Último teorema de Fermat: enunciado, historia y la prueba de 1995

El último teorema de Fermat o FLT es una idea muy famosa en matemáticas. En ella se dice que

Si n {\displaystyle n} es un número entero mayor que 2, entonces la ecuación $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ no tiene soluciones cuando x, y y z son números naturales.

Es imposible expresar en números enteros dos cubos, que sumados equivalen a un tercer cubo. Además, es imposible con cualquier cosa superior a los cuadrados.

Esto significa que no hay ejemplos en los que x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} y z {\displaystyle z} $z$ sean números naturales, es decir, números enteros mayores que cero, y en los que n {\displaystyle n} sea un número entero mayor que 2. Pierre de Fermat escribió sobre ello en 1637 dentro de su copia de un libro llamado Arithmetica. Dijo: "Tengo una prueba de este teorema, pero no hay espacio suficiente en este margen". Sin embargo, no se encontró ninguna prueba correcta durante 357 años. Finalmente se demostró en 1995. La mayoría de los matemáticos no creen que Fermat, de hecho, tuviera nunca una prueba al margen de este teorema.

En su original el problema es el siguiente:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Comentarios y explicación del enunciado

En términos sencillos, el teorema afirma que para todo entero n>2 no existen enteros positivos x, y, z tales que xⁿ + yⁿ = zⁿ. Esto contrasta con el caso n = 2, que tiene infinitas soluciones enteras positivas conocidas como ternas pitagóricas: por ejemplo, 3² + 4² = 5².

Casos especiales y avances históricos

n = 4: Fermat mismo demostró este caso usando el método de descenso infinito; su demostración aparece en su correspondencia y fue una de las piezas iniciales del rompecabezas.
n = 3: Leonhard Euler dio una demostración aceptada para n = 3 en el siglo XVIII.
Siglo XIX: Sophie Germain desarrolló técnicas y trabajó en muchos primos; más tarde Ernst Kummer introdujo la teoría de ideales (y de los llamados "números ideales") y demostró el teorema para un gran conjunto de primos llamados primos regulares, resolviendo infinitos casos.
Siglo XX: se obtuvieron numerosos avances parciales y se resolvieron muchos exponentes concretos mediante técnicas algebraicas y diofánticas; sin embargo faltaba una demostración general.

La conexión con curvas elípticas y modularidad

En la década de 1980 se descubrió una sorprendente relación entre el último teorema de Fermat y la teoría de curvas elípticas y formas modulares. El hilo esencial es el siguiente:

Gerard Frey observó que una solución hipotética de xⁿ + yⁿ = zⁿ (con n≥3) permitiría construir una curva elíptica con propiedades muy extrañas (la llamada curva de Frey).
Klaus Ribet demostró (1986) que, si existiera una solución, la curva de Frey no podría ser modular; su resultado vinculó el último teorema de Fermat con la conjetura de modularidad (también llamada conjetura de Taniyama–Shimura para cierto tipo de curvas elípticas).
Por tanto, probar que todas las curvas elípticas semiestables son modulares implicaría que la curva de Frey no puede existir, y así se obtendría una contradicción con la existencia de una solución de Fermat: esto cerraría el argumento para todos los exponentes n≥3.

La demostración de 1995: Andrew Wiles (y Richard Taylor)

Andrew Wiles trabajó en secreto varios años y en 1993 anunció una demostración de la modularidad para un amplio tipo de curvas elípticas, suficiente para deducir el último teorema de Fermat. Tras el anuncio se detectó un fallo técnico en uno de los argumentos.

Wiles, junto con su antiguo estudiante Richard Taylor, encontró una solución al problema y en 1994 publicaron una versión corregida. La demostración final apareció publicada en 1995 en la revista Annals of Mathematics. El esquema esencial que conecta todos los resultados es:

Construcción de la curva de Frey a partir de una solución hipotética de Fermat.
Uso del resultado de Ribet para mostrar que tal curva no puede ser modular si la solución existiera.
Demostración (por Wiles, con aportes técnicos y la corrección con Taylor) de la modularidad de una amplia clase de curvas elípticas (las semiestables), lo que provoca la contradicción y completa la prueba del teorema.

