Espiral logarítmica (equiangular): definición, historia y ejemplos

En coordenadas polares (r, θ) la curva puede escribirse como

r = a e b θ {\displaystyle r=ae^{b\theta }\}, }

o

θ = 1 b ln ( r / a ) , {\displaystyle \theta ={frac {1}{b}\ln(r/a),}

de ahí el nombre "logarítmico". En forma paramétrica, la curva es

x ( t ) = r cos ( t ) = a e b t cos ( t ) {\displaystyle x(t)=r\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\},}

y ( t ) = r sin ( t ) = a e b t sin ( t ) {\displaystyle y(t)=r\sin(t)=ae^{bt}\sin(t)\},}

con números reales a y b.

La espiral tiene la propiedad de que el ángulo ɸ entre la tangente y la línea radial en el punto (r,θ) es constante. Esta propiedad se puede expresar en términos geométricos diferenciales como

arccos ⟨ r ( θ ) , r ′ ( θ ) ⟩ ‖ r ( θ ) ‖ ‖ r ′ ( θ ) ‖ = arctan 1 b = ϕ , {\displaystyle \arccos {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),|mathbf {r} '(\theta )||rangle }{|mathbf {r} (\theta )||||mathbf {r} '(\theta )||}=arctan {\frac {1}{b}=phi ,}

La derivada r'(θ) es proporcional al parámetro b. En otras palabras, controla lo "apretada" que está la espiral y en qué dirección. En el caso extremo de que b = 0 (ɸ = π/2) la espiral se convierte en un círculo de radio a. Por el contrario, en el límite en que b se acerca al infinito (ɸ → 0) la espiral tiende a una línea recta. El complemento de ɸ se llama paso.

Spira mirabilis, "espiral milagrosa" en latín, es otro nombre para la espiral logarítmica. Aunque esta curva ya había sido bautizada por otros matemáticos, el nombre de espiral "milagrosa" o "maravillosa" se lo dio Jakob Bernoulli, porque le fascinaba una de sus propiedades matemáticas únicas: el tamaño de la espiral aumenta, pero la forma se mantiene igual con cada curva añadida. Quizá por esta propiedad, la espira mirabilis ha evolucionado en la naturaleza, viéndose en algunos seres vivos, como las conchas de los nautilos y las cabezas de los girasoles. Jakob Bernoulli quería esta forma en su lápida, pero, por error, se colocó en su lugar una espiral de Arquímedes.

En varios fenómenos naturales se pueden encontrar curvas que están cerca de ser espirales logarítmicas. A continuación, algunos ejemplos y razones:

• La aproximación de un halcón a su presa. Su vista más aguda se encuentra en un ángulo con respecto a su dirección de vuelo; este ángulo es el mismo que la inclinación de la espiral.

• La aproximación de un insecto a una fuente de luz. Están acostumbrados a que la fuente de luz esté en un ángulo constante respecto a su trayectoria de vuelo. Por lo general, el sol es la única fuente de luz y volando de esa manera se obtiene una línea prácticamente recta.

• Los brazos de las galaxias espirales. Se cree que nuestra propia galaxia, la Vía Láctea, tiene cuatro brazos espirales principales, cada uno de los cuales es aproximadamente una espiral logarítmica con un ángulo de inclinación de unos 12 grados, un ángulo de inclinación inusualmente pequeño para una galaxia como la Vía Láctea. En general, los brazos de las galaxias espirales tienen ángulos de inclinación que oscilan entre 10 y 40 grados.

• Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes.

• Muchas estructuras biológicas, incluidas las telas de araña y las conchas de los moluscos. En estos casos, la razón es la siguiente: Comience con cualquier figura bidimensional de forma irregular F₀ . Expanda F₀ por un cierto factor para obtener F₁ , y coloque F₁ junto a F₀ , de modo que dos lados se toquen. Ahora expande F₁ por el mismo factor para obtener F₂ , y colócalo junto a F₁ como antes. Repitiendo esto se obtendrá una espiral logarítmica aproximada cuyo paso está determinado por el factor de expansión y el ángulo con el que se colocaron las figuras una al lado de la otra. Esto se muestra para las figuras poligonales en el gráfico adjunto.

• Secuencia de Fibonacci
• Dispositivo de leva con muelle