La antidiferenciación | el proceso de encontrar una función determinada en el cálculo

La antidiferenciación (también llamada integración indefinida) es el proceso de encontrar una función determinada en el cálculo. Es lo contrario de la diferenciación. Es una forma de procesar una función para dar otra función (o clase de funciones) llamada antiderivada. La antidiferenciación es como la integración, pero sin límites. Por eso se llama integración indefinida. Cuando se representan como letras simples, las antiderivadas suelen adoptar la forma de letras romanas mayúsculas, como F y {\displaystyle G} .

En general, una antiderivada se escribe en la forma {\displaystyle \int f(x)\ dx}, donde




 

Antidiferenciación simple

Una función de la forma {\displaystyle ax^{n}} se puede integrar (antidiferenciar) de la siguiente manera:

  • Suma 1 a la potencia n, por lo que {\displaystyle ax^{n}} es ahora {\displaystyle ax^{n+1}}.
  • Divida todo esto por la nueva potencia, por lo que ahora es {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}} .
  • Añada la constante {\displaystyle c} , por lo que ahora es {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} .

Esto puede mostrarse como:

{\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} (también conocida como regla de la potencia de la integral)

Cuando hay muchos términos, podemos integrar toda la función integrando sus componentes uno a uno:

{\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Esto sólo funciona si se añaden o quitan piezas).

Ejemplos

{\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

{\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

{\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Cambiar las fracciones y las raíces en potencias lo hace más fácil:

{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

{\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}
 

Integrar un paréntesis ("regla de la cadena")

Para integrar un paréntesis como {\displaystyle (2x+4)^{3}}, se necesita un método diferente. Se llama la regla de la cadena. Es como la integración simple, pero sólo funciona si la x en el paréntesis es lineal (tiene una potencia de 1), como x o {\displaystyle 5x} -pero no {\displaystyle x^{5}} o {\displaystyle x^{-7}}.

Por ejemplo, {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} se puede determinar en los siguientes pasos:

  • Sume 1 a la potencia {\displaystyle 3} , de modo que ahora es {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Divida todo esto por la nueva potencia para obtener {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Divida todo esto por la derivada del paréntesis {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}para obtener ( 2 x + 4 ) {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\cdot 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Añada la constante {\displaystyle c} para dar {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Ejemplos

∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\Ndx={\frac {(x+1)^{6}}{6\Nveces 1}+c={\frac {1}{6}(x+1)^{6}+cleft(\Nporque {\frac {d(x+1}{dx}}=1\Nderecha)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}\ dx=\int (7x+12)^-9}\N- dx={{frac {(7x+12)^8}}{8 veces 7}+c=-{frac {1}{56}(7x+12)^{-8}+c=-{frac {1}{56(7x+12)^{8}}+cleft(\Nporque {{frac {d(7x+12)}{dx}=7\N-derecha)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}


 

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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la antidiferenciación?


R: La antidiferenciación (también llamada integración indefinida) es el proceso de encontrar una función determinada en el cálculo. Es lo contrario de la diferenciación y consiste en transformar una función para dar otra función (o clase de funciones) llamada antiderivada.

P: ¿Cómo se representa?


R: Cuando se representan como letras simples, las antiderivadas suelen adoptar la forma de letras romanas mayúsculas, como F y G. En general, una antiderivada se escribe de la forma ∫f(x) dx.

P: ¿En qué consiste la antidiferenciación?


R: La antidiferenciación implica el tratamiento de una función para dar otra función (o clase de funciones) llamada antiderivada.

P: ¿En qué se diferencia de la integración?


R: La antidiferenciación se diferencia de la integración en que no implica límites, por lo que se denomina integración indefinida.

P: ¿Cuáles son algunos ejemplos de cómo se puede expresar la antidiferenciación?


R: Algunos ejemplos de cómo se puede expresar la antidiferenciación son F y G cuando se representan como letras simples, o ∫f(x) dx cuando se escribe en forma general.

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