Teorema
Un teorema es una idea demostrada en matemáticas. Los teoremas se demuestran utilizando la lógica y otros teoremas ya demostrados. Un teorema que alguien debe demostrar para poder demostrar otro teorema se llama lema. Los teoremas constan de dos partes, las hipótesis y las conclusiones.
Los teoremas utilizan la deducción, a diferencia de las teorías que son empíricas.
Algunos teoremas son triviales, se deducen directamente de las proposiciones. Otros teoremas se llaman "profundos", su demostración es larga y difícil. A veces, estas demostraciones implican otras áreas de las matemáticas o muestran conexiones entre diferentes áreas. Un teorema puede ser sencillo de enunciar y, sin embargo, ser profundo. Un ejemplo excelente es el último teorema de Fermat, y hay muchos otros ejemplos de teoremas sencillos pero profundos en la teoría de los números y la combinatoria, entre otras áreas.
Hay otros teoremas para los que se conoce una prueba, pero que no se puede escribir fácilmente. Entre los mejores ejemplos están el teorema de los cuatro colores y la conjetura de Kepler. Sólo se sabe que ambos teoremas son verdaderos si se reducen a una búsqueda computacional que luego se verifica mediante un programa informático. Al principio, muchos matemáticos no aceptaban esta forma de demostración, pero en los últimos años se ha extendido su aceptación. El matemático Doron Zeilberger ha llegado a afirmar que posiblemente sean los únicos resultados no triviales que los matemáticos han demostrado. Muchos teoremas matemáticos pueden reducirse a un cálculo más sencillo, como las identidades polinómicas, las identidades trigonométricas y las identidades hipergeométricas.
El teorema de Pitágoras tiene al menos 370 pruebas conocidas.
Libros
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, recuperado 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). The Man Who Loved Only Numbers: La historia de Paul Erdős y la búsqueda de la verdad matemática. Hyperion, Nueva York.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Enlace externo en |title= (ayuda)CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es un teorema?
R: Un teorema es una idea cuya verdad se ha demostrado en matemáticas utilizando la lógica y otros teoremas ya demostrados.
P: ¿Qué es un lema?
R: Un lema es un teorema menor que hay que demostrar para demostrar un teorema mayor.
P: ¿Cómo se componen los teoremas?
R: Los teoremas constan de dos partes -hipótesis y conclusiones- y utilizan la deducción en lugar de teorías empíricas.
P: ¿Son todos los teoremas difíciles de demostrar?
R: No, algunos teoremas son triviales ya que se deducen directamente de las proposiciones, mientras que otros requieren pruebas largas y difíciles que implican a otras áreas de las matemáticas o muestran conexiones entre distintas áreas.
P: ¿Puede un teorema ser simple y a la vez profundo?
R: Sí, un ejemplo de ello sería el último teorema de Fermat, que es sencillo de enunciar pero su demostración es larga y difícil.
P: ¿Existen teoremas para los que se conozca una demostración pero que no se puedan escribir fácilmente?
R: Sí, algunos ejemplos son el teorema de los cuatro colores y la conjetura de Kepler, que sólo pueden verificarse pasándolos por programas informáticos.
P: ¿Pueden reducirse a veces los teoremas matemáticos a cálculos más sencillos?
R: Sí, los teoremas matemáticos a veces pueden reducirse a cálculos más sencillos como las identidades polinómicas, las identidades trigonométricas o las identidades hipergeométricas.
