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Números primos

Definición, propiedades y métodos sobre los números primos: infinitud, teorema fundamental de la aritmética, distribución, cribas y pruebas de primalidad, y problemas abiertos como la conjetura de Goldbach.

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Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Si un número puede expresarse como el producto de dos enteros mayores que 1, se denomina número compuesto. En notación simbólica se dice que no existe una factorización del tipo m × n (salvo 1 × el propio número) —{\displaystyle m\times n}—. El número primo más pequeño es el 2; los siguientes son 3, 5, 7, 11 y 13.

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Prime rectangles
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Ejemplos básicos

  • Los primeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
  • El 2 es el único primo par; todos los demás primos son impares.
  • El número 1 no se considera ni primo ni compuesto.

Propiedades fundamentales

  • Infinitud: no existe un mayor número primo; hay infinitos primos (demostrado por Euclides).
  • Factorización única: cada entero positivo mayor que 1 se puede escribir como producto de primos de forma única, salvo el orden de los factores (ver sección siguiente).
  • Distribución: los primos se vuelven menos frecuentes conforme crecen los números, aunque aparecen de forma irregular.

Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número entero positivo mayor que 1 puede factorizarse como producto de primos de manera única, salvo el orden de los factores. Esta propiedad convierte a los primos en los “bloques básicos” de la aritmética multiplicativa.

Pruebas de primalidad y cribas

Determinar si un número grande es primo es más difícil que para los números pequeños. Entre los métodos más usados están:

  • División por ensayo (comprobar divisores hasta la raíz cuadrada): sencillo pero lento para números grandes.
  • Criba de Eratóstenes y variantes (cribas segmentadas, criba de Atkin): útiles para generar todos los primos hasta un límite.
  • Pruebas probabilísticas (por ejemplo, Miller–Rabin): rápidas y prácticas; dan una alta certeza de primalidad.
  • Pruebas deterministas modernas (por ejemplo, AKS): prueban primalidad en tiempo polinómico en el peor caso.

Distribución de los primos

La frecuencia de los primos entre los enteros se describe asintóticamente por el teorema de los números primos, que afirma, en términos informales, que la densidad de primos alrededor de un número grande x es aproximadamente 1 / log(x). Esto explica por qué los primos se vuelven más escasos a medida que crecen los números, aunque nunca desaparecen.

Problemas abiertos y conjeturas

  • La conjetura de Goldbach: propone que todo entero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos primos. Sigue sin demostrarse en su forma fuerte para todos los enteros.
  • Otras preguntas no resueltas incluyen la conjetura de los primos gemelos (si existen infinitos pares de primos con diferencia 2) y la distribución fina de primos en progresiones aritméticas.

Historia y búsqueda moderna

La teoría de los primos se remonta a la antigüedad; Euclides dio la primera demostración conocida de la infinitud de los primos. En la era moderna, la búsqueda de primos grandes —especialmente de primos de Mersenne— se hace también de forma colaborativa en proyectos informáticos distribuidos como GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), que ha permitido descubrir varios de los primos más grandes conocidos.

Notación y conjuntos

El conjunto de todos los números primos se denota a menudo por P o por la letra negra cae mathbb{P} —{\displaystyle \mathbb {P} }— y se estudia tanto por razones puramente teóricas como por aplicaciones en criptografía, teoría de números y ciencias de la computación.

He aquí otra forma de pensar en los números primos. El número 12 no es primo, porque se puede hacer un rectángulo con lados de longitudes 4 y 3. Este rectángulo tiene un área de 12, porque se utilizan los 12 bloques. Esto no se puede hacer con el 11. No importa cómo se disponga el rectángulo, siempre sobrarán bloques, excepto en el rectángulo con lados de longitudes 11 y 1. Por tanto, el 11 debe ser un número primo.  
He aquí otra forma de pensar en los números primos. El número 12 no es primo, porque se puede hacer un rectángulo con lados de longitudes 4 y 3. Este rectángulo tiene un área de 12, porque se utilizan los 12 bloques. Esto no se puede hacer con el 11. No importa cómo se disponga el rectángulo, siempre sobrarán bloques, excepto en el rectángulo con lados de longitudes 11 y 1. Por tanto, el 11 debe ser un número primo.  

Cómo encontrar números primos pequeños

Existe un método sencillo para encontrar una lista de números primos. Lo creó Eratóstenes. Tiene el nombre de Tamiz de Eratóstenes. Atrapa los números que no son primos (como un tamiz), y deja pasar los números primos.

El método funciona con una lista de números, y un número especial llamado b que cambia durante el método. A medida que se avanza en el método, se rodean algunos números de la lista y se tachan otros. Cada número rodeado es primo y cada número tachado es compuesto. Al principio, todos los números son sencillos: sin rodear y sin tachar.

