Número de Graham: definición, origen y por qué es tan enorme
Descubre qué es el número de Graham, su origen en la teoría de Ramsey y por qué es tan inmensamente grande que no cabría en el universo observable.
El número de Graham es un número natural extraordinariamente grande definido por el matemático Ronald Graham. Graham lo introdujo como cota superior en la solución de un problema en una rama de las matemáticas llamada teoría de Ramsey. En concreto, demostró que la respuesta a su problema —relacionado con coloraciones de aristas en vértices de un hipercubo y la aparición inevitable de ciertos subconfiguraciones monocromáticas— es menor que lo que hoy llamamos el número de Graham.
El número de Graham es uno de los números más grandes que se han usado en una prueba matemática. Incluso si cada dígito del número de Graham se escribiera con la letra más pequeña posible, seguiría siendo demasiado grande para caber en el universo observable. Aun así, es importante subrayar que Graham no afirmaba que ese número fuera la respuesta exacta al problema; era una cota superior práctica que garantizaba la existencia de la configuración buscada. Investigaciones posteriores han reducido drásticamente esa cota superior, de modo que el valor real que resuelve el problema es mucho menor (aunque aún no se conoce exactamente).
Cómo se construye (breve explicación)
La forma de definir el número de Graham utiliza la notación de flechas de Knuth, una manera compacta de expresar potencias iteradas y operaciones aún más rápidas de crecimiento:
- a ↑ b significa a elevado a la b (por ejemplo, 3 ↑ 3 = 27).
- a ↑↑ b (doble flecha) significa una torre de potencias de a de altura b (por ejemplo, 3 ↑↑ 3 = 3^(3^3) = 3^27 ≈ 7,6×10^12).
- Con más flechas (↑↑↑, ↑↑↑↑, ...) la rapidez de crecimiento se magnifica enormemente.
La definición habitual del número de Graham es la siguiente: se define una sucesión g1, g2, ..., g64 por
- g1 = 3 ↑↑↑↑ 3 (es decir, 3 con cuatro flechas y 3),
- y g_{n+1} = 3 ↑^{g_n} 3, donde el número de flechas en la operación es exactamente g_n.
El número de Graham G es g64. Aunque g1 ya es inimaginablemente grande, cada paso de la sucesión produce un número astronómicamente mayor, de modo que g64 (G) supera con mucho a g1 y a prácticamente cualquier número que no se haya construido con notaciones de crecimiento extremo.
Por qué es tan enorme
Hay dos razones principales:
- El uso de flechas de Knuth compone operaciones que aumentan la magnitud de forma superexponencial: pasar de potencias a torres de potencias a operaciones aún más intensas hace que números sucesivos sean «inmensamente más grandes» que los anteriores.
- La propia definición recursiva g_{n+1} = 3 ↑^{g_n} 3 hace que el número de flechas en cada etapa sea igual al valor de la etapa anterior, lo que provoca una explosión de crecimiento mucho más rápida que en una simple torre fija de potencias.
Qué se sabe (y qué no) sobre su valor
- Graham fue una cota superior; no afirmó que G fuera la menor posible. De hecho, investigaciones posteriores han conseguido acotar la respuesta real por debajo de G, reduciendo significativamente la cota superior original.
- El valor exacto del parámetro mínimo que resuelve el problema original de Graham sigue sin conocerse, pero está muy por debajo de G.
- A pesar de su tamaño, algunos aspectos de G sí se pueden calcular: por la estructura en torres y potencias iteradas es posible determinar sus últimos dígitos mediante aritmética modular. Sin embargo, la inmensa mayoría de sus cifras centrales sigue fuera de todo alcance práctico.
- Comparaciones: hay números de la teoría de la computación y la lógica (por ejemplo, TREE(3) o ciertos números asociados a límites de teoría de autómatas) que crecen aún más rápido que Graham, así que G no es el mayor número concebible en matemáticas, pero sí es famoso por ser extremadamente grande y por haber surgido en una demostración concreta.
Curiosidades
- La popularización del número de Graham debe mucho a figuras divulgativas como Martin Gardner, que lo presentó al público general en la década de 1970.
- Aunque G es imprácticamente grande, su existencia y su definición ayudan a fijar límites teóricos en problemas combinatorios; esto ilustra cómo a veces la demostración de existencia en matemáticas no requiere conocer exactamente el valor mínimo, sino solo una cota efectiva.
En resumen, el número de Graham es un ejemplo claro de cómo ciertas notaciones y definiciones recursivas conducen a magnitudes inimaginables; surgió por razones concretas en teoría de Ramsey y, aunque ya no se use como la mejor cota para ese problema, sigue siendo una referencia cultural y matemática sobre la noción de «números extremadamente grandes».
Contexto
La teoría de Ramsey es un área de las matemáticas que plantea preguntas como las siguientes:
Supongamos que dibujamos un cierto número de puntos y que conectamos cada par de puntos mediante una línea. Algunas líneas son azules y otras rojas. ¿Podemos encontrar siempre 3 puntos para los que las 3 líneas que los conectan sean todas del mismo color?
