Derivada | es una forma de mostrar la tasa de cambio instantánea

Definición de un derivado

La derivada de y con respecto a x se define como el cambio en y sobre el cambio en x, a medida que la distancia entre x 0 {{displaystyle x_{0}} y x 1 {{displaystyle x_{1}} se hace infinitamente pequeña (infinitesimal). En términos matemáticos,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\a 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}

Es decir, a medida que la distancia entre los dos puntos x (h) se acerca a cero, la pendiente de la línea entre ellos se acerca más a parecerse a una línea tangente.

 
Una animación que da una idea intuitiva de la derivada, ya que el "balanceo" de una función cambia cuando cambia el argumento.  

Derivadas de funciones

Funciones lineales

Las derivadas de las funciones lineales (funciones de la forma m x + c {\displaystyle mx+c} sin términos cuadráticos o superiores) son constantes. Es decir, la derivada en un punto de la gráfica seguirá siendo la misma en otro.

Cuando la variable dependiente y {\displaystyle y} toma directamente el valor de x {\displaystyle x} 's ( y = x {\displaystyle y=x} ), la pendiente de la recta es 1 en todos los lugares, por lo que d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}(x)=1} independientemente de la posición.

Cuando y {\displaystyle y} modifica el número de x {\displaystyle x} añadiendo o restando un valor constante, la pendiente sigue siendo 1, porque el cambio en x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} no cambia si la gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo. Es decir, la pendiente sigue siendo 1 en toda la gráfica y su derivada también es 1.

Funciones de potencia

Las funciones de potencia (en forma de x a {\displaystyle x^{a}} ) se comportan de forma diferente a las funciones lineales, porque su exponente y su pendiente varían.

Las funciones de potencia, en general, siguen la regla de que d d x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}. . Es decir, si le damos a a el número 6, entonces d x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}.

Otro ejemplo, que es menos obvio, es la función f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={tfrac {1}{x}} . Esto es esencialmente lo mismo, porque 1/x se puede simplificar para usar exponentes:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-\frac {1}{x^{2}}}}

Además, las raíces pueden cambiarse para utilizar exponentes fraccionarios, donde se puede encontrar su derivada:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={cuadrado[{3}]{x^{2}}=x^{\frac {2}{3}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={frac {2}{3}(x^{-{\frac {1}{3}})}

Funciones exponenciales

Una función exponencial es de la forma a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}} , donde a {\displaystyle a} y b {\displaystyle b} son constantes y f ( x ) {\displaystyle f(x)} es una función de x {\displaystyle x} . La diferencia entre una exponencial y un polinomio es que en un polinomio x {\displaystyle x} está elevado a alguna potencia, mientras que en una exponencial x {\displaystyle x} está en la potencia.

Ejemplo 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}

Ejemplo 2

Hallar d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\frac {d}{dx}}left(3\cdot 2^{x^2}}\right)} .

a = 3 {\dirección a=3}

b = 2 {\dirección b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}

f ′ ( x ) = 6 x {\desde el punto de vista de la f'\Nizquierda(x\dela derecha)=6x}

Por lo tanto,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}Izquierda(3\cdot 2^{3x^2}}Derecha)=3\cdot 2^{3x^2}}\cdot 6x\cdot \ln \ln izquierda(2\cdot)=\ln \ln izquierda(2\cdot)\cdot 18x\cdot 2^{3x^2}}

Funciones logarítmicas

La derivada de los logaritmos es el recíproco:

d d x ln ( x ) = 1 x {\frac {d}{dx}}ln(x)={\frac {1}{x}} .

Tomemos, por ejemplo, d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}\right)} . Esto se puede reducir a (por las propiedades de los logaritmos):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}(\ln(x))}

El logaritmo de 5 es una constante, por lo que su derivada es 0. La derivada de ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} es 1 x {\displaystyle {tfrac {1}{x}} . Por lo tanto,

0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{{frac {d}{dx}}ln(x)=-{{frac {1}{x}}

Para las derivadas de logaritmos que no están en base e, como d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} , esto puede reducirse a

d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\frac {d}{dx}}log _{10}(x)={frac {d}{dx}}{ln {x}}{ln {10}}={frac {1}{ln {10}}{frac {d}{dx}}{ln {x}}={frac {1}{ln(10)}}

Funciones trigonométricas

La función coseno es la derivada de la función seno, mientras que la derivada del coseno es el seno negativo (siempre que x se mida en radianes):

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}sin(x)=\cos(x)}

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}cos(x)=-\sin(x)}

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .
 

Propiedades de los derivados

Las derivadas pueden dividirse en partes más pequeñas cuando son manejables (ya que sólo tienen una de las características de la función anterior). Por ejemplo, d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} puede descomponerse como:

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {\frac {d}{dx}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\\Ndirección =18x^{5}+2x,}
 

Usos de los derivados

La derivada de una función puede utilizarse para buscar los máximos y mínimos de la función, buscando los lugares en los que su pendiente es cero.

Las derivadas se utilizan en el método de Newton, que ayuda a encontrar los ceros (raíces) de una función..También se pueden utilizar las derivadas para determinar la concavidad de una función, y si la función es creciente o decreciente.

 

Páginas relacionadas

• Coeficiente de diferencia
• Teorema fundamental del cálculo
• Derivada implícita
• Integral
• Derivada parcial
• Segunda derivada