El método es siempre el mismo:

  1. En una hoja de papel, escriba todos los números enteros desde el 2 hasta el número que se está probando. No escriba el número 1. Pase al siguiente paso.
  2. Comience con b igual a 2. Pase al siguiente paso.
  3. Circule la letra b en la lista. Vaya al siguiente paso.
  4. Empezando por b, cuente b más en la lista y tache ese número. Repita contando hacia arriba b más números y tachando números hasta el final de la lista. Pase al siguiente paso.
    • (Por ejemplo: Cuando b sea 2, rodeará el 2 y tachará el 4, el 6, el 8, etc. Cuando b sea 3, rodeará 3 y tachará 6, 9, 12, etc. El 6 y el 12 ya han sido tachados. Táchelos de nuevo).
  5. Aumente b en 1. Vaya al siguiente paso.
  6. Si b ha sido tachado, vuelva al paso anterior. Si b es un número de la lista que no ha sido tachado, vaya al tercer paso. Si b no está en la lista, vaya al último paso.
  7. (Este es el último paso.) Ha terminado. Todos los números primos están marcados con un círculo y todos los números compuestos están tachados

Por ejemplo, se puede llevar a cabo este método con una lista de los números del 2 al 10. Al final, los números 2, 3, 5 y 7 acabarán rodeados. Estos son números primos. Los números 4, 6, 8, 9 y 10 quedarán tachados. Estos son números compuestos.

Este método o algoritmo tarda mucho en encontrar números primos muy grandes. Sin embargo, es menos complicado que los métodos utilizados para primos muy grandes, como la prueba de primalidad de Fermat (una prueba para ver si un número es primo o no) y la prueba de primalidad de Miller-Rabin.


 

Para qué se utilizan los números primos

Los números primos son muy importantes en las matemáticas y la informática. Los números muy largos son difíciles de resolver. Es difícil encontrar sus factores primos, por lo que la mayoría de las veces, los números que probablemente son primos se utilizan para la encriptación y los códigos secretos. Por ejemplo:

  • La mayoría de la gente tiene una tarjeta bancaria con la que puede sacar dinero de su cuenta utilizando un cajero automático. Esta tarjeta está protegida por un código de acceso secreto. Como el código debe mantenerse en secreto, no puede almacenarse en texto claro en la tarjeta. Se utiliza la encriptación para almacenar el código de forma secreta. Este cifrado utiliza multiplicaciones, divisiones y la búsqueda de restos de grandes números primos. En la práctica se suele utilizar un algoritmo llamado RSA. Utiliza el teorema chino del resto.
  • Si alguien tiene una firma digital para su correo electrónico, se utiliza la encriptación. Esto asegura que nadie pueda falsificar un correo electrónico suyo. Antes de firmar, se crea un valor hash del mensaje. A continuación, se combina con una firma digital para producir un mensaje firmado. Los métodos utilizados son más o menos los mismos que en el primer caso anterior.
  • Encontrar el mayor número primo conocido se ha convertido, a lo largo de los años, en una especie de deporte. Comprobar si un número es primo puede ser difícil si el número es grande. Los mayores primos conocidos en cualquier momento suelen ser primos de Mersenne, porque la prueba de primalidad más rápida que se conoce es la prueba de Lucas-Lehmer, que se basa en la forma especial de los números de Mersenne.

 

Páginas relacionadas

  • Coprime
  • Lista de números primos
  • Prima palindrómica
  • Factorización de primos
  • Wilson prime


 

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es un número primo?

R: Un número primo es un número natural que no puede ser dividido por ningún otro número natural excepto por el 1 y por sí mismo.

P: ¿Cuál es el número compuesto más pequeño?

R: El número compuesto más pequeño es el 4, porque 2 x 2 = 4.

P: ¿Cuáles son los siguientes números primos después del 2?

R: Los siguientes números primos después del 2 son el 3, el 5, el 7, el 11 y el 13.

P: ¿Existe un número primo más grande?

R: No, no existe el mayor número primo. El conjunto de números primos es infinito.

P: ¿Qué dice el teorema fundamental de la aritmética?

R: El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero positivo puede escribirse como un producto de primos de forma única.

P: ¿Qué es la conjetura de Goldbach?

R: La conjetura de Goldbach es un problema no resuelto en matemáticas que afirma que todo número entero par mayor que dos puede expresarse como la suma de dos primos.

P: ¿Quién registró la prueba de que no existe el mayor número primo?

R: Euclides registró la prueba de que no existía el mayor número primo.

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Autor

AlegsaOnline.com Números primos

URL: https://es.alegsaonline.com/art/79128

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Fuentes