Así, la prueba no es elemental: combina teoría de números moderna, geometría aritmética, teoría de Galois, formas automorfas y teoría de curvas elípticas.

Importancia matemática y consecuencias

El resultado resolvió un problema clásico que permanecía abierto desde el siglo XVII y estimuló gran parte del desarrollo moderno en teoría de números y geometría aritmética.
El trabajo de Wiles introdujo y afinó técnicas que se han aplicado en otros problemas, y forzó el progreso en la comprensión de la correspondencia entre objetos aritméticos y formas modulares (un tema central en el programa de Langlands).
Aunque el enunciado final del teorema es sencillo y comprensible por cualquiera con conocimientos básicos de aritmética, la demostración utiliza herramientas avanzadas y profundas del siglo XX.

¿Qué probó Fermat realmente?

La mayoría de los historiadores y matemáticos piensan que la famosa nota marginal de Fermat no contenía una demostración válida para el enunciado general, porque las técnicas necesarias no existían en el siglo XVII. Es plausible que Fermat tuviera una demostración para algún caso especial (por ejemplo n = 4, que sí demostró), o que creyera haber encontrado una prueba general que en realidad era incompleta o incorrecta.

Lectura adicional y contexto

Para comprender a fondo la demostración de Wiles y sus antecedentes se requiere familiaridad con:

Curvas elípticas y su teoría aritmética.
Formas modulares y representaciónes galoisianas.
Técnicas de deformación de representaciones y teoría de módulos de Hecke, que son centrales en el trabajo de Wiles.

El Último teorema de Fermat es ejemplo de cómo un enunciado sencillo puede impulsar siglos de investigación y conducir al desarrollo de teorías matemáticas profundas y fértiles.

Pierre de Fermat

Resumen

El último teorema de Fermat es una forma más general del teorema de Pitágoras, que es una ecuación que dice:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Cuando a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} $b$ y c {\displaystyle c} $c$ son números enteros esto se llama un "triple pitagórico". Por ejemplo, $3^{2}+4^{2}=9+16=25$ , y como ${\sqrt[{2}]{25}}=5$ podemos decir que 3 $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ es un triple pitagórico. El Último Teorema de Fermat reescribe esto como

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

y afirma que, si se hace de n {\displaystyle n} un número entero mayor que 2, entonces a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} $b$ y c {\displaystyle c} $c$ no pueden ser todos números naturales. Por ejemplo, 3 $3^{3}+4^{3}=27+64=91$ y ${\sqrt[{3}]{91}}=4.49794144528$ Por tanto, 3 $3^{3}+4^{3}=4.49794144528^{3}$ es un ejemplo que lo confirma.

Sobre la cuadrática de la ecuación

La x y la y son dos sumas desconocidas, sumando la tercera suma imaginaria z. A pesar de que hay 4 términos: n, x, y y z, la n es una función que suma el total de las sumas desconocidas. El cero falta en esta ecuación por la regla de "1 más 1 es 2 y no más", escrito 1+1=2+0.

Para dar una aclaración, se sabe que la n es una suma.

Prueba

La prueba se hizo para algunos valores de n {\displaystyle n} , como n = 3 {\displaystyle n=3} $n=3$ , n = 4 {\displaystyle n=4} $n=4$ , n = 5 {\displaystyle n=5} $n=5$ y n = 7 {\displaystyle n=7} $n=7$ , que fue manejado por muchos matemáticos, entre ellos Fermat, Euler y Sophie Germain. Sin embargo, como hay un número infinito de triples pitagóricos, ya que los números se cuentan para siempre, esto hizo que el Último Teorema de Fermat fuera difícil de demostrar o refutar; la prueba completa debe mostrar que la ecuación no tiene solución para todos los valores de n {\displaystyle n} (cuando n {displaystyle n} es un número entero mayor que 2) pero no es posible comprobar simplemente cada combinación de números si continúan para siempre.

