Teorema fundamental del cálculo

Antecedentes

La definición de derivada, integral definida e integral indefinida (antiderivada) es necesaria para entender el teorema fundamental del cálculo. La derivada puede considerarse como la medida del cambio del valor de una variable con respecto a otra variable. La integral definida es el área neta bajo la curva de una función y sobre el eje x en un intervalo [a,b]. La integral indefinida (antiderivada) de una función f es otra función F cuya derivada es igual a la primera función f.

Historia

La historia del teorema fundamental del cálculo comienza ya en el siglo XVII con Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton. Leibniz consideraba la integración como la suma de infinitas áreas que se acumulan. Como tal, hace referencia al importante concepto de área en relación con la definición de la integral. Isaac Newton utilizó la geometría para describir la relación entre aceleración, velocidad y distancia. Esto es clave para entender la relación entre la derivada y la integral; la aceleración es la derivada de la velocidad, que es la derivada de la distancia, y la distancia es la antiderivada de la velocidad, que es la antiderivada de la aceleración. En 1823, Cauchy definió la integral definida por la definición de límite. También en el siglo XIX, Siméon Denis Poisson describió la integral definida como la diferencia de las antiderivadas [F(b) - F(a)] en los puntos extremos a y b, describiendo lo que ahora es el primer teorema fundamental del cálculo. No fue hasta la década de 1950 que todos estos conceptos se unieron para llamar al teorema el teorema fundamental del cálculo.

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

El segundo teorema fundamental del cálculo establece que si la función f es continua, entonces

d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} } {\mathrm {d} x}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)} {{mathrm {d} x}}int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)}

Esto significa que la derivada de la integral de una función f con respecto a la variable t sobre el intervalo [a,x] es igual a la función f con respecto a x. Esto describe la derivada y la integral como procesos inversos.

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

El primer teorema fundamental del cálculo establece que si la función f(x) es continua, entonces

∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}

Esto significa que la integral definida sobre un intervalo [a,b] es igual a la antiderivada evaluada en b menos la antiderivada evaluada en a. Esto da la relación entre la integral definida y la integral indefinida (antiderivada).