Función exponencial | función que crece más y más rápido

Propiedades

Dado que las funciones exponenciales utilizan la exponenciación, siguen las mismas reglas de los exponentes. Así,

e x + y = exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x e y {\displaystyle e^{x+y}=\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=e^{x}e^{y}}. .

Esto sigue la regla de que x a ⋅ x b = x a + b {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}. .

El logaritmo natural es la operación inversa de una función exponencial, donde:

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {\displaystyle \ln(x)=\log _{e}(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}.

La función exponencial satisface una propiedad interesante e importante en el cálculo diferencial:

d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {{mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}

Esto significa que la pendiente de la función exponencial es la propia función exponencial, y como resultado tiene una pendiente de 1 en x = 0 {\displaystyle x=0} . Estas propiedades son la razón por la que es una función importante en matemáticas.

 

Aplicaciones

La función exponencial general, en la que la base no es necesariamente e {desde luego e} , es una de las funciones matemáticas más útiles. Se utiliza para representar el crecimiento exponencial, que tiene usos en prácticamente todas las disciplinas científicas y también es prominente en las finanzas. Otra aplicación de la función exponencial es el decaimiento exponencial, que se produce en la desintegración radiactiva y en la absorción de la luz.

Un ejemplo de función exponencial en la vida real sería el interés en un banco. Si una persona deposita 100 libras esterlinas en una cuenta que obtiene un 3% de interés al mes, entonces el saldo de cada mes (suponiendo que el dinero no se toca) sería el siguiente:

Mes	Balance	Mes	Balance
Enero	£100.00	Julio	£119.41
Febrero	£103.00	Agosto	£122.99
Marzo	£106.09	Septiembre	£126.68
Abril	£109.27	Octubre	£130.48
Mayo	£112.55	Noviembre	£134.39
Junio	£115.93	Diciembre	£138.42

Aquí, fíjese en cómo el dinero extra de los intereses aumenta cada mes, ya que cuanto mayor sea el saldo original, más intereses obtendrá la persona.

A continuación se muestran dos ejemplos matemáticos de funciones exponenciales (con base a).

 

Relación con la constante matemática e

Aunque la base ( a {\displaystyle a} ) puede ser cualquier número mayor que cero, por ejemplo, 10 o 1/2, a menudo es un número especial llamado e. El número e no puede escribirse exactamente, pero es casi igual a 2,71828.

El número e es importante para toda función exponencial. Por ejemplo, un banco paga un interés del 0,01% cada día. Una persona coge el dinero de los intereses y lo mete en una caja. Después de 10.000 días (unos 30 años), tiene 2 veces más dinero que con el que empezó. Otra persona coge su dinero de los intereses y lo vuelve a meter en el banco. Como el banco le paga ahora los intereses, la cantidad de dinero es una función exponencial.

De hecho, después de 10.000 días, no tiene 2 veces más dinero que al principio, pero tiene 2,718145 veces más dinero que al principio. Este número está muy cerca del número e. Si el banco paga los intereses más a menudo, de modo que la cantidad pagada cada vez es menor, entonces el número estará más cerca del número e.

Una persona también puede mirar la imagen para ver por qué el número e es importante para las funciones exponenciales. La imagen tiene tres curvas diferentes. La curva con los puntos negros es una función exponencial con una base ligeramente menor que e. La curva con las líneas negras cortas es una función exponencial con una base ligeramente mayor que e. La curva azul es una función exponencial con una base exactamente igual a e. La línea roja es una tangente a la curva azul. Toca la curva azul en un punto sin cruzarla. Una persona puede ver que la curva roja cruza el eje x, la línea que va de izquierda a derecha en -1. Esto es cierto sólo para la curva azul. Esta es la razón por la que la función exponencial de base e es especial.

 
e es el único número a, tal que el valor de la derivada de la función exponencial f (x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es exactamente 1. Para comparar, se muestran las funciones 2x (curva punteada) y 4x (curva discontinua), que no son tangentes a la línea de pendiente 1 (roja).  

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