Integración

En cálculo, una integral es el espacio bajo la gráfica de una ecuación (a veces se dice "el área bajo una curva"). Una integral es el reverso de una derivada y es lo contrario del cálculo diferencial. Una derivada es la inclinación (o "pendiente"), como tasa de cambio, de una curva. La palabra "integral" también puede utilizarse como adjetivo que significa "relacionado con los números enteros".

El símbolo de la integración, en el cálculo, es: ∫ {\displaystyle \int _{,}^{,}} $\int _{\,}^{\,}$ como una letra "S" alta. Este símbolo fue utilizado por primera vez por Gottfried Wilhelm Leibniz, que lo usó como una "ſ" estilizada (de summa, suma en latín) para significar la suma del área cubierta por una ecuación, como y = f(x).

Las integrales y las derivadas forman parte de una rama de las matemáticas llamada cálculo. El vínculo entre ambas es muy importante, y se llama Teorema Fundamental del Cálculo. El teorema dice que una integral puede ser invertida por una derivada, de forma similar a como una suma puede ser invertida por una resta.

La integración ayuda cuando se trata de multiplicar las unidades en un problema. Por ejemplo, si un problema con tasa, ( distancia tiempo ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distancia}}{\text{tiempo}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ Una solución es integrar con respecto al tiempo. Esto significa multiplicar en el tiempo para anular el tiempo en ( distancia tiempo ) × tiempo {\displaystyle \left({\frac {texto{distancia}}{texto{tiempo}}\right)\times {\text{tiempo}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Esto se hace añadiendo pequeñas rebanadas del gráfico de la tasa juntos. Las rebanadas son cerca de cero en el ancho, pero la adición de ellos para siempre hace que se suman a un todo. Esto se llama una suma de Riemann.

Sumando estos trozos se obtiene la ecuación de la que la primera ecuación es la derivada. Las integrales son como una forma de sumar muchas cosas pequeñas a mano. Es como la suma, que consiste en sumar 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . La diferencia con la integración es que también tenemos que sumar todos los decimales y fracciones que hay en medio.

Otro momento en que la integración es útil es cuando se encuentra el volumen de un sólido. Puede sumar rebanadas bidimensionales (sin ancho) del sólido para siempre hasta que haya un ancho. Esto significa que el objeto tiene ahora tres dimensiones: las dos originales y un ancho. Esto da el volumen del objeto tridimensional descrito.

La integración consiste en encontrar la superficie s, dados a, b e y = f(x). La fórmula de la integral de a a b, graficada arriba, es:
Fórmula: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\x} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Qué es la integral (animación)

Métodos de integración

Antiderivada

Por el teorema fundamental del cálculo, la integral es la antiderivada.

Si tomamos la función 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ , por ejemplo, y la antidiferenciamos, podemos decir que una integral de 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ es x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ . Decimos una integral, no la integral, porque la antiderivada de una función no es única. Por ejemplo, x 2 + 17 {\displaystyle x^2}+17} $x^{2}+17$ también se diferencia a 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Por ello, al tomar la antiderivada hay que añadir una constante C. Esto se llama una integral indefinida. Esto es porque cuando se encuentra la derivada de una función, las constantes son iguales a 0, como en la función

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Nótese el 0: no podemos encontrarlo si sólo tenemos la derivada, por lo que la integral es

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\N-,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Ecuaciones simples

Una ecuación simple como y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ puede integrarse con respecto a x utilizando la siguiente técnica. Para integrar, se suma 1 a la potencia a la que se eleva x, y luego se divide x por el valor de esta nueva potencia. Por lo tanto, la integración de una ecuación normal sigue esta regla: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\\}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}{n+1}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

El d x {\displaystyle dx} $dx$ al final es lo que muestra que estamos integrando con respecto a x, es decir, a medida que x cambia. Esto puede verse como la inversa de la diferenciación. Sin embargo, hay una constante, C, que se añade cuando se integra. Esto se llama la constante de integración. Esto es necesario porque al diferenciar un entero se obtiene el cero, por lo tanto al integrar el cero (que se puede poner al final de cualquier integrando) se obtiene un entero, C. El valor de este entero se encontraría utilizando las condiciones dadas.