Resulta que para este sencillo problema, la respuesta es "sí" cuando tenemos 6 o más puntos, independientemente de cómo se coloreen las líneas. Pero cuando tenemos 5 puntos o menos, podemos colorear las líneas para que la respuesta sea "no".
Una vez más, digamos que tenemos algunos puntos, pero ahora son las esquinas de un hipercubo de n dimensiones. Siguen estando conectados por líneas azules y rojas. Para 4 puntos cualesquiera, hay 6 líneas que los conectan. ¿Podemos encontrar 4 puntos que estén todos en un mismo plano y las 6 líneas que los conectan sean todas del mismo color?
Al pedir que los 4 puntos se sitúen en un plano, hemos hecho el problema mucho más difícil. Nos gustaría saber: ¿para qué valores de n la respuesta es "no" (para alguna forma de colorear las líneas), y para qué valores de n es "sí" (para todas las formas de colorear las líneas)? Pero este problema aún no está completamente resuelto.
En 1971, Ronald Graham y B. L. Rothschild encontraron una respuesta parcial a este problema. Demostraron que para n=6, la respuesta es "no". Pero cuando n es muy grande, tan grande como el número de Graham o mayor, la respuesta es "sí".
Una de las razones por las que esta respuesta parcial es importante es que significa que la respuesta es finalmente "sí" para al menos algún n grande. Antes de 1971, no sabíamos ni siquiera eso.
Existe un límite mucho más pequeño para el mismo problema llamado N. Es igual a 
, donde 
. Este límite superior más débil para el problema, atribuido a un trabajo inédito de Graham, fue finalmente publicado y nombrado por Martin Gardner en Scientific American en noviembre de 1977.
Definición
El número de Graham no sólo es demasiado grande para escribir todos sus dígitos, sino que es demasiado grande incluso para escribirlo en notación científica. Para poder escribirlo, tenemos que utilizar la notación de flecha hacia arriba de Knuth.
Anotaremos una secuencia de números que llamaremos g1, g2, g3, y así sucesivamente. Cada uno se utilizará en una ecuación para encontrar el siguiente. g64 es el número de Graham.
En primer lugar, he aquí algunos ejemplos de flechas ascendentes:
es 3x3x3 que es igual a 27. Una flecha entre dos números sólo significa el primer número multiplicado por sí mismo el segundo número de veces.- Se puede pensar en 3
como 3 
porque dos flechas entre los números A y B sólo significa A escrito un número B de veces con una flecha entre cada A. Como sabemos lo que son las flechas simples, 3 ↑ es 3 multiplicado por sí mismo veces y sabemos que es veintisiete. Así que 3 es 3x3x3x....x3x3, en total 27 veces. Eso equivale a 7.625.597.484.987. 
es 
y sabemos que es 7,625,597,484,987. Así que 
. Eso también puede escribirse como 3 
con un total de 7.625.597.484.987 3s. Este número es tan enorme que sus dígitos, incluso escritos muy pequeños, podrían llenar el universo observable y más allá.- Aunque esta cifra puede ser ya incomprensible, esto es apenas el comienzo de esta gigantesca cifra.
- El siguiente paso así es
o 
. Este es el número que llamaremos g1.
Después, g2 es igual a 
; el número de flechas de este número es g1.
g3 es igual a 
, donde el número de flechas es g2.
Seguimos por este camino. Nos detenemos cuando definimos que g64 es 3
Este es el número de Graham.
Páginas relacionadas
- La notación de flecha hacia arriba de Knuth
Preguntas y respuestas
P: ¿Quién definió el número de Graham?
R: Ronald Graham definió el número de Graham.
P: ¿En qué área de las matemáticas trabajaba Ronald Graham cuando definió el número?
R: Ronald Graham trabajaba en un área de las matemáticas llamada teoría de Ramsey cuando definió el número.
P: ¿Qué demostró Ronald Graham con su problema?
R: Ronald Graham demostró que la respuesta a su problema era menor que el número de Graham.
P: ¿Qué tamaño tiene el número de Graham en comparación con otros números utilizados en las pruebas matemáticas?
R: El número de Graham es uno de los números más grandes jamás utilizados en una demostración matemática.
P: Si se escribieran todos los dígitos del número, ¿cabría en el universo observable?
R: Incluso si cada dígito del número de Graham se escribiera con la letra más pequeña posible, seguiría siendo demasiado grande para caber en el universo observable.
P: ¿Hay alguna forma de calcular o estimar lo grande que es este número?
R: No hay una forma exacta de calcular o estimar lo grande que es este número natural en particular, ya que aún no se ha determinado completamente.
P: ¿Por qué existe un natural tan grande y para qué sirve?
R: Este natural tan grande existe porque fue utilizado por Ronald Grahm como parte de una prueba matemática y sirve como límite superior para su solución.
Buscar dentro de la enciclopedia