Teorema fundamental del cálculo: derivada, integral definida e indefinida
Descubre el Teorema Fundamental del Cálculo: relación entre derivada e integral, explicaciones claras, ejemplos resueltos y aplicaciones prácticas.
El teorema fundamental del cálculo es fundamental para el estudio del cálculo. Es el teorema que muestra la relación entre la derivada y la integral y entre la integral definida y la integral indefinida. Se divide en dos partes, el primer teorema fundamental del cálculo y el segundo teorema fundamental del cálculo.
Primera parte (relación derivada–integral)
Enunciado informal: Si f es continua en un intervalo [a,b] y definimos una función F por
F(x) = ∫ax f(t) dt,
entonces F es diferenciable en (a,b) y su derivada es F'(x) = f(x) para todo x en (a,b).
Interpretación: integrar una función desde un punto fijo hasta x y luego derivar devuelve la función original. En otras palabras, la operación de derivación “invierte” la de integración cuando la integrando es continua.
Consecuencias y casos prácticos:
- Si f es continua, la función definida por la integral acumulada F(x)=∫ax f(t) dt es continua y diferenciable, y F'(x)=f(x).
- Si el límite superior de la integral es una función g(x) en lugar de x, es decir H(x)=∫ag(x) f(t) dt, entonces por la regla de la cadena H'(x)=f(g(x))·g'(x).
- Si f presenta discontinuidades aisladas, la conclusión mantiene versiones más débiles: F es continua y derivable en los puntos donde f es continua; en teorías más avanzadas (p. ej. Lebesgue) la igualdad F'(x)=f(x) se cumple casi en todas partes.
Ejemplo: Sea G(x)=∫0x sin(t) dt. Por la primera parte del teorema, G'(x)=sin(x). Si ahora consideramos H(x)=∫0x² sin(t) dt, entonces H'(x)=sin(x²)·2x.
Segunda parte (Newton–Leibniz: cálculo de integrales definidas)
Enunciado informal: Si f es continua en [a,b] y F es cualquier antiderivada de f en [a,b] (es decir, F'(x)=f(x)), entonces
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a).
Esta parte es la que permite calcular integrales definidas de forma práctica: basta encontrar una antiderivada (una primitiva) F y evaluar la diferencia F(b) − F(a). Por eso en cálculo elemental las tablas de integrales y técnicas de integración (sustitución, partes, fracciones parciales, etc.) son tan útiles.
Ejemplo: Calcular ∫02 3x² dx. Una antiderivada de 3x² es F(x)=x³. Entonces
∫02 3x² dx = F(2) − F(0) = 2³ − 0 = 8.
Integral indefinida y relación con antiderivadas
La integral indefinida de f se escribe ∫ f(x) dx y representa la familia de todas las antiderivadas de f. Se expresa como
∫ f(x) dx = F(x) + C,
donde F'(x)=f(x) y C es una constante arbitraria.
La segunda parte del teorema fundamental explica por qué las antiderivadas sirven para calcular integrales definidas: la integral definida entre a y b es simplemente la diferencia entre dos miembros de esa familia (evaluados en b y a), por lo que la constante se cancela.
Condiciones y generalizaciones
- Condición clásica: continuidad de f en [a,b] garantiza las afirmaciones de ambas partes.
- Generalización (Riemann): si f es integrable en el sentido de Riemann, la función F(x)=∫ax f(t) dt es continua en [a,b] y diferenciable en los puntos donde f es continua.
- Generalización (Lebesgue): si f es integrable en el sentido de Lebesgue, la función F es absolutamente continua y su derivada existe y coincide con f casi en todas partes.
Consejos prácticos para usar el teorema
- Para calcular ∫ab f(x) dx: busca una primitiva F de f y evalúa F(b)−F(a).
- Si la integral tiene un límite superior que es una función g(x), usa la regla de la cadena para derivar la integral acumulada.
- Si f no es continua en todo el intervalo, identifica los puntos problemáticos y aplica definiciones de integral impropia o considera integrabilidad en sentido Lebesgue según el contexto.
- Utiliza técnicas de integración (sustitución, partes) para encontrar antiderivadas cuando no son evidentes.
Breve nota histórica
El teorema fundamental del cálculo enlaza las ideas de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz sobre la relación entre derivación e integración; por eso a veces se le llama teorema de Newton–Leibniz.
En resumen, el teorema fundamental del cálculo conecta la operación de sumar (integrar) con la de medir la tasa de cambio (derivar). Gracias a él, el cálculo de áreas y acumulados se reduce a encontrar antiderivadas y evaluarlas en los extremos del intervalo.
