Determinante (matemática) | matriz cuadrada es un escalar que indica cómo se comporta esa matriz

El determinante de una matriz cuadrada es un escalar (un número) que indica cómo se comporta esa matriz. Se puede calcular a partir de los números de la matriz.

El determinante de la matriz A {\displaystyle A} $A$ se escribe como det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ o | A | {\displaystyle |A|} $|A|$ en una fórmula. A veces, en lugar de det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}right)} $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ y | [ a b c d ] | {\displaystyle \left|{{begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right|} $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ , se escribe simplemente det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}} $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ y | a b c d | {\displaystyle \left|\begin{matrix}a&b\c&d\end{matrix}\right|} $\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|$ .

Interpretación

Hay varias formas de entender lo que el determinante dice sobre una matriz.

Interpretación geométrica

Una matriz n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ puede verse como la descripción de un mapa lineal en n {\displaystyle n} dimensiones. En este caso, el determinante indica el factor por el que esta matriz escala (crece o se encoge) una región del espacio n {\displaystyle n} -dimensional.

$2\times 2$ Por ejemplo, una matriz A de 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} {\displaystyle A} $A$ , vista como un mapa lineal, convertirá un cuadrado en el espacio bidimensional en un paralelogramo. El área de ese paralelogramo será det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ veces mayor que el área del cuadrado.

$B$ Del mismo modo, una matriz B {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ , vista como un mapa lineal, convertirá un cubo en el espacio tridimensional en un paralelepípedo. El volumen de ese paralelepípedo será det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ veces mayor que el volumen del cubo.

El determinante puede ser negativo o cero. Un mapa lineal puede estirar y escalar un volumen, pero también puede reflejarlo sobre un eje. Cuando esto ocurre, el signo del determinante cambia de positivo a negativo, o de negativo a positivo. Un determinante negativo significa que el volumen se reflejó sobre un número impar de ejes.

Interpretación del "sistema de ecuaciones"

Se puede pensar que una matriz describe un sistema de ecuaciones lineales. Ese sistema tiene una solución única no trivial exactamente cuando el determinante es distinto de 0 (no trivial significa que la solución no es simplemente todo ceros).

Si el determinante es cero, entonces no hay una solución única no trivial, o hay infinitas.

Para una matriz de 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&dend{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ , el determinante es el área de un paralelogramo. (El área es igual a a d - b c {\displaystyle ad-bc} $ad-bc$ .)

Matrices singulares

Una matriz tiene una matriz inversa exactamente cuando el determinante es distinto de 0. Por esta razón, una matriz con un determinante distinto de cero se llama invertible. Si el determinante es 0, la matriz se llama no invertible o singular.

Geométricamente, se puede pensar que una matriz singular "aplana" el paralelepípedo en un paralelogramo, o un paralelogramo en una línea. Entonces el volumen o el área es 0, lo que significa que no hay ningún mapa lineal que devuelva la antigua forma.

Calcular un determinante

Hay varias formas de calcular un determinante.

Fórmulas para matrices pequeñas

Para las matrices de 1 × 1 {estilos de visualización 1\necesidad de 1} $1\times 1$ y 2 × 2 {estilos de visualización 2\necesidad de 2} $2\times 2$ , se mantienen las siguientes fórmulas sencillas:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\a6}=a,\a6}=qquad $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

Para las matrices de 3 × 3 {desde 3 veces} $3\times 3$ , la fórmula es:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det{comenzar{bmatriz}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

Se puede utilizar la regla de Sarrus (ver imagen) para recordar esta fórmula.

Expansión del cofactor

Para matrices más grandes, el determinante es más difícil de calcular. Una forma de hacerlo se llama expansión de cofactores.

Supongamos que tenemos una matriz A de n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ {\displaystyle A} $A$ . En primer lugar, elegimos cualquier fila o columna de la matriz. $a_{ij}$ Para cada número a i j {\displaystyle a_{ij}} en esa fila o columna, calculamos algo llamado su cofactor C i j {\displaystyle C_{ij}}. $C_{ij}$ . Entonces det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\nsuma a_{ij}C_{ij} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Para calcular dicho cofactor C i j {\displaystyle C_{ij}}, borramos la fila i {\displaystyle i} y la columna j {\displaystyle j} . $C_{ij}$ , borramos la fila i {\displaystyle i} $i$ y la columna j {\displaystyle j} $j$ de la matriz A {\displaystyle A} $A$ . Esto nos da una matriz más pequeña ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\Nveces (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ . La llamamos M {\displaystyle M} $M$ . $C_{ij}$ El cofactor C i j {\displaystyle C_{ij}} es entonces igual a ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

He aquí un ejemplo de expansión cofactorial de la columna izquierda de una matriz de 3 × 3 {desde 3 hasta 3} $3\times 3$ :

det [ 1 3 2 2 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle} {{comenzar}{alinear}{detener}{color {rojo}1}&3&2{color {rojo}2}&1{color {rojo}0}&3&4{finalizar{bmatriz}}= {color {rojo}1}punto C_{11}+{color {rojo}2}punto C_{21}+{color {rojo}0}punto C_{31}&=left({color {rojo}1}punto (-1)^{1+1}det {{comenzar{bmatriz}1&1\3&4\\\Nfinalización de la matriz}\Nderecha)+Izquierda({color {rojo}2\Npunto (-1)^{2+1}det {\Ncomienza la matriz}3&2\N3&4\Nfinalización de la matriz}\Nderecha)+Izquierda({color {rojo}0\Npunto (-1)^3+1\Ndet {\Ncomienza la matriz}3&2\\1&1\\a fin{bmatriz}}de la derecha)\a=({color{rojo}1\a}punto 1)+({color{rojo}2\a}punto (-1)\a}punto 6)+{color{rojo}0}\a=11.\{{end}}} ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

$a_{ij}$ $C_{ij}$ Como se ha ilustrado anteriormente, se puede simplificar el cálculo del determinante eligiendo una fila o columna que tenga muchos ceros; si a i j {{displaystyle a_{ij}} es 0, entonces se puede omitir el cálculo de C i j {{displaystyle C_{ij}} por completo.

La fórmula del determinante de 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ es una suma de productos. Esos productos van a lo largo de las diagonales que "envuelven" a la parte superior de la matriz. Este truco se llama la regla de Sarrus.

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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es un determinante?

R: Un determinante es un escalar (un número) que indica cómo se comporta una matriz cuadrada.

P: ¿Cómo se puede calcular el determinante de una matriz?

R: El determinante de la matriz se puede calcular a partir de los números de la matriz.

P: ¿Cómo se escribe el determinante de una matriz?

R: El determinante de una matriz se escribe como det(A) o |A| en una fórmula.

P: ¿Hay otras formas de escribir el determinante de una matriz?

R: Sí, en lugar de det([a b c d]) y |[a b c d]|, se puede escribir simplemente det[a b c d] y |[a b c d]|.

P: ¿Qué significa cuando decimos "escalar"?

R: Un escalar es un número o cantidad individual que tiene magnitud pero no tiene dirección asociada.

P: ¿Qué son las matrices cuadradas?

R: Las matrices cuadradas son matrices con un número igual de filas y columnas, como las matrices de 2x2 o 3x3.