Teorema fundamental de la aritmética | un teorema de la teoría de los números
El teorema fundamental de la aritmética (también llamado teorema de la factorización única) es un teorema de la teoría de los números. El teorema dice que todo número entero positivo mayor que 1 puede escribirse como un producto de números primos (o el número entero es en sí mismo un número primo). El teorema también dice que sólo hay una forma de escribir el número. Si dos personas encuentran dos formas diferentes de escribir el número, lo único que puede ser diferente es el orden en que se escriben los primos. Por ejemplo, podemos escribir:
6936 = 23 - 3 - 172 o 1200 = 24 - 3 - 52
y si alguien encuentra otra forma de escribir 6936 o 1200 como producto de números primos, podemos poner esos números primos en el orden correcto y descubrir que es lo mismo que tenemos aquí. Encontrar los números primos se llama factorización.
Este teorema puede utilizarse en criptografía.
Prueba
La primera persona que demostró el teorema fue Euclides. La primera demostración detallada y correcta se encuentra en las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauß.
Algunas personas pueden pensar que el teorema es cierto en todas partes. Sin embargo, el teorema no es cierto en sistemas numéricos más generales, como los enteros algebraicos. Esto fue mencionado por primera vez por Ernst Kummer en 1843, en su trabajo sobre el último teorema de Fermat. Para más información al respecto: lea la teoría algebraica de los números.
La prueba consta de dos partes: en primer lugar, demostramos que todo número puede escribirse como producto de primos; en segundo lugar, demostramos que si escribimos un número como producto de primos por segunda vez, entonces las dos listas de números primos deben ser iguales.
Primera parte de la prueba
Demostramos que si no todo número mayor que 1 puede escribirse como producto de primos, terminamos en una especie de imposibilidad. Así que después concluimos que debe ser cierto que todo número puede escribirse como un producto de primos.
Así pues, veamos ahora qué ocurre cuando alguien dice que conoce un número entero positivo, mayor que 1, que no puede escribirse como producto de primos. En ese caso le pedimos que mencione todos los números, mayores que 1, que no pueden escribirse como producto de primos. Uno de estos números debe ser el más pequeño: llamémoslo n. Por supuesto, este número n no puede ser 1. Además, no puede ser un número primo, porque un número primo es un "producto" de un único primo: él mismo. Por tanto, debe ser un producto de números. Así pues,
n = ab
donde tanto a como b son enteros positivos que, por supuesto, son menores que n. Pero: n era el número más pequeño que no puede escribirse como producto de primos. Así que debe ser posible escribir a y b como productos de primos, porque ambos son menores que n. Pero entonces el producto
n = ab
también puede escribirse como un producto de primos. Esto es una imposibilidad porque hemos dicho que n no puede escribirse como producto de primos.
Ahora hemos demostrado la imposibilidad que existe si la primera parte del teorema no fuera cierta. De este modo, hemos demostrado la primera parte del teorema.
Segunda parte de la prueba
Ahora tenemos que demostrar que sólo hay una forma de escribir un número positivo mayor que 1 como producto de números primos.
Para ello, utilizamos el siguiente lema: si un número primo p divide a un producto ab, entonces divide a o divide a b (lema de Euclides). Primero demostramos este lema. Bien, supongamos ahora que p no divide a. Entonces p y a son coprimos y tenemos la identidad de Bezout que dice que debe haber enteros x e y tales que
px + ay = 1.
Multiplicando todo por b se obtiene
pbx + aby = b,
Recuerde que ab puede ser dividido por p. Así que ahora, en el lado izquierdo tenemos dos términos que son divisibles por p. Así que el término del lado derecho también es divisible por p. Ahora hemos demostrado que si p no divide a, debe dividir a b. Eso demuestra el lema.
Ahora demostraremos que podemos escribir un número entero mayor que 1 de una sola manera como producto de números primos. Tomemos dos productos de números primos A y B que tengan el mismo resultado. Así que sabemos para el resultado de los productos que A = B. Tomemos cualquier primo p del primer producto A. Divide a A, así que también divide a B. Utilizando varias veces el lema que acabamos de demostrar, podemos ver que p debe entonces dividir al menos un factor b de B. Pero los factores son todos primos en sí mismos, así que también b es primo. Pero sabemos que p también es primo, así que p debe ser igual a b. Así que ahora dividimos A por p y también dividimos B por p. Y obtenemos un resultado como A* = B*. De nuevo podemos tomar un primo p del primer producto A* y averiguar que es igual a algún número del producto B*. Siguiendo así, al final vemos que los factores primos de los dos productos deben ser exactamente iguales. Esto demuestra que podemos escribir un número entero positivo como un producto de primos de una sola manera.
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Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es el Teorema Fundamental de la Aritmética?
R: El Teorema Fundamental de la Aritmética es un teorema de la teoría de los números que afirma que todo número entero positivo mayor que 1 puede escribirse como un producto de números primos, y que sólo hay una forma de escribir el número.
P: ¿Cómo se puede utilizar este teorema?
R: Este teorema puede utilizarse en criptografía.
P: ¿Qué ocurre si dos personas encuentran dos formas diferentes de escribir el mismo número?
R: Si dos personas encuentran dos formas diferentes de escribir el mismo número, lo único que puede ser diferente es el orden en que se escriben los primos.
P: ¿Qué es la factorización?
R: La factorización es encontrar todos los números primos que componen un número dado.
P: ¿Es el 6936 un ejemplo de número primo?
R: No, 6936 no es un número primo; se puede escribir como 23 - 3 - 172.
No, 6936 no es un número primo; se puede escribir como 23 - 3 - 172.
