En geometría, dos figuras u objetos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. También lo son si una tiene la misma imagen especular de la otra; es decir, si una puede obtenerse de la otra mediante movimientos que no cambian las distancias entre puntos.

Definición formal

Más formalmente, dos conjuntos de puntos se llaman congruentes si, y sólo si, existe una isometría que transforma uno en el otro. Una isometría es una transformación que preserva las distancias entre todos los pares de puntos; en la práctica se usan los llamados movimientos rígidos.

Isometrías y movimientos rígidos

  • Traslación: desplazar la figura sin girarla.
  • Rotación: girar la figura alrededor de un punto fijo.
  • Reflexión: “voltear” la figura respecto a una recta (en el plano) o un plano (en el espacio).
  • Reflexión deslizante (glide reflection): combinación de una traslación con una reflexión.

Estas transformaciones pueden combinarse; cualquier isometría en el plano se puede expresar como una composición de las anteriores. Las isometrías preservan longitudes y ángulos, por eso mantienen la forma y el tamaño.

Criterios de congruencia en triángulos

En el caso de triángulos, hay criterios prácticos que permiten decidir congruencia sin realizar la transformación explícita:

  • SSS (Lado-Lado-Lado): si los tres lados correspondientes son iguales, los triángulos son congruentes.
  • SAS (Lado-Ángulo-Lado): si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son iguales, son congruentes.
  • ASA (Ángulo-Lado-Ángulo): si dos ángulos y el lado comprendido son iguales, son congruentes.
  • AAS (Ángulo-Ángulo-Lado): si dos ángulos y un lado correspondiente son iguales, son congruentes.
  • RHS o HL (Hipotenusa-Lado derecho): en triángulos rectángulos, si la hipotenusa y un cateto correspondiente son iguales, los triángulos son congruentes.

Polígonos y otras figuras

Los polígonos son congruentes cuando hay una correspondencia entre sus vértices tal que los lados y los ángulos correspondientes son iguales. En particular, dos polígonos regulares del mismo número de lados son congruentes si sus longitudes de lado (o su radio circunscrito) coinciden.

La noción de congruencia se extiende a figuras en el espacio (sólidos): dos cuerpos son congruentes si uno puede trasladarse, rotarse y, si procede, reflejarse para coincidir exactamente con el otro.

Congruencia vs. similitud

Es importante distinguir congruencia y similares. Dos figuras son similares si tienen la misma forma, es decir, sus ángulos correspondientes son iguales, pero pueden tener tamaños distintos; un escalado (cambio de tamaño) convierte una en la otra. En congruencia no está permitido cambiar el tamaño: sólo se usan isometrías.

Ejemplos y comprobaciones prácticas

  • Con tijeras y papel: si recortas dos figuras y una encaja exactamente sobre la otra (incluso después de girarla o darle la vuelta), son congruentes.
  • Medición: comprobar que longitudes y ángulos correspondientes coincidan es una forma directa de verificar congruencia.
  • Coordenadas: en geometría analítica, dos conjuntos de puntos son congruentes si existe una transformación afín ortogonal (matriz ortogonal más traslación) que los lleve uno al otro.
  • Orientación: una reflexión invierte la orientación (por ejemplo, convierte una mano izquierda en una mano derecha). Si sólo permiten rotaciones y traslaciones, se conserva la orientación; con reflexiones, puede invertirse.

En resumen, la congruencia expresa igualdad de forma y tamaño mediante transformaciones que preservan distancias. Para comprobarla se usan isometrías (movimientos rígidos), criterios específicos en figuras como triángulos, y verificaciones mediante medidas o transformaciones en coordenadas.

Dos formas geométricas son congruentes si una de ellas puede moverse, girarse o reflejarse de forma que encaje exactamente en la otra. Si uno de los objetos tiene que cambiar de tamaño, los dos objetos no son congruentes: sólo se llaman similares.