Cociente de diferencia
El cociente de diferencias es una fórmula que encuentra la tasa de cambio promedio de cualquier función entre dos puntos. En cálculo, el cociente de diferencias es la fórmula utilizada para hallar la derivada, que es el cociente de diferencias entre dos puntos lo más cercanos posible que da la tasa de cambio de una función en un solo punto. El cociente de diferencias fue formulado por Isaac Newton.
Definición del cociente de diferencias
Una definición sencilla
El cociente de diferencias puede describirse como la fórmula para encontrar la pendiente de una línea que toca una curva en sólo dos puntos (esta línea se llama línea secante). Si tratamos de encontrar la pendiente de una línea perfectamente recta, entonces utilizamos la fórmula de la pendiente, que es simplemente el cambio en "y" dividido por el cambio en "x". Esto es muy preciso, pero sólo para líneas rectas. El cociente de diferencias, sin embargo, permite encontrar la pendiente de cualquier curva o línea en cualquier punto. El cociente de diferencia, al igual que la fórmula de la pendiente, es simplemente el cambio en "y" dividido por el cambio en "x". La única diferencia es que en la fórmula de la pendiente, y se utiliza como eje y, pero en el cociente de diferencias, el cambio en el eje y se describe mediante f(x). (Para una descripción detallada, véase la siguiente sección).
Una definición matemática
El cociente de la diferencia es la pendiente de la recta secante entre dos puntos.
LA FÓRMULA DE LA PENDIENTE Si y = f ( x ) y m = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = f ( x - f ( x 1 ) x 2 - x 1 y x 2 = x 1 + Δ x t h e n m = f ( x + Δ x ) - f ( x ) ( x + Δ x ) - x 1 = f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x {\displaystyle si el cuadrado y=f(x)\Nentonces el cuadrado m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}{x_{2}-x_{1}}={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} y x_{2}=x_{1}+\Delta x{1} entonces{\frac} m={{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{x+\Delta x)-x_{1}}={frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}
El cociente de diferencias se puede utilizar para encontrar la pendiente de una curva, así como la pendiente de una línea recta. Después de encontrar el cociente de la diferencia de una función, tenemos una nueva función, llamada la derivada. Para hallar la pendiente de la curva o recta introducimos el valor de "x" y obtenemos la pendiente. El proceso de encontrar la derivada a través del cociente de diferencias se llama diferenciación.
Aplicaciones del cociente de diferencias (y de la derivada)
La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida real. Una de las aplicaciones de la derivada es la siguiente.
Física
En física, la velocidad instantánea de un objeto (la velocidad en un momento del tiempo) se define como la derivada de la posición del objeto en función del tiempo. Por ejemplo, si la posición de un objeto viene dada por x(t)=-16t2 +16t+32, entonces la velocidad del objeto es v(t)=-32t+16. Para encontrar la aceleración instantánea, se toma la derivada de la función de velocidad instantánea. Por ejemplo, en la función anterior, la función de aceleración es a(t) = -32.
