Hipercubo
En geometría, un hipercubo es un análogo n-dimensional de un cuadrado (n = 2) y un cubo (n = 3). Es una figura cerrada, compacta y convexa cuyo esqueleto 1 está formado por grupos de segmentos de líneas paralelas opuestas y alineadas en cada una de las dimensiones del espacio, perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unitario en n dimensiones es igual a n
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Un hipercubo de n dimensiones también se denomina n-cubo o cubo de n dimensiones. También se utiliza el término "politopo de medida", sobre todo en la obra de H. S. M. Coxeter (originalmente de Elte, 1912), pero ya ha sido superado.
El hipercubo es el caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortotipo).
Un hipercubo unitario es un hipercubo cuyo lado tiene la longitud de una unidad. A menudo, el hipercubo cuyas esquinas (o vértices) son los 2npuntos de R ncon cada coordenada igual a 0 o 1 se llama "el" hipercubo unitario.
Construcción
Un hipercubo puede definirse aumentando el número de dimensiones de una forma:
0 - Un punto es un hipercubo de dimensión cero.
1 - Si uno mueve este punto una unidad de longitud, barrerá un segmento de línea, que es un hipercubo unitario de dimensión uno.
2 - Si se desplaza este segmento de línea su longitud en dirección perpendicular a sí mismo; barre un cuadrado de dos dimensiones.
3 - Si se desplaza el cuadrado una unidad de longitud en la dirección perpendicular al plano en el que se encuentra, se generará un cubo tridimensional.
4 - Si se mueve el cubo una unidad de longitud hacia la cuarta dimensión, se genera un hipercubo unitario de 4 dimensiones (un teseracto unitario).
Esto puede generalizarse a cualquier número de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes puede formalizarse matemáticamente como una suma de Minkowski: el hipercubo de d dimensiones es la suma de Minkowski de d segmentos de línea de longitud unitaria mutuamente perpendiculares, y es por tanto un ejemplo de zonotopo.
El esqueleto 1 de un hipercubo es un gráfico de hipercubo.
Un diagrama que muestra cómo crear un teseracto a partir de un punto.
Una animación que muestra cómo crear un teseracto a partir de un punto.
Páginas relacionadas
- Simplex - el análogo n-dimensional del triángulo
- Hiperrectángulo - el caso general del hipercubo, donde la base es un rectángulo.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es un hipercubo?
R: Un hipercubo es un análogo n-dimensional de un cuadrado (n = 2) y un cubo (n = 3). Es una figura cerrada, compacta y convexa cuyo 1-esqueleto está formado por grupos de segmentos de línea paralelos opuestos, alineados en cada una de las dimensiones del espacio, perpendiculares entre sí y de la misma longitud.
P: ¿Cuál es la diagonal más larga en un hipercubo de n dimensiones?
R: La diagonal más larga en un hipercubo de n dimensiones es igual a n {\sqrt {n}}.
P: ¿Existe otro término para un hipercubo n-dimensional?
R: Un hipercubo n-dimensional también se denomina n-cubo o cubo n-dimensional. También se utilizaba el término "politopo de medida", pero ya ha sido sustituido.
P: ¿Qué significa "hipercubo unitario"?
R: Un hipercubo unitario es un hipercubo cuyo lado tiene una longitud de una unidad. A menudo, el hipercubo unitario se refiere al caso específico en el que todas las esquinas tienen coordenadas iguales a 0 ó 1.
P: ¿Cómo podemos definir un "hiperrectángulo"?
R: Un hiperrectángulo (también llamado n-ortotipo) se define como el caso general de un hipercubo.
