Teorema de Pitágoras: enunciado, historia, demostraciones y aplicaciones

El teorema de Pitágoras dice que el área de un cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos. En esta imagen, el área del cuadrado azul sumada al área del cuadrado rojo hace el área del cuadrado morado. Su nombre se debe al matemático griego Pitágoras:

Si las longitudes de los catetos son a y b, y la longitud de la hipotenusa es c, entonces, a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. .

Hay muchas pruebas diferentes de este teorema. Se dividen en cuatro categorías:

1. Las basadas en relaciones lineales: las pruebas algebraicas.
2. Las basadas en la comparación de áreas: las pruebas geométricas.
3. Los basados en la operación vectorial.
4. Las basadas en la masa y la velocidad: las pruebas dinámicas.

Una de las pruebas del teorema de Pitágoras fue encontrada por un matemático griego, Eudoxo de Cnidus.

La prueba utiliza tres lemas:

1. Los triángulos con la misma base y altura tienen la misma área.
2. Un triángulo que tiene la misma base y altura que un lado de un cuadrado tiene la misma área que la mitad del cuadrado.
3. Los triángulos con dos lados congruentes y un ángulo congruente son congruentes y tienen la misma área.

La prueba es:

1. El triángulo azul tiene la misma área que el verde, porque tiene la misma base y altura (lema 1).
2. Los triángulos verde y rojo tienen ambos dos lados iguales a los lados de los mismos cuadrados, y un ángulo igual a un ángulo recto (un ángulo de 90 grados) más un ángulo de un triángulo, por lo que son congruentes y tienen la misma área (lema 3).
3. Las áreas de los triángulos rojo y amarillo son iguales porque tienen las mismas alturas y bases (lema 1).
4. El área del triángulo azul es igual al área del triángulo amarillo, porque

A b l u e = A g r e e n = A r e d = A y e l l o w {{color azul}A_{azul}}={color verde}A_{verde}}={color rojo}A_{rojo}}={color amarillo}A_{amarillo}}

1. Los triángulos marrones tienen la misma área por las mismas razones.
2. El azul y el marrón tienen cada uno la mitad del área de un cuadrado más pequeño. La suma de sus áreas es igual a la mitad del área del cuadrado mayor. Por ello, las mitades de las áreas de los cuadrados pequeños son iguales a la mitad del área del cuadrado mayor, por lo que su área es la misma que la del cuadrado mayor.

Prueba mediante triángulos semejantes

Podemos obtener otra prueba del teorema de Pitágoras utilizando triángulos semejantes.

d a = a c ⇒ a 2 = d c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={frac {a}{c}}cuadrado \frac {a^{2}}={dc}{cuadrado (1)}

e b = b c ⇒ b 2 = e c ( 2 ) {\displaystyle {\frac {e}{b}}={frac {b}{c}}cuadrado \frac {b^{2}}={ec}{cuadrado (2)}

A partir de la imagen, sume las ecuaciones (1) y (2):

Y nos quedamos con:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\}.}
 

Los triples pitagóricos o tripletes son tres números enteros que se ajustan a la ecuación a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. .

El triángulo con lados de 3, 4 y 5 es un ejemplo bien conocido. Si a=3 y b=4, entonces 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} porque 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . Esto también puede mostrarse como 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.}

El triángulo tres-cuatro-cinco funciona para todos los múltiplos de 3, 4 y 5. En otras palabras, números como 6, 8, 10 o 30, 40 y 50 también son triples pitagóricos. Otro ejemplo de triple es el triángulo 12-5-13, porque 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}=13} .

Un triple pitagórico que no es múltiplo de otros triples se llama triple pitagórico primitivo. Cualquier triple pitagórico primitivo se puede hallar mediante la expresión ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} , pero deben satisfacerse las siguientes condiciones. Imponen restricciones a los valores de m {\displaystyle m} y n {\displaystyle n} .

1. m {\displaystyle m} y n {\displaystyle n} son números enteros positivos
2. m {\displaystyle m} y n {\displaystyle n} no tienen factores comunes excepto 1
3. m {\displaystyle m} y n {\displaystyle n} tienen paridad opuesta. m {\displaystyle m} y n {\displaystyle n} tienen paridad opuesta cuando m {\displaystyle m} es par y n {\displaystyle n} es impar, o m {\displaystyle m} es impar y n {\displaystyle n} es par.
4. m > n {\desde el estilo m>n} .

Si se cumplen las cuatro condiciones, entonces los valores de m {\displaystyle m} y n {\displaystyle n} crean un triple pitagórico primitivo.

m = 2 {\displaystyle m=2} y n = 1 {\displaystyle n=1} crean un triple pitagórico primitivo. Los valores satisfacen las cuatro condiciones. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} y m 2 + n 2 = 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} , por lo que se crea el triple ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} .