y b | c, entonces a | c.
  • Compatibilidad con la multiplicación: si a | b entonces a | (b·c) para cualquier entero c.
  • Suma y resta: si a | b y a | c, entonces a | (b ± c). En particular, si a | b y a | c, entonces a divide cualquier combinación lineal entera xb + yc.
  • Magnitud: si a | b y a no es unidad, normalmente |a| ≤ |b| (salvo convenciones sobre unidades).

Máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm)

El máximo común divisor de dos enteros a y b, denotado gcd(a,b) o MCD(a,b), es el mayor entero positivo que divide a ambos. El MCD puede calcularse eficientemente con el algoritmo de Euclides. El mínimo común múltiplo (mcm) también está relacionado con los divisores; para enteros no nulos se cumple la identidad

|a·b| = gcd(a,b) · lcm(a,b).

Factorización y teorema fundamental de la aritmética

Cualquier entero mayor que 1 se puede expresar como producto de números primos; esta expresión es única salvo por el orden de los factores y el signo. Esto se conoce como el teorema fundamental de la aritmética. La factorización prima permite describir todos los divisores de un número: si

n = p1^e1 · p2^e2 · ... · pk^ek (con pi primos distintos y ei ≥ 1), entonces cualquier divisor positivo d de n tiene la forma

d = p1^f1 · p2^f2 · ... · pk^fk con 0 ≤ fi ≤ ei. Por tanto el número de divisores positivos de n es (e1 + 1)(e2 + 1)...(ek + 1).

Ejemplo: 360 = 2^3 · 3^2 · 5. Un divisor positivo de 360 tiene la forma 2^a · 3^b · 5^c con 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 2, 0 ≤ c ≤ 1.

Métodos de factorización y dificultad computacional

  • División por ensayo: probar la divisibilidad por primos crecientes hasta la raíz cuadrada del número.
  • Técnicas avanzadas: cribas (por ejemplo, la Sieve of Eratosthenes para generar primos), factorización por agrupación, criba cuadrática, factor de Fermat, y algoritmos probabilísticos o heurísticos como Pollard's rho.
  • Dificultad para enteros grandes: factorizar enteros muy grandes (cientos o miles de dígitos) es computacionalmente costoso y es la base de la seguridad de algunos sistemas criptográficos (por ejemplo, RSA).

Funciones aritméticas relacionadas

  • La función τ(n) o d(n) da el número de divisores positivos de n.
  • La función σ(n) da la suma de los divisores positivos de n.
  • Estas funciones son multiplicativas: si m y n son coprimos entonces f(mn) = f(m)f(n) para f = τ o σ.

Generalizaciones y contexto

El concepto de divisor se generaliza en teoría de anillos: en un anillo, un elemento a divide a b si existe un elemento c tal que b = ac. En anillos que no son factoriales la factorización en "primos" puede no ser única, a diferencia del caso de los enteros.

Aplicaciones

  • Cálculo de fracciones equivalentes y simplificación de fracciones mediante el MCD.
  • Problemas de conteo y estructura aritmética (por ejemplo, encontrar números perfectos o abundantess mediante la función σ).
  • Criptografía basada en la dificultad de la factorización de enteros grandes.
  • Teoría de números, teoría de grupos y álgebra con aplicaciones en ciencias e ingeniería.

En resumen, el estudio de los divisores y la factorización de números enteros es una piedra angular de la aritmética y la teoría de números, con formulaciones sencillas pero consecuencias profundas tanto teóricas como prácticas.