Las ecuaciones con más de un término se integran simplemente integrando cada término individual:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\},x^{2}+3x-2dx=int _{3}{3}+{3x^2}dx-int _{3}{2}{2}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integración con e y ln

Hay ciertas reglas para integrar usando e y el logaritmo natural. Lo más importante es que e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ es la integral de sí misma (con la adición de una constante de integración): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{,}^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

El logaritmo natural, ln, es útil cuando se integran ecuaciones con 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Éstas no pueden integrarse usando la fórmula anterior (sumar uno a la potencia, dividir por la potencia), porque sumar uno a la potencia produce 0, y una división por 0 no es posible. En su lugar, la integral de 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ es ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\\\}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

En una forma más general: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\\\\frac {f'(x)}{f(x)}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Las dos barras verticales indican un valor absoluto; se ignora el signo (positivo o negativo) de f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) . Esto se debe a que no hay valor para el logaritmo natural de los números negativos.

Propiedades

Suma de funciones

La integral de una suma de funciones es la suma de la integral de cada función. es decir,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\x=int \limits _{a}^{b}f(x)\x+int \limits _{a}^{b}g(x)\x} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

La prueba de esto es sencilla: La definición de una integral es un límite de sumas. Así,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\a,dx=lim _{n\a \infty }\a la suma _{i=1}^{n}[f(x_{i}^*})\a la derecha)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =lim _{n\\a \infty }suma _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\a suma _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {displaystyle =\lim _{n\\a \infty }suma _{i=1}^{n}f(x_{i}^*})+\lim _{n\a \infty }suma _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}. $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \_limits _{a}^{b}f(x)\\x+\int \_limits _{a}^{b}g(x)\x} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Nótese que ambas integrales tienen los mismos límites.

Constantes en la integración

Cuando una constante está en una integral con una función, la constante se puede quitar. Además, cuando una constante c no va acompañada de una función, su valor es c * x. Es decir,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \cf(x)\cx=cint \cf(x)\cx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ y

Esto sólo puede hacerse con una constante.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

La prueba es de nuevo por la definición de una integral.

Otros

Si a, b y c están en orden (es decir, uno después del otro en el eje x), la integral de f(x) del punto a al punto b más la integral de f(x) del punto b al c es igual a la integral del punto a al c. Es decir,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\\\}+\int \limits _{b}^{c}f(x)\}=\int \limits _{a}^{c}f(x)\} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ si están en orden. (Esto también es válido cuando a, b, c no están en orden si definimos ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\x=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\x} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\\N-,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Esto sigue el teorema fundamental del cálculo (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\x=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\x} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ De nuevo, siguiendo la FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es una integral?

R: Una integral es el espacio bajo la gráfica de una ecuación, también conocida como "el área bajo una curva". Es el reverso de una derivada y forma parte de una rama de las matemáticas llamada cálculo.

P: ¿Qué aspecto tiene el símbolo de integración?

R: El símbolo de la integración en cálculo se parece a una letra "S" alta: ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\\,}}.

P: ¿Cómo se relacionan las integrales con las derivadas?

R: Las integrales y las derivadas están relacionadas por el teorema fundamental del cálculo, que establece que una integral puede invertirse mediante una derivada, de forma similar a como una suma puede invertirse mediante una resta.

P: ¿Cuándo se puede utilizar la integración?

R: La integración puede utilizarse cuando se trata de multiplicar unidades en un problema o cuando se halla el volumen de un sólido. Sirve para sumar trozos bidimensionales hasta que haya anchura, lo que da al objeto tres dimensiones y su volumen.

P: ¿En qué se parece la integración a la suma?

R: La integración se parece a la suma en que suma muchas cosas pequeñas, pero con la integración tenemos que sumar también todos los decimales y fracciones intermedios.

P: ¿Qué significa suma de Riemann?

R: Una suma de Riemann se refiere a sumar pequeños trozos de la gráfica de la tasa hasta que se suman para formar una ecuación completa.