Con un número llamado a y otro más pequeño b, el cociente de los dos números se encuentra dividiéndolos. Su razón es a/b. Otro cociente se encuentra sumando los dos números y dividiéndolo por el número mayor a. El nuevo cociente es (a+b)/a. Si estas dos proporciones son iguales al mismo número, entonces ese número se llama proporción áurea. La letra griega φ {\displaystyle \varphi }(phi) se suele utilizar como nombre de la proporción áurea.

Por ejemplo, si b = 1 y a/b = φ {\displaystyle {\displaystyle \varphi }, entonces a = φ {\displaystyle \varphi }. La segunda relación (a+b)/a es entonces {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi }. Como estos dos cocientes son iguales, esto es cierto:

{\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

Una forma de escribir este número es

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618...}

{\displaystyle {\sqrt {5}}} es un número que, cuando se multiplica por sí mismo, hace 5: {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5} .

La proporción áurea se llama un número irracional. Eso significa que si una persona intenta escribirlo, nunca se detendrá y nunca hará un patrón, sino que empezará así: 1.6180339887... Una cosa importante sobre este número es que si se le resta 1 o se divide entre él, se obtendrá el mismo número.



 

Fórmula algebraica y valor numérico

Si llamamos φ a la proporción áurea obtenida por la igualdad

a/b = (a+b)/a = φ

y tomamos la normalización b = 1, entonces a = φ y se cumple

φ = (φ + 1) / φ,

que multiplicando por φ da la ecuación cuadrática

φ² = φ + 1,

es decir

φ² − φ − 1 = 0.

Resolviendo esta ecuación con la fórmula cuadrática obtenemos

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887498948…

La otra raíz de la ecuación es ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0.6180339887…, llamada a veces la conjugada de φ.

Propiedades importantes

  • Reciprocidad: 1/φ = φ − 1 ≈ 0.6180339887... Esto expresa que restarle 1 o tomar su inverso produce números relacionados.
  • Cuadrático: φ² = φ + 1 y, por inducción, φⁿ = Fₙ·φ + Fₙ₋₁, donde Fₙ son los números de Fibonacci (F₀ = 0, F₁ = 1).
  • Continua fracción: φ tiene la representación periódica continua simple [1; 1, 1, 1, ...], es decir

φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...))).

  • Radical infinito: también puede expresarse como la raíz anidada

φ = √(1 + √(1 + √(1 + ...))).

  • Conjugado: ψ = (1 − √5)/2 satisface ψ = 1 − φ y φ·ψ = −1.
  • Irracional y algebraico: φ es irracional (no tiene expresión decimal finita ni periódica) y es un número algebraico de grado 2, ya que es raíz de un polinomio cuadrático con coeficientes enteros.

Relación con la sucesión de Fibonacci

La proporción entre dos términos sucesivos de la sucesión de Fibonacci tiende a φ cuando los índices crecen:

lim (F_{n+1} / F_n) = φ cuando n → ∞.

De hecho, la fórmula de Binet expresa a los términos de Fibonacci con φ y su conjugado ψ:

F_n = (φ^n − ψ^n) / √5.

Apariciones geométricas y ejemplos

  • Rectángulo áureo: un rectángulo cuyas longitudes de lados están en proporción φ se llama rectángulo áureo; al quitar un cuadrado se obtiene otro rectángulo áureo más pequeño (autosemejanza).
  • Pentágono regular: las diagonales de un pentágono regular se cortan en proporciones que involucran φ; además, φ aparece en la razón entre diagonal y lado.
  • Espiral áurea y naturaleza: si se trazan arcos dentro de cuadrados inscritos en rectángulos áureos sucesivos se aproxima una espiral logarítmica conocida como espiral áurea. Patrones aproximados relacionados con φ se observan en la disposición de pétalos y semillas (filotaxia), donde aparecen relaciones cercanas a las fracciones continuas de Fibonacci.
  • Arte y arquitectura: durante siglos se ha atribuido a la proporción áurea un valor estético; aparece en obras de arte, diseño y arquitectura, aunque su uso ha sido tanto real como mitificado.

Representaciones y aproximaciones

  • Valor decimal: φ ≈ 1.6180339887498948482… (no periódico).
  • Expresión exacta: φ = (1 + √5) / 2.
  • Continua fracción simple: [1; 1, 1, 1, …].
  • Aproximaciones racionales: 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 ≈ 1.61538, etc., que son cocientes de términos consecutivos de Fibonacci y se acercan a φ.

Curiosidades

  • φ es el número cuya potencia satisface relaciones lineales con Fibonacci: por ejemplo, φ^n ≈ F_n φ + F_{n-1}.
  • El número φ aparece también en problemas de optimización, teoría de números, geometría y en construcciones con regla y compás (por ejemplo, en la construcción del pentágono regular).

La proporción áurea combina una definición geométrica sencilla con propiedades algebraicas profundas y múltiples apariciones en matemáticas, naturaleza y arte, lo que la convierte en uno de los números más estudiados y fascinantes.