Número áureo
Con un número llamado a y otro más pequeño b, el cociente de los dos números se encuentra dividiéndolos. Su razón es a/b. Otro cociente se encuentra sumando los dos números y dividiéndolo por el número mayor a. El nuevo cociente es (a+b)/a. Si estas dos proporciones son iguales al mismo número, entonces ese número se llama proporción áurea. La letra griega φ 
(phi) se suele utilizar como nombre de la proporción áurea.
Por ejemplo, si b = 1 y a/b = φ {\displaystyle , entonces a = φ . La segunda relación (a+b)/a es entonces 
. Como estos dos cocientes son iguales, esto es cierto:
Una forma de escribir este número es
es un número que, cuando se multiplica por sí mismo, hace 5: 
.
La proporción áurea se llama un número irracional. Eso significa que si una persona intenta escribirlo, nunca se detendrá y nunca hará un patrón, sino que empezará así: 1.6180339887... Una cosa importante sobre este número es que si se le resta 1 o se divide entre él, se obtendrá el mismo número.
Rectángulo dorado
Si la longitud de un rectángulo dividida por su anchura es igual a la proporción áurea, entonces el rectángulo es un "rectángulo áureo". Si se corta un cuadrado de un extremo de un rectángulo áureo, entonces el otro extremo es un nuevo rectángulo áureo. En la imagen, el gran rectángulo (azul y rosa juntos) es un rectángulo áureo porque 
. La parte azul (B) es un cuadrado, y la parte rosa por sí misma (A) es otro rectángulo dorado porque b 
. El rectángulo grande y el rectángulo rosa tienen la misma forma, pero el rectángulo rosa es más pequeño y está girado.
El gran rectángulo BA es un rectángulo áureo; es decir, la proporción b:a es 1: . Para cualquier rectángulo de este tipo, y sólo para los rectángulos de esa proporción específica, si eliminamos el cuadrado B, lo que queda, A, es otro rectángulo áureo; es decir, con las mismas proporciones que el rectángulo original.
Números de Fibonacci
Los números de Fibonacci son una lista de números. Una persona puede encontrar el siguiente número de la lista sumando los dos últimos números. Si una persona divide un número de la lista entre el número que le precede, esta proporción se acerca cada vez más a la proporción áurea.
| Número de Fibonacci | dividido por el anterior | relación |
| 1 | ||
| 1 | 1/1 | = 1.0000 |
| 2 | 2/1 | = 2.0000 |
| 3 | 3/2 | = 1.5000 |
| 5 | 5/3 | = 1.6667 |
| 8 | 8/5 | = 1.6000 |
| 13 | 13/8 | = 1.6250 |
| 21 | 21/13 | = 1.6154... |
| 34 | 34/21 | = 1.6190... |
| 55 | 55/34 | = 1.6177... |
| 89 | 89/55 | = 1.6182... |
| ... | ... | ... |
| | = 1.6180... |
La proporción áurea en la naturaleza
En la naturaleza, la proporción áurea se utiliza a menudo para la disposición de hojas o flores. Éstas utilizan el ángulo áureo de aproximadamente 137,5 grados. Las hojas o flores dispuestas en ese ángulo aprovechan mejor la luz del sol.
Además, la distancia entre el centro del cuerpo de una persona y el suelo y la distancia entre la coronilla y la base de la columna vertebral se ajustan a la proporción áurea. A pesar de su ausencia en los patrones arquitectónicos y de diseño comunes, el hallazgo de Leonardo Fibonacci es ampliamente reconocido como innovador. Puede adoptar la forma de huracanes, colmillos de elefante, hormigas, erizos de mar, estrellas de mar, abejas y muchas otras cosas.
La secuencia de Fibonacci comienza con el 0 y se prolonga eternamente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Hay una suma de dos dígitos antes de cada dígito. El patrón en sí es bastante elemental y poco llamativo.
Eso es hasta que uno se entera de que esta proporción subyace a la belleza de la Mona Lisa, los miembros humanos, la encriptación de datos e incluso el número de espirales en la cabeza de un girasol. Parece que el universo tiene una forma natural de llevar la cuenta de los números.
Las flores siempre tienen un número impar de pétalos que se ajustan a la secuencia de Fibonacci. Por ejemplo, el lirio de la paz tiene tres pétalos, los ranúnculos tienen cinco, la achicoria tiene 21, las margaritas tienen 34, etc.
Aquí hay más ocurrencias naturales de la proporción áurea:
Cabezas de semillas. Las flores producen semillas en su núcleo, que luego salen en espiral para llenar la cabeza de la flor.
Las piñas, las coliflores y el brócoli Romanesco. Asimismo, éstos se ajustan a la secuencia de Fibonacci.
Conos de pino. Las piñas tienen patrones en espiral en sus vainas de semillas, con dos espirales en cada cono que crecen en direcciones opuestas a medida que crecen.
Ramas de un árbol. En la naturaleza, este patrón se observa cuando un árbol desarrolla una rama y luego se divide en dos nuevos puntos de crecimiento. Entonces, sólo uno de los dos nuevos tallos crecerá activamente, mientras que el otro permanecerá inactivo.
Métodos de vuelo de las aves. El mejor ángulo de ataque del halcón es el perpendicular a la trayectoria de vuelo del objetivo, que coincide con la inclinación de la espiral.
Galaxias espirales. Hay varios brazos espirales en la Vía Láctea, cada uno con una espiral logarítmica de unos 12 grados.
Una hoja de hiedra común, mostrando la proporción áurea
Si utiliza el ángulo dorado, aprovechará de forma óptima la luz del sol. Esta es una vista desde la parte superior.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es el cociente de dos números?
R: El cociente de dos números se encuentra dividiéndolos, por lo que el cociente sería a/b.
P: ¿Cómo se puede encontrar otro cociente?
R: Se puede hallar otro cociente sumando los dos números y luego dividiendo esta suma por el número mayor, a. Este nuevo cociente sería (a+b)/a.
P: ¿Cómo se llama cuando estos dos cocientes son iguales entre sí?
R: Cuando estos dos cocientes son iguales entre sí, se denomina razón áurea. Se suele representar con la letra griega צ o phi.
P: Si b = 1 y a/b = צ , ¿qué significa eso para a?
R: Si b = 1 y a/b = צ , eso significa que a = צ también.
P: ¿Cómo se puede escribir este número?
R: Una forma de escribir este número es צ = 1 + 5 / 2 = 1,618...
P: ¿Qué significa si se le resta 1 o se le divide entre 1?
R: Si le resta 1 o divide 1 entre él, obtendrá el mismo número, es decir, ambos serán iguales a la proporción áurea.
P: ¿Es la proporción áurea un número irracional?
R: Sí, la proporción áurea es un número irracional, lo que significa que si alguien trata de escribirlo, nunca habrá un final ni un patrón, sólo se comenzará con algo como "1,6180339887..."