Antecedentes
La definición de derivada, integral definida e integral indefinida (antiderivada) es necesaria para entender el teorema fundamental del cálculo. La derivada puede considerarse como la medida del cambio del valor de una variable con respecto a otra variable. La integral definida es el área neta bajo la curva de una función y sobre el eje x en un intervalo [a,b]. La integral indefinida (antiderivada) de una función f es otra función F cuya derivada es igual a la primera función f.
Historia
La historia del teorema fundamental del cálculo comienza ya en el siglo XVII con Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton. Leibniz consideraba la integración como la suma de infinitas áreas que se acumulan. Como tal, hace referencia al importante concepto de área en relación con la definición de la integral. Isaac Newton utilizó la geometría para describir la relación entre aceleración, velocidad y distancia. Esto es clave para entender la relación entre la derivada y la integral; la aceleración es la derivada de la velocidad, que es la derivada de la distancia, y la distancia es la antiderivada de la velocidad, que es la antiderivada de la aceleración. En 1823, Cauchy definió la integral definida por la definición de límite. También en el siglo XIX, Siméon Denis Poisson describió la integral definida como la diferencia de las antiderivadas [F(b) - F(a)] en los puntos extremos a y b, describiendo lo que ahora es el primer teorema fundamental del cálculo. No fue hasta la década de 1950 que todos estos conceptos se unieron para llamar al teorema el teorema fundamental del cálculo.
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
El segundo teorema fundamental del cálculo establece que si la función f es continua, entonces
d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} } {\mathrm {d} x}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)} {{mathrm {d} x}}int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)} 
Esto significa que la derivada de la integral de una función f con respecto a la variable t sobre el intervalo [a,x] es igual a la función f con respecto a x. Esto describe la derivada y la integral como procesos inversos.
Primer Teorema Fundamental del Cálculo
El primer teorema fundamental del cálculo establece que si la función f(x) es continua, entonces
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)} 
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Esto significa que la integral definida sobre un intervalo [a,b] es igual a la antiderivada evaluada en b menos la antiderivada evaluada en a. Esto da la relación entre la integral definida y la integral indefinida (antiderivada).
1. ↑ "Integrales definidas y área negativa". Khan Academy. 2015. 1 de junio de 2015 <https://www.khanacademy.org/math/integral-calculus/indefinite-definite-integrals/definite_integrals/v/definite-integrals-and-negative-area>
2. ↑ Bressoud, D. (2011). "Reflexiones históricas sobre la enseñanza del teorema fundamental del cálculo integral". The American Mathematical Monthly, 118(2), 99-115.
3. ↑ Larson, R., & Edwards, B. (2013). Cálculo de una sola variable. Boston: Brooks/Cole, Cengage Learning, pg. 284.
4. ↑ Larson, R., & Edwards, B. (2013). Cálculo de una sola variable. Boston: Brooks/Cole, Cengage Learning, pg. 278.
Preguntas y respuestas
P: ¿Cuál es el teorema fundamental del cálculo?
R: El teorema fundamental del cálculo es un concepto importante del cálculo que explica la relación entre la derivada y la integral, así como la relación entre la integral definida y la integral indefinida.
P: ¿Por qué el teorema fundamental del cálculo es esencial para el estudio del cálculo?
R: El teorema fundamental del cálculo es fundamental para el estudio del cálculo porque proporciona una base para calcular integrales y encontrar soluciones a numerosos problemas matemáticos.
P: ¿Cómo se descompone el teorema fundamental del cálculo?
R: El teorema fundamental del cálculo se divide en dos partes, el primer teorema fundamental del cálculo y el segundo teorema fundamental del cálculo.
P: ¿Qué explica el primer teorema fundamental del cálculo?
R: El primer teorema fundamental del cálculo explica la relación entre la derivada y la integral. Establece que si f(x) es continua en [a, b], entonces la función F(x) = ∫a^x f(t) dt es diferenciable en (a, b), y F'(x) = f(x).
P: ¿Qué explica el segundo teorema fundamental del cálculo?
R: El segundo teorema fundamental del cálculo explica la relación entre la integral definida y la integral indefinida. Establece que si f(x) es continua en [a, b], entonces la integral definida de f(x) de a a b es igual a F(b) - F(a), donde F(x) es una antiderivada de f(x).
P: ¿Cuál es el significado del primer teorema fundamental del cálculo?
R: El primer teorema fundamental del cálculo es importante porque nos permite evaluar integrales definidas encontrando antiderivadas de funciones.
P: ¿Cómo se utiliza el teorema fundamental del cálculo en aplicaciones reales?
R: El teorema fundamental del cálculo tiene muchas aplicaciones en el mundo real, incluyendo la física, la ingeniería y la economía, donde se utiliza para calcular áreas, volúmenes, velocidades y otras variables importantes.
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