Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Si un número puede expresarse como el producto de dos enteros mayores que 1, se denomina número compuesto. En notación simbólica se dice que no existe una factorización del tipo m × n (salvo 1 × el propio número) —{\displaystyle m\times n}—. El número primo más pequeño es el 2; los siguientes son 3, 5, 7, 11 y 13.

Ejemplos básicos

  • Los primeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
  • El 2 es el único primo par; todos los demás primos son impares.
  • El número 1 no se considera ni primo ni compuesto.

Propiedades fundamentales

  • Infinitud: no existe un mayor número primo; hay infinitos primos (demostrado por Euclides).
  • Factorización única: cada entero positivo mayor que 1 se puede escribir como producto de primos de forma única, salvo el orden de los factores (ver sección siguiente).
  • Distribución: los primos se vuelven menos frecuentes conforme crecen los números, aunque aparecen de forma irregular.

Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número entero positivo mayor que 1 puede factorizarse como producto de primos de manera única, salvo el orden de los factores. Esta propiedad convierte a los primos en los “bloques básicos” de la aritmética multiplicativa.

Pruebas de primalidad y cribas

Determinar si un número grande es primo es más difícil que para los números pequeños. Entre los métodos más usados están:

  • División por ensayo (comprobar divisores hasta la raíz cuadrada): sencillo pero lento para números grandes.
  • Criba de Eratóstenes y variantes (cribas segmentadas, criba de Atkin): útiles para generar todos los primos hasta un límite.
  • Pruebas probabilísticas (por ejemplo, Miller–Rabin): rápidas y prácticas; dan una alta certeza de primalidad.
  • Pruebas deterministas modernas (por ejemplo, AKS): prueban primalidad en tiempo polinómico en el peor caso.

Distribución de los primos

La frecuencia de los primos entre los enteros se describe asintóticamente por el teorema de los números primos, que afirma, en términos informales, que la densidad de primos alrededor de un número grande x es aproximadamente 1 / log(x). Esto explica por qué los primos se vuelven más escasos a medida que crecen los números, aunque nunca desaparecen.

Problemas abiertos y conjeturas

  • La conjetura de Goldbach: propone que todo entero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos primos. Sigue sin demostrarse en su forma fuerte para todos los enteros.
  • Otras preguntas no resueltas incluyen la conjetura de los primos gemelos (si existen infinitos pares de primos con diferencia 2) y la distribución fina de primos en progresiones aritméticas.

Historia y búsqueda moderna

La teoría de los primos se remonta a la antigüedad; Euclides dio la primera demostración conocida de la infinitud de los primos. En la era moderna, la búsqueda de primos grandes —especialmente de primos de Mersenne— se hace también de forma colaborativa en proyectos informáticos distribuidos como GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), que ha permitido descubrir varios de los primos más grandes conocidos.

Notación y conjuntos

El conjunto de todos los números primos se denota a menudo por P o por la letra negra cae mathbb{P} —{\displaystyle \mathbb {P} }— y se estudia tanto por razones puramente teóricas como por aplicaciones en criptografía, teoría de números y ciencias de la computación.