En matemáticas, un grado es una forma común de medir un ángulo plano. Es la 1/360ª parte de un círculo.

No es una unidad del SI. El SI utiliza el radián para medir los ángulos planos. Sin embargo, según el folleto del SI, es una unidad aceptada por el SI.

Notación y subdivisiones

El símbolo del grado es °. El grado se subdivide en minutos y segundos sexagesimales:

  • 1 grado = 60 minutos (1° = 60')
  • 1 minuto = 60 segundos (1' = 60")
  • 1 grado = 3 600 segundos (1° = 3 600")

La notación habitual para expresar un ángulo en grados, minutos y segundos es, por ejemplo, 12° 20' 42". En contextos modernos también se usa la representación en grados decimales (por ejemplo, 12.345°).

Relación con el radián y conversiones

El radián es la unidad de ángulo preferida en análisis y física porque relaciona ángulos con longitudes de arco de forma natural. La relación exacta entre grado y radián es:

  • 1° = π / 180 rad
  • 1 rad = 180 / π °

Fórmulas prácticas:

  • Para convertir grados a radianes: rad = grados × (π / 180)
  • Para convertir radianes a grados: grados = rad × (180 / π)

Ejemplos:

  • 1° ≈ 0.0174532925199433 rad
  • 45° = π/4 rad ≈ 0.7853981633974483 rad
  • 180° = π rad

Sistema sexagesimal y origen

El uso del grado y sus subdivisiones proviene del sistema sexagesimal heredado de las civilizaciones mesopotámicas (babilonios), que empleaban el base 60. Los términos “minuto” y “segundo” derivan de la antigua práctica de dividir la hora o el grado en partes “minutas” (pars minuta prima, pars minuta secunda).

Aplicaciones y observaciones prácticas

  • Los grados son ampliamente usados en cartografía, navegación, astronomía, geodesia, construcción y en mediciones cotidianas.
  • En trigonometría y cálculo, los ángulos se tratan frecuentemente en radianes porque simplifican fórmulas como las derivadas e integrales de las funciones trigonométricas.
  • Existen otras unidades de ángulo como el grado centesimal o gradián (gon), donde 100 gon = 90° (por tanto 1 gon = 0.9°).

Conversión práctica entre grados decimales y DMS

Para convertir grados decimales a grados, minutos y segundos (DMS):

  1. Tomar la parte entera como los grados.
  2. Multiplicar la parte fraccionaria por 60 para obtener los minutos; la parte entera de ese resultado son los minutos.
  3. Multiplicar la nueva parte fraccionaria por 60 para obtener los segundos.

Ejemplo: 12.345° → 12°; 0.345×60 = 20.7 → 20'; 0.7×60 = 42 → 42" ⇒ 12° 20' 42".

Conclusión

El grado es una unidad histórica y muy utilizada para la medida de ángulos en la práctica cotidiana y en muchas disciplinas. Aunque el radián es la unidad de referencia en el Sistema Internacional para el tratamiento teórico y analítico, el grado sigue siendo una unidad aceptada y de uso extendido por su facilidad de interpretación y por la tradición sexagesimal.