Método de Newton (Newton–Raphson) para hallar raíces de funciones
Procedimiento iterativo que emplea la derivada de una función para aproximar sus ceros reales mediante la fórmula x_{n+1}=x_n - f(x_n)/f'(x_n); incluye pasos y explicación geométrica.
El algoritmo conocido como método de Newton o Newton–Raphson, atribuido a Isaac Newton, se utiliza para aproximar los ceros reales de una función.
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Método
Partiendo de una conjetura inicial x0, se aplica de forma iterativa la relación x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n). En cada paso se evalúan la función y su derivada.
Pasos
- Elegir una aproximación inicial x0.
- Calcular x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n).
- Repetir hasta alcanzar la precisión deseada o hasta que deje de mejorar la aproximación.
Interpretación geométrica
Cada iteración equivale a trazar la tangente a la curva en x_n y tomar su intersección con el eje x como nueva aproximación x_{n+1}. La convergencia suele ser rápida si la aproximación inicial está cerca de la raíz y si la derivada no se anula en el entorno.
Problemas con el método de Newton
El método de Newton puede encontrar una solución rápidamente si el valor de la conjetura comienza suficientemente cerca de la raíz deseada. Sin embargo, cuando el valor de la conjetura inicial no está cerca, y dependiendo de la función, el método de Newton puede encontrar la respuesta lentamente o no encontrarla.
Páginas relacionadas
- Teorema de Kantorovich (Afirmación sobre la convergencia del método de Newton, encontrada por Leonid Kantorovich)
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es el método de Newton?
R: El método de Newton es un algoritmo para encontrar los ceros reales de una función. Utiliza la derivada de la función para calcular sus raíces, y requiere un valor inicial adivinado para la localización del cero.
P: ¿Quién desarrolló este método?
R: El método fue desarrollado por Sir Isaac Newton y Joseph Raphson, de ahí que a veces se le llame método Newton-Raphson.
P: ¿Cómo funciona este algoritmo?
R: Este algoritmo funciona aplicando repetidamente una fórmula que toma un valor de conjetura inicial (xn) y calcula una nueva conjetura (xn+1). Al repetir este proceso, las conjeturas se acercarán a un cero de la función.
P: ¿Qué se necesita para utilizar este algoritmo?
R: Para utilizar este algoritmo, debe tener un "valor adivinado" inicial para la ubicación del cero, así como conocimientos sobre la derivada de su función dada.
P: ¿Cómo podemos explicar gráficamente el método de Newton?
R: Podemos explicar el Método de Newton gráficamente observando las intersecciones entre las líneas tangentes con el eje x. Primero se calcula una recta tangente a f en xn. A continuación, encontramos la intersección entre esta recta tangente y el eje x y registramos su posición x como nuestra siguiente conjetura: xn+1.
P: ¿Existe alguna limitación al utilizar el método de Newton?
R: Sí, si el valor de la conjetura inicial está demasiado lejos de la raíz real, entonces puede tardar más tiempo o incluso no converger hacia la raíz debido a las oscilaciones en torno a ella o a la divergencia con respecto a la misma.
Autor
AlegsaOnline.com Método de Newton (Newton–Raphson) para hallar raíces de funciones Leandro Alegsa
URL: https://es.alegsaonline.com/art/69826