Hipercubo (n-cubo): definición y propiedades del cubo n-dimensional

Hipercubo (n-cubo): definición y propiedades esenciales del cubo n‑dimensional — conceptos, diagonales, ejemplos y aplicaciones en geometría y computación.

En geometría, un hipercubo es el análogo n-dimensional de un cuadrado (n = 2) y un cubo (n = 3). Es una figura convexa, cerrada y compacta cuyo esqueleto 1 está formado por grupos de segmentos de líneas paralelas opuestas y alineadas en cada una de las dimensiones del espacio, perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unitario en n dimensiones es igual a n.

Un hipercubo de n dimensiones también se denomina n-cubo o cubo de n dimensiones. También se utiliza el término "politopo de medida", sobre todo en la obra de H. S. M. Coxeter (originalmente de Elte, 1912), pero ya ha sido superado.

El hipercubo es el caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortotipo).

Un hipercubo unitario es un hipercubo cuyo lado tiene la longitud de una unidad. A menudo, el hipercubo cuyas esquinas (o vértices) son los 2ⁿ puntos de Rⁿ con cada coordenada igual a 0 o 1 se llama "el" hipercubo unitario. Sus vértices se pueden describir como el conjunto {0,1}ⁿ y dos vértices están unidos por una arista si difieren en exactamente una coordenada.

Propiedades principales

• Vértices: un n-cubo tiene 2ⁿ vértices (por ejemplo, 1, 2, 4, 8 para n = 0, 1, 2, 3 respectivamente).
• Aristas: el número de aristas es n·2^n-1. Cada vértice es incidente a n aristas (grado n en el grafo del hipercubo).
• Caras de dimensión k: el número de k-caras (es decir, caras que son k-cubos) viene dado por la fórmula combinatoria C(n,k)·2^n−k . Esto incluye vértices (k = 0), aristas (k = 1), caras cuadradas (k = 2), etc.
• Facetas: las facetas (caras de dimensión n−1) son 2n y cada una es un (n−1)-cubo. Por ejemplo, un cubo (n = 3) tiene 6 caras; un tesseracto (n = 4) tiene 8 cubos como facetas.
• Volumen / Hipervolumen: para un hipercubo de lado s, el hipervolumen (medida n-dimensional) es sⁿ. En particular, el hipercubo unitario [0,1]ⁿ tiene volumen 1.
• Diagonal: la diagonal espacial más larga de un hipercubo de lado s mide s·√n. En el caso unitario, mide √n; hay 2ⁿ⁻¹ diagonales principales que conectan pares de vértices opuestos.
• Simetría: el grupo de simetrías del hipercubo es el grupo hiperócteo (grupo de Coxeter B_n), de orden 2ⁿ·n!, que combina permutaciones de coordenadas y cambios de signo. El hipercubo es centrado y refleja simetría completa bajo permutaciones y reflexiones coordenadas.
• Dualidad: el dual del n-cubo es el n-ortoplaxto o n-hexadeca... conocido como n-orthoplex (en 3D, el dual de un cubo es un octaedro). Este dual tiene 2n vértices y 2ⁿ caras en correspondencia con las caras del cubo.
• Grafo del hipercubo: el grafo de vértices y aristas del hipercubo es el grafo hipercúbico Q_n o grafo de Hamming; es regular de grado n, bipartito, con diámetro n y con aplicaciones en teoría de códigos y redes.
• Construcción: un hipercubo puede construirse inductivamente como el producto cartesiano de un (n−1)-cubo por un segmento: C_n = C_n−1 × [0,1]. De manera explícita, el hipercubo unitario es el conjunto [0,1]ⁿ = { (x₁,…,x_n) | 0 ≤ x_i ≤ 1 }.

Ejemplos y notaciones

• Casos bajos: para n = 0, el hipercubo es un punto; n = 1, un segmento; n = 2, un cuadrado; n = 3, un cubo; n = 4, un tesseract o 4-cubo.
• Símbolo de Schläfli: el n-cubo se denota habitualmente por {4,3,...,3} (con n−2 números 3), que refleja que sus 2-faces son cuadrados y a partir de ahí las configuraciones son regulares.
• Relaciones con la teoría discreta: las coordenadas {0,1}ⁿ y la estructura de aristas (diferen en una coordenada) conectan el hipercubo con el cubo booleano y el reticulado de subconjuntos —estructuras centrales en combinatoria y teoría de la información.

Aplicaciones y observaciones

• Los hipercubos aparecen en análisis multivariante, espacios de parámetros y algoritmia (por ejemplo, en la representación de esquemas de búsqueda en n dimensiones o en redes hipercúbicas para interconexión de ordenadores).
• En visualización y geometría computacional, las proyecciones del hipercubo permiten estudiar el tesseracto (4-cubo) mediante proyecciones 3D y 2D; el tesseracto puede representarse como dos cubos unidos por aristas correspondientes.
• Debido a su alta simetría y estructura regular, los hipercubos son un ejemplo estándar en la teoría de politopos convexos y en la clasificación de politopos regulares.

En resumen, el hipercubo es un politopo regular con una descripción muy simple en coordenadas, fórmulas combinatorias cerradas para sus caras y simetrías ricas que lo hacen fundamental tanto en geometría teórica como en aplicaciones prácticas.

Construcción

Un hipercubo puede definirse aumentando el número de dimensiones de una forma:

0 - Un punto es un hipercubo de dimensión cero.

1 - Si uno mueve este punto una unidad de longitud, barrerá un segmento de línea, que es un hipercubo unitario de dimensión uno.

2 - Si se desplaza este segmento de línea su longitud en dirección perpendicular a sí mismo; barre un cuadrado de dos dimensiones.

3 - Si se desplaza el cuadrado una unidad de longitud en la dirección perpendicular al plano en el que se encuentra, se generará un cubo tridimensional.

4 - Si se mueve el cubo una unidad de longitud hacia la cuarta dimensión, se genera un hipercubo unitario de 4 dimensiones (un teseracto unitario).

Esto puede generalizarse a cualquier número de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes puede formalizarse matemáticamente como una suma de Minkowski: el hipercubo de d dimensiones es la suma de Minkowski de d segmentos de línea de longitud unitaria mutuamente perpendiculares, y es por tanto un ejemplo de zonotopo.

El esqueleto 1 de un hipercubo es un gráfico de hipercubo.

Un diagrama que muestra cómo crear un teseracto a partir de un punto.


Una animación que muestra cómo crear un teseracto a partir de un punto.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es un hipercubo?

P: ¿Cuál es la diagonal más larga en un hipercubo de n dimensiones?

P: ¿Existe otro término para un hipercubo n-dimensional?

P: ¿Qué significa "hipercubo unitario"?

P: ¿Cómo podemos definir un "hiperrectángulo"?

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