Logaritmo | matemáticas

Historia

Los logaritmos se utilizaron por primera vez en la India en el siglo II a.C. El primero en utilizar logaritmos en la época moderna fue el matemático alemán Michael Stifel (hacia 1487-1567). En 1544, escribió las siguientes ecuaciones: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} y q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}=q^{m-n}}. . Esta es la base para entender los logaritmos. Para Stifel, m {\displaystyle m} y n {\displaystyle n} tenían que ser números enteros. John Napier (1550-1617) no quería esta restricción y quería un rango para los exponentes.

Según Napier, los logaritmos expresan proporciones: a {\displaystyle a} tiene la misma proporción con b {\displaystyle b} , que c {\displaystyle c} con d {\displaystyle d} si la diferencia de sus logaritmos coincide. Matemáticamente: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . Al principio se utilizó la base e (aunque el número no había sido nombrado todavía). Henry Briggs propuso utilizar el 10 como base para los logaritmos, que son muy útiles en astronomía.

 
John Napier trabajó en los logaritmos  

Relación con las funciones exponenciales

Un logaritmo indica qué exponente (o potencia) se necesita para hacer un determinado número, por lo que los logaritmos son la inversa (lo contrario) de la exponenciación.

Al igual que una función exponencial tiene tres partes, un logaritmo también tiene tres partes: una base, un argumento y una respuesta (también llamada potencia).

El siguiente es un ejemplo de función exponencial:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}

En esta función, la base es 2, el argumento es 3 y la respuesta es 8.

Esta ecuación exponencial tiene una inversa, su ecuación logarítmica:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3 }

En esta ecuación, la base es 2, el argumento es 8 y la respuesta es 3.

 

Diferencia con las raíces

La suma tiene una operación inversa: la resta. Asimismo, la multiplicación tiene una operación inversa: la división. Sin embargo, la exponenciación tiene en realidad dos operaciones inversas: la raíz y el logaritmo. La razón de ello tiene que ver con el hecho de que la exponenciación no es conmutativa.

El siguiente ejemplo lo ilustra:

• Si x+2=3, entonces se puede utilizar la resta para averiguar que x=3-2. Lo mismo ocurre si 2+x=3: también se obtiene x=3-2. Esto se debe a que x+2 es lo mismo que 2+x.
• Si x - 2=3, entonces se puede utilizar la división para averiguar que x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}} . Lo mismo ocurre si 2 - x=3: también se obtiene que x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}} . Esto se debe a que x - 2 es lo mismo que 2 - x.
• Si x²=3, entonces se puede utilizar la raíz (cuadrada) para averiguar que x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}} . Sin embargo, si 2^x =3, entonces no se puede utilizar la raíz para averiguar x. En su lugar, hay que utilizar el logaritmo (binario) para averiguar que x=log₂ (3).
  Esto se debe a que 2^x no suele ser lo mismo que x² (por ejemplo, 2⁵ =32 pero 5²=25).

 

Utiliza

Los logaritmos pueden facilitar la multiplicación y la división de números grandes, porque sumar logaritmos es lo mismo que multiplicar, y restar logaritmos es lo mismo que dividir.

Antes de que las calculadoras se hicieran populares y comunes, la gente utilizaba tablas de logaritmos en los libros para multiplicar y dividir. La misma información de una tabla de logaritmos estaba disponible en una regla de cálculo, una herramienta con logaritmos escritos en ella.

Además de los cálculos, el logaritmo también tiene muchas otras aplicaciones en la vida real:

• Las espirales logarítmicas son comunes en la naturaleza. Algunos ejemplos son la concha de un nautilus o la disposición de las semillas en un girasol.
• En química, el negativo del logaritmo en base 10 de la actividad de los iones de hidronio (H₃ O⁺ , la forma que adopta el H⁺ en el agua) es la medida conocida como pH. La actividad de los iones de hidronio en el agua neutra es de 10⁻⁷ mol/L a 25 °C, por lo que el pH es de 7. (Esto se debe a que la constante de equilibrio, el producto de la concentración de iones de hidronio e iones hidroxilo, en las soluciones de agua es de 10⁻¹⁴ M² .)
• La escala de Richter mide la intensidad de los terremotos en una escala logarítmica de base 10.
• En astronomía, la magnitud aparente mide el brillo de las estrellas de forma logarítmica, ya que el ojo también responde de forma logarítmica al brillo.
• Los intervalos musicales se miden logarítmicamente como semitonos. El intervalo entre dos notas en semitonos es el logaritmo de base 2^1/12 de la relación de frecuencias (o lo que es lo mismo, 12 veces el logaritmo de base 2). Los semitonos fraccionarios se utilizan para los temperamentos no iguales. Especialmente para medir las desviaciones de la escala de temperamento igual, los intervalos también se expresan en cents (centésimas de un semitono de temperamento igual). El intervalo entre dos notas en cents es el logaritmo de base 2^1/1200 de la relación de frecuencia (o 1200 veces el logaritmo de base 2). En MIDI, las notas se numeran en la escala de semitonos (tono nominal absoluto logarítmico con el Do central en 60). Para la microafinación a otros sistemas de afinación, se define una escala logarítmica que rellena los rangos entre los semitonos de la escala igual temperada de forma compatible. Esta escala corresponde a los números de nota para los semitonos enteros. (ver microafinación en MIDI Archivado el 2008-02-12 en la Wayback Machine).

 

Logaritmos comunes

Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos comunes. Suelen escribirse sin la base. Por ejemplo:

log ( 100 ) = 2 {\año de la pantalla \año(100)=2\año }

Esto es cierto porque:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\}
 

Logaritmos naturales

Los logaritmos en base e se denominan logaritmos naturales. El número e es casi 2,71828, y también se denomina constante euleriana en honor al matemático Leonhard Euler.