Un matemático inglés llamado Andrew Wiles encontró la solución en 1995, 358 años después de que Fermat escribiera sobre ella. Richard Taylor le ayudó a encontrar la solución. La demostración le llevó ocho años de investigación. Demostró el teorema demostrando primero el teorema de la modularidad, que entonces se llamaba conjetura de Taniyama-Shimura. Utilizando el teorema de Ribet, fue capaz de dar una prueba para el último teorema de Fermat. En junio de 1997 recibió el premio Wolfskehl de la Academia de Göttingen, dotado con unos 50.000 dólares estadounidenses.

Después de algunos años de debate, la gente estuvo de acuerdo en que Andrew Wiles había resuelto el problema. Andrew Wiles utilizó muchas matemáticas modernas e incluso creó nuevas matemáticas cuando hizo su solución. Estas matemáticas eran desconocidas cuando Fermat escribió su famosa nota, por lo que de Fermat no pudo haberlas utilizado. Esto hace pensar que de Fermat no tenía, de hecho, una solución completa del problema.

Crítica a la prueba

Vos Savant escribió en 1995 que la prueba de Wiles debería ser rechazada por su uso de la geometría no euclidiana. Dijo que "la cadena de pruebas se basa en la geometría hiperbólica (lobachevskiana)", y como esta geometría permite cosas como la cuadratura del círculo, una "famosa imposibilidad" a pesar de ser posible en la geometría hiperbólica, entonces "si rechazamos un método hiperbólico de cuadratura del círculo, también deberíamos rechazar una prueba hiperbólica del último teorema de Fermat".

Prueba sin elíptica

Cuando se sabe que n suma dos valores ordinales, no puede superar el valor contado 2 si el mayor se toma como 1 unidad.

El matemático británico Andrew Wiles

Generalización

La conjetura de la generalización de Beal, o la conjetura de Beal, planteada por el inversor Andrew Beal, pregunta por qué siempre hay factores comunes (como las celdas de las pilas), en ecuaciones como ésta, de la forma general aˣ+bʸ=cᶻ.

Más información

Aczel, Amir (30 de septiembre de 1996). El último teorema de Fermat: desvelando el secreto de un antiguo problema matemático. Cuatro Paredes Ocho Ventanas. ISBN 978-1-568-58077-7.
Friberg, Joran (2007). Rastros sorprendentes de un origen babilónico en las matemáticas griegas. Editorial World Scientific. ISBN 978-9812704528.
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Ribenboim P (2000). El último teorema de Fermat para aficionados. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387985084.
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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es el último teorema de Fermat?

R: El último teorema de Fermat (FLT) afirma que si n es un número entero mayor que 2, entonces la ecuación x^n + y^n = z^n no tiene soluciones cuando x, y y z son números naturales. En otras palabras, es imposible expresar en números enteros dos cubos que sumados sean iguales a un tercer cubo o cualquier cosa superior a los cuadrados.

P: ¿Cuándo se escribió la FLT?

R: Pierre de Fermat escribió sobre la FLT en 1637 dentro de su copia de un libro llamado Arithmetica.

P: ¿Qué dijo Fermat sobre el teorema?

R: Dijo: "Tengo una prueba de este teorema, pero no hay espacio suficiente en este margen".

P: ¿Cuánto tiempo tardó en demostrarse el FLT?

R: Se necesitaron 357 años para demostrar correctamente el FLT; finalmente se hizo en 1995.

P: ¿Creen los matemáticos que Fermat tenía una prueba real del teorema?

R: La mayoría de los matemáticos no creen que Fermat tuviera realmente una prueba al margen de este teorema.

P: ¿Qué dice el problema original?

R: El problema original afirma que es imposible dividir cubum autem (un cubo) en dos cubos o quadratoquadratum (un cuadrado-cuadrado) en dos cuadrados-cuadrados y, en general, nada más allá de los cuadrados puede dividirse en dos de su mismo nombre, siendo la demostración notable pero demasiado grande para el tamaño del margen.