Derivada: definición y significado en cálculo diferencial

La derivada de y con respecto a x se define como el cambio en y sobre el cambio en x, a medida que la distancia entre x 0 {{displaystyle x_{0}} y x 1 {{displaystyle x_{1}} se hace infinitamente pequeña (infinitesimal). En términos matemáticos,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\a 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}

Es decir, a medida que la distancia entre los dos puntos x (h) se acerca a cero, la pendiente de la línea entre ellos se acerca más a parecerse a una línea tangente.

Funciones lineales

Las derivadas de las funciones lineales (funciones de la forma m x + c {\displaystyle mx+c} sin términos cuadráticos o superiores) son constantes. Es decir, la derivada en un punto de la gráfica seguirá siendo la misma en otro.

Cuando la variable dependiente y {\displaystyle y} toma directamente el valor de x {\displaystyle x} 's ( y = x {\displaystyle y=x} ), la pendiente de la recta es 1 en todos los lugares, por lo que d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}(x)=1} independientemente de la posición.

Cuando y {\displaystyle y} modifica el número de x {\displaystyle x} añadiendo o restando un valor constante, la pendiente sigue siendo 1, porque el cambio en x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} no cambia si la gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo. Es decir, la pendiente sigue siendo 1 en toda la gráfica y su derivada también es 1.

Funciones de potencia

Las funciones de potencia (en forma de x a {\displaystyle x^{a}} ) se comportan de forma diferente a las funciones lineales, porque su exponente y su pendiente varían.

Las funciones de potencia, en general, siguen la regla de que d d x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}. . Es decir, si le damos a a el número 6, entonces d x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}.

Otro ejemplo, que es menos obvio, es la función f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={tfrac {1}{x}} . Esto es esencialmente lo mismo, porque 1/x se puede simplificar para usar exponentes:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-\frac {1}{x^{2}}}}

Además, las raíces pueden cambiarse para utilizar exponentes fraccionarios, donde se puede encontrar su derivada:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={cuadrado[{3}]{x^{2}}=x^{\frac {2}{3}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={frac {2}{3}(x^{-{\frac {1}{3}})}

Funciones exponenciales

Una función exponencial es de la forma a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}} , donde a {\displaystyle a} y b {\displaystyle b} son constantes y f ( x ) {\displaystyle f(x)} es una función de x {\displaystyle x} . La diferencia entre una exponencial y un polinomio es que en un polinomio x {\displaystyle x} está elevado a alguna potencia, mientras que en una exponencial x {\displaystyle x} está en la potencia.

Ejemplo 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}

Ejemplo 2

Hallar d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\frac {d}{dx}}left(3\cdot 2^{x^2}}\right)} .

a = 3 {\dirección a=3}

b = 2 {\dirección b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}

f ′ ( x ) = 6 x {\desde el punto de vista de la f'\Nizquierda(x\dela derecha)=6x}

Por lo tanto,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}Izquierda(3\cdot 2^{3x^2}}Derecha)=3\cdot 2^{3x^2}}\cdot 6x\cdot \ln \ln izquierda(2\cdot)=\ln \ln izquierda(2\cdot)\cdot 18x\cdot 2^{3x^2}}

Funciones logarítmicas

La derivada de los logaritmos es el recíproco:

d d x ln ( x ) = 1 x {\frac {d}{dx}}ln(x)={\frac {1}{x}} .

Tomemos, por ejemplo, d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}\right)} . Esto se puede reducir a (por las propiedades de los logaritmos):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}(\ln(x))}

El logaritmo de 5 es una constante, por lo que su derivada es 0. La derivada de ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} es 1 x {\displaystyle {tfrac {1}{x}} . Por lo tanto,

0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{{frac {d}{dx}}ln(x)=-{{frac {1}{x}}

Para las derivadas de logaritmos que no están en base e, como d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} , esto puede reducirse a

d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\frac {d}{dx}}log _{10}(x)={frac {d}{dx}}{ln {x}}{ln {10}}={frac {1}{ln {10}}{frac {d}{dx}}{ln {x}}={frac {1}{ln(10)}}

Funciones trigonométricas

La función coseno es la derivada de la función seno, mientras que la derivada del coseno es el seno negativo (siempre que x se mida en radianes):

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}sin(x)=\cos(x)}

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}cos(x)=-\sin(x)}

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .
 

Las derivadas pueden dividirse en partes más pequeñas cuando son manejables (ya que sólo tienen una de las características de la función anterior). Por ejemplo, d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} puede descomponerse como:

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {\frac {d}{dx}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\\Ndirección =18x^{5}+2x,}
 

La derivada de una función puede utilizarse para buscar los máximos y mínimos de la función, buscando los lugares en los que su pendiente es cero.

Las derivadas se utilizan en el método de Newton, que ayuda a encontrar los ceros (raíces) de una función..También se pueden utilizar las derivadas para determinar la concavidad de una función, y si la función es creciente o decreciente.

• Coeficiente de diferencia
• Teorema fundamental del cálculo
• Derivada implícita
• Integral
• Derivada parcial
• Segunda derivada