Los logaritmos naturales pueden tomar los símbolos log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\} o ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\} . Algunos autores prefieren el uso de logaritmos naturales como log ( x ) {\displaystyle \log(x)} , pero suelen mencionarlo en las páginas del prefacio.

 

Bases comunes para logaritmos

base	abreviatura	Comentarios
2	ld {\diseño de la pantalla \dnombre del operador {ld} }	Muy común en informática (binaria)
e	ln {\displaystyle \ln } o simplemente log {\displaystyle \log }	Su base es la constante euleriana e. Este es el logaritmo más común utilizado en las matemáticas puras.
10	log 10 {\displaystyle \log _{10}} o log {\displaystyle \log } (a veces también escrito como lg {\displaystyle \lg } )	Se utiliza en algunas ciencias como la química y la biología.
cualquier número, n	log n {\displaystyle \log _{n}}	Esta es la forma general de escribir logaritmos

 

Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos tienen muchas propiedades. Por ejemplo:

Propiedades de la definición de un logaritmo

Esta propiedad proviene directamente de la definición de un logaritmo:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} Por ejemplo

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} , y

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \2}{\bigg (}{frac {1}{2}}{\bigg )}=-1} , porque 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}=2^{-1} .

El logaritmo en base b de un número a, es lo mismo que el logaritmo de a dividido por el logaritmo de b. Es decir,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\desde el punto de vista del estilo \log _{b}(a)={frac {\log(a)}{\log(b)}}

Por ejemplo, dejemos que a sea 6 y b sea 2. Con las calculadoras podemos demostrar que esto es cierto (o al menos muy cercano):

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2,584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\\Napprox 2,584962}

2,584962 ≈ 0,778151 0,301029 ≈ 2,584970 {\año 2,584962\año {\frac {0,778151}{0,301029}\año 2,584970}

Los resultados anteriores tenían un pequeño error, pero se debía al redondeo de los números.

Como es difícil imaginar el logaritmo natural, encontramos que, en términos de un logaritmo de base diez:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0,434294 {\displaystyle \ln(x)={frac {\log(x)}{log(e)}}approx {\frac {\log(x)}{0,434294}} , donde 0,434294 es una aproximación para el logaritmo de e.

Operaciones con argumentos logarítmicos

Los logaritmos que se multiplican dentro de su argumento se pueden modificar de la siguiente manera:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\desde el punto de vista de la visualización \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Por ejemplo,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\desde el punto de vista de la visualización \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

Del mismo modo, el logaritmo que divide dentro del argumento puede convertirse en una diferencia de logaritmo (porque es la operación inversa de la multiplicación):

Tablas de logaritmos, reglas de cálculo y aplicaciones históricas

Antes de los ordenadores electrónicos, los científicos utilizaban los logaritmos a diario. Los logaritmos ayudaron a los científicos e ingenieros en muchos campos como la astronomía.

Antes de los ordenadores, la tabla de logaritmos era una herramienta importante. En 1617, Henry Briggs imprimió la primera tabla de logaritmos. Esto fue poco después de la invención básica de Napier. Más tarde, se hicieron tablas con mayor alcance y precisión. Estas tablas enumeraban los valores del logaritmo_b (x) y b^x para cualquier número x en un determinado rango, con una determinada precisión, para una determinada base b (normalmente b = 10). Por ejemplo, la primera tabla de Briggs contenía los logaritmos comunes de todos los números enteros en el rango 1-1000, con una precisión de 8 dígitos.

Dado que la función f(x) = b^x es la función inversa de log_b (x), se ha llamado antilogaritmo. La gente utilizaba estas tablas para multiplicar y dividir números. Por ejemplo, un usuario buscaba el logaritmo en la tabla para cada uno de dos números positivos. Al sumar los números de la tabla se obtenía el logaritmo del producto. La función de antilogaritmo de la tabla encontraría entonces el producto basándose en su logaritmo.

Para los cálculos manuales que necesitan precisión, realizar las búsquedas de los dos logaritmos, calcular su suma o diferencia y buscar el antilogaritmo es mucho más rápido que realizar la multiplicación por vías anteriores.

Muchas tablas de logaritmos dan logaritmos proporcionando por separado la característica y la mantisa de x, es decir, la parte entera y la parte fraccionaria de log₁₀ (x). La característica de 10 - x es uno más la característica de x, y sus significados son los mismos. Esto amplía el alcance de las tablas de logaritmos: dada una tabla que enumera log₁₀ (x) para todos los enteros x que van de 1 a 1000, el logaritmo de 3542 se aproxima por

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354,2 ) = 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\cprox 1+\log _{10}(354).\c,}

Otra aplicación fundamental era la regla de cálculo, un par de escalas divididas logarítmicamente que se utilizaban para calcular, como se ilustra aquí:

Los números se marcan en escalas deslizantes a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Deslizar la escala superior adecuadamente equivale a sumar mecánicamente los logaritmos. Por ejemplo, si se suma la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior se obtiene un producto de 6, que se lee en la parte inferior. Muchos ingenieros y científicos utilizaron reglas de cálculo hasta la década de 1970. Los científicos pueden trabajar más rápido con una regla de cálculo que con una tabla de logaritmos.

 
Representación esquemática de una regla de cálculo. Partiendo de 2 en la escala inferior, se suma la distancia a 3 en la escala superior para llegar al producto 6. La regla de cálculo funciona porque está marcada de forma que la distancia de 1 a x es proporcional al logaritmo de x.  

Páginas relacionadas

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• Teorema de los números primos