Números de Fibonacci

Autor: Leandro Alegsa

20-12-2021

Los números de Fibonacci son una secuencia de números en matemáticas que lleva el nombre de Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci. Fibonacci escribió un libro en 1202, llamado Liber Abaci ("Libro de Cálculo"), que introdujo el patrón numérico en las matemáticas de Europa Occidental, aunque los matemáticos de la India ya lo conocían.

El primer número del patrón es el 0, el segundo número es el 1, y cada número posterior es igual a la suma de los dos números anteriores. Por ejemplo, 0+1=1 y 3+5=8. Esta secuencia es eterna.

Esto se puede escribir como una relación de recurrencia,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

Para que esto tenga sentido, es necesario dar al menos dos puntos de partida. Aquí, F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} $F_{0}=0$ y F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1} $F_{1}=1$ .

Una espiral de Fibonacci creada al trazar una línea a través de los cuadrados del mosaico de Fibonacci; ésta utiliza cuadrados de los tamaños 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34; véase Espiral dorada

Los números de Fibonacci en la naturaleza

Los números de Fibonacci están relacionados con la proporción áurea, que aparece en muchos lugares de los edificios y de la naturaleza. Algunos ejemplos son el patrón de las hojas en un tallo, las partes de una piña, la floración de la alcachofa, el desenrollamiento de un helecho y la disposición de una piña. Los números de Fibonacci también se encuentran en el árbol genealógico de las abejas.

Cabeza de girasol con flores en espiral de 34 y 55 alrededor del exterior

Fórmula de Binet

El enésimo número de Fibonacci puede escribirse en términos de la proporción áurea. Esto evita tener que utilizar la recursividad para calcular los números de Fibonacci, lo que puede llevar mucho tiempo a un ordenador.

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} {\sqrt {5}}}} $F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}$

Donde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={frac {1+{sqrt {5}}{2}} $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ , la proporción áurea.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la secuencia de Fibonacci?

R: La secuencia de Fibonacci es un patrón de números en matemáticas que debe su nombre a Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci. Comienza con 0 y 1, y cada número posterior es igual a la suma de los dos números que le preceden.

P: ¿Quién introdujo este patrón numérico en las matemáticas de Europa Occidental?

R: Fibonacci escribió un libro en 1202 llamado Liber Abaci ("Libro de Cálculo"), que introdujo el patrón numérico en las matemáticas de Europa Occidental, aunque los matemáticos de la India ya lo conocían.

P: ¿Cómo se escribe la secuencia de Fibonacci?

R: La secuencia de Fibonacci puede escribirse como una relación de recurrencia, donde F_n = F_n-1 + F_n-2 para n ≥ 2.

P: ¿Cuáles son los puntos de partida de esta relación de recurrencia?

R: Para que tenga sentido, deben darse al menos dos puntos de partida. En este caso, F_0 = 0 y F_1 = 1.

P: ¿La secuencia de Fibonacci es eterna?

R: Sí, la secuencia es eterna.

P: ¿Dónde aprendieron los matemáticos por primera vez este patrón numérico? R: Los matemáticos de la India ya conocían este patrón numérico antes de que fuera introducido en Europa Occidental por Leonardo de Pisa (Fibonacci).