Método de Newton | una forma de encontrar los ceros reales de una función

El método de Newton proporciona una forma de encontrar los ceros reales de una función. Este algoritmo se denomina a veces método Newton-Raphson, llamado así por Sir Isaac Newton y Joseph Raphson.

El método utiliza la derivada de la función para encontrar sus raíces. Hay que hacer un "valor adivinado" inicial para la localización del cero. A partir de este valor, se calcula una nueva conjetura mediante esta fórmula:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}} $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Aquí x_n es la conjetura inicial y x_n+1 es la siguiente conjetura. La función f (cuyo cero se está resolviendo) tiene la derivada f'.

Aplicando repetidamente esta fórmula a las conjeturas generadas (es decir, ajustando el valor de x_n a la salida de la fórmula y volviendo a calcular), el valor de las conjeturas se acercará a un cero de la función.

El método de Newton puede explicarse gráficamente observando las intersecciones de las líneas tangentes con el eje x. Primero se calcula una recta tangente a la f en x_n . A continuación, se encuentra la intersección entre esta línea tangente y el eje x. Finalmente, la posición x de esta intersección se registra como la siguiente conjetura, x_n+1 .

La función (azul) se está utilizando para calcular la pendiente de una línea tangente (roja) en xn .

Problemas con el método de Newton

El método de Newton puede encontrar una solución rápidamente si el valor de la conjetura comienza suficientemente cerca de la raíz deseada. Sin embargo, cuando el valor de la conjetura inicial no está cerca, y dependiendo de la función, el método de Newton puede encontrar la respuesta lentamente o no encontrarla.

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Teorema de Kantorovich (Afirmación sobre la convergencia del método de Newton, encontrada por Leonid Kantorovich)

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es el método de Newton?

R: El método de Newton es un algoritmo para encontrar los ceros reales de una función. Utiliza la derivada de la función para calcular sus raíces, y requiere un valor inicial adivinado para la localización del cero.

P: ¿Quién desarrolló este método?

R: El método fue desarrollado por Sir Isaac Newton y Joseph Raphson, de ahí que a veces se le llame método Newton-Raphson.

P: ¿Cómo funciona este algoritmo?

R: Este algoritmo funciona aplicando repetidamente una fórmula que toma un valor de conjetura inicial (xn) y calcula una nueva conjetura (xn+1). Al repetir este proceso, las conjeturas se acercarán a un cero de la función.

P: ¿Qué se necesita para utilizar este algoritmo?

R: Para utilizar este algoritmo, debe tener un "valor adivinado" inicial para la ubicación del cero, así como conocimientos sobre la derivada de su función dada.

P: ¿Cómo podemos explicar gráficamente el método de Newton?

R: Podemos explicar el Método de Newton gráficamente observando las intersecciones entre las líneas tangentes con el eje x. Primero se calcula una recta tangente a f en xn. A continuación, encontramos la intersección entre esta recta tangente y el eje x y registramos su posición x como nuestra siguiente conjetura: xn+1.

P: ¿Existe alguna limitación al utilizar el método de Newton?

R: Sí, si el valor de la conjetura inicial está demasiado lejos de la raíz real, entonces puede tardar más tiempo o incluso no converger hacia la raíz debido a las oscilaciones en torno a ella o a la divergencia con respecto a la misma.