Derivada parcial: definición, notación y ejemplos en funciones multivariables

En el cálculo, un área fundamental de las matemáticas, la derivada parcial de una función multivariable mide cómo cambia la función cuando varía una sola variable indicada, manteniendo las demás constantes. Es decir, en lugar de diferenciar respecto a todas las variables al mismo tiempo, la derivada parcial toma la derivada de una variable específica mientras trata a las restantes como constantes. Esta herramienta permite estudiar la dependencia de la función respecto a cada variable por separado y es esencial en temas como optimización, ecuaciones en derivadas parciales y modelos físicos.

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}} ${\frac {\partial f}{\partial x}}$

La notación más común para la derivada parcial de f respecto a x es ∂f/∂x (también aparece f_x o D_x f). Análogamente, la derivada parcial respecto a y se escribe ∂f/∂y o f_y. Aunque la idea se aplica sobre todo a funciones de dos o más variables (por ejemplo f(x,y) o f(x,y,z,...)), el concepto es análogo si hay más de dos variables.

Definición formal

Si f(x,y,...) es una función de varias variables, la derivada parcial de f respecto a x en el punto (a,b,...) se define como el límite

∂f/∂x (a,b,...) = lim_{h→0} [f(a+h,b,...) − f(a,b,...)] / h,

si este límite existe. En la definición se incrementa solo la coordenada x en h y las demás coordenadas se mantienen fijas en sus valores en el punto.

Ejemplos sencillos

Ejemplo 1. Sea f(x,y) = x² y + sin(y).

Derivada parcial respecto a x: ∂f/∂x = 2x y (tratando y como constante).
Derivada parcial respecto a y: ∂f/∂y = x² + cos(y) (tratando x como constante).

Ejemplo 2. Para f(x,y,z) = e^{xz} · y, la derivada parcial respecto a z es ∂f/∂z = x e^{xz} y, porque al derivar respecto a z se aplica la regla de la cadena sobre e^{xz} y se considera x y y constantes.

Derivadas parciales de orden superior y derivadas mixtas

Al igual que en una variable, podemos tomar derivadas parciales más de una vez:

Segunda derivada respecto a x: ∂²f/∂x².
Derivada mixta: ∂²f/∂x∂y (primero respecto a y y luego respecto a x, o viceversa).

Si las segundas derivadas parciales son continuas en una vecindad del punto, el teorema de Clairaut (o de Schwarz) garantiza que las derivadas mixtas son iguales: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x.

Gradiente, plano tangente y derivada direccional

El gradiente de f, denotado ∇f, es el vector formado por todas las derivadas parciales: para f(x,y),

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y).

El gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y su magnitud da la tasa de cambio en esa dirección. La derivada direccional en la dirección de un vector unitario u es el producto escalar:

D_u f = ∇f · u.

El plano tangente a la superficie z = f(x,y) en el punto (a,b,f(a,b)) viene dado por la linealización:

L(x,y) = f(a,b) + (∂f/∂x)(a,b)·(x−a) + (∂f/∂y)(a,b)·(y−b).

Regla de la cadena para funciones compuestas

Si z = f(x,y) y x = x(t), y = y(t), entonces la derivada de z respecto a t se obtiene mediante la regla de la cadena:

dz/dt = (∂f/∂x)·(dx/dt) + (∂f/∂y)·(dy/dt).

Más generalmente, si f depende de varias variables que a su vez dependen de otras, se suman las contribuciones de cada ruta de dependencia multiplicando las derivadas parciales por las derivadas internas correspondientes.

Aplicaciones

Optimización multivariable: para encontrar extremos se buscan puntos críticos donde todas las derivadas parciales se anulan (∇f = 0) y se analizan las segundas derivadas.
Ecuaciones en derivadas parciales (PDEs): muchas leyes físicas (ondas, calor, mecánica cuántica) se expresan mediante relaciones entre derivadas parciales.
Modelado: sensibilidad de resultados respecto a parámetros en economía, ingeniería y ciencias.
Diferenciación implícita: al derivar ecuaciones que relacionan varias variables, se usan derivadas parciales para obtener tasas de cambio parciales.

Propiedades útiles

Linealidad: ∂/∂x (af + bg) = a·∂f/∂x + b·∂g/∂x para constantes a,b.
Se aplican las reglas de producto, cociente y cadena análogas a las de una variable, manteniendo las demás variables constantes.
Si f no depende explícitamente de una variable, su derivada parcial respecto a esa variable es cero.

En resumen, las derivadas parciales permiten descomponer el efecto de cada variable en el comportamiento de una función multivariable. Comprender su cálculo y sus propiedades es esencial para el análisis de superficies, optimización y muchas aplicaciones científicas y de ingeniería.

Ejemplos

Si tenemos una función f ( x , y ) = x 2 + y {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y} $f(x,y)=x^{2}+y$ , entonces hay varias derivadas parciales de f(x, y) que son todas igualmente válidas. Por ejemplo,

∂ ∂ y [ f ( x , y ) ] = 1 {\displaystyle {\frac {{parcial}{parcial y}}[f(x,y)]=1} ${\frac {\partial }{\partial y}}[f(x,y)]=1$

O bien, podemos hacer lo siguiente:

∂ ∂ x [ f ( x , y ) ] = 2 x {\displaystyle {\frac {\partial }{partial x}}[f(x,y)]=2x} ${\frac {\partial }{\partial x}}[f(x,y)]=2x$

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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es una derivada parcial?

R: Una derivada parcial es la derivada de una variable nombrada en una función, en la que todas las demás variables no nombradas se mantienen constantes.

P: ¿Cómo se suele anotar la derivada parcial?

R: La derivada parcial de una función f con respecto a la variable x se suele notar como {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}, f_x, o \partial _{x}f.

P: ¿Se toma siempre la derivada parcial en una función multivariable?

R: Normalmente, aunque no siempre, la derivada parcial se toma en una función multivariable (una función que toma dos o más variables como entrada).

P: ¿Qué significa diferenciar ciertas variables indicadas de una función?

R: Diferenciar ciertas variables indicadas de una función significa tomar las derivadas de esas variables concretas manteniendo constantes todas las demás variables.

P: ¿Qué tipo de cálculo implica este concepto?

R: Este concepto implica el cálculo multivariante, que estudia la tasa de cambio en funciones con múltiples variables.

P: ¿Existen otras notaciones válidas para la derivada parcial además de las mencionadas en el texto?

R: Sí, puede haber otras notaciones válidas para la derivada parcial además de las mencionadas en el texto.