El número de Fibonacci

Los números de Fibonacci son una secuencia de números en matemáticas llamada así por Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci. Fibonacci escribió un libro en 1202, llamado Liber Abaci ("Libro del Cálculo"), que introdujo el patrón numérico en las matemáticas de Europa Occidental, aunque los matemáticos de la India ya lo conocían.

El primer número del patrón es 0, el segundo número es 1, y cada número después de eso es igual a la suma de los dos números anteriores. Por ejemplo 0+1=1 y 3+5=8. Esta secuencia continúa para siempre.

Esto puede escribirse como una relación de recurrencia,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\autorización F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

Para que esto tenga sentido, hay que dar al menos dos puntos de partida. Aquí, F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}{\displaystyle F_{0}=0} y F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}{\displaystyle F_{1}=1} .

Una espiral de Fibonacci creada dibujando una línea a través de los cuadrados de la baldosa de Fibonacci; ésta utiliza cuadrados de tamaños 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34; ver Espiral dorada
Una espiral de Fibonacci creada dibujando una línea a través de los cuadrados de la baldosa de Fibonacci; ésta utiliza cuadrados de tamaños 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34; ver Espiral dorada

Los números de Fibonacci en la naturaleza

Los números de Fibonacci están relacionados con la proporción áurea, que aparece en muchos lugares en los edificios y en la naturaleza. Algunos ejemplos son el patrón de las hojas de un tallo, las partes de una piña, el florecimiento de una alcachofa, el desdoblamiento de un helecho y la disposición de una piña. Los números de Fibonacci también se encuentran en el árbol genealógico de las abejas.

Cabeza de girasol mostrando florituras en espirales de 34 y 55 alrededor del exterior
Cabeza de girasol mostrando florituras en espirales de 34 y 55 alrededor del exterior

La fórmula de Binet

El enésimo número de Fibonacci puede escribirse en términos de la proporción áurea. Esto evita tener que usar la recursión para calcular los números de Fibonacci, lo que puede llevarle mucho tiempo a una computadora.

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{\i}}}{\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} la proporción dorada.



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