AlegsaOnline.com

Determinante de matriz cuadrada: qué es, cómo calcularlo y propiedades

Aprende qué es el determinante de una matriz cuadrada, cómo calcularlo paso a paso y sus propiedades esenciales con ejemplos prácticos y métodos eficaces.

Autor: Leandro Alegsa

04-03-2026

El determinante de una matriz cuadrada es un escalar (un número) que indica cómo se comporta esa matriz. Se puede calcular a partir de los números de la matriz.

El determinante de la matriz A {\displaystyle A} $A$ se escribe como det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ o | A | {\displaystyle |A|} $|A|$ en una fórmula. A veces, en lugar de det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}right)} $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ y | [ a b c d ] | {\displaystyle \left|{{begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right|} $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ , se escribe simplemente det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}} $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ y | a b c d | {\displaystyle \left|\begin{matrix}a&b\c&d\end{matrix}\right|} $\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|$ .

Cómo calcularlo

Existen varios métodos según el tamaño de la matriz:

Casos pequeños (fáciles de recordar)

Matriz 2×2. Para A = [a b; c d], el determinante es det(A) = ad − bc. Este es el caso más sencillo y aparece frecuentemente en ejemplos básicos.
Matriz 3×3 (Regla de Sarrus). Para A = [a b c; d e f; g h i], la regla de Sarrus da: det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh. Es práctico para cálculos manuales rápidos en 3×3.

Métodos generales

Desarrollo por cofactores (expansión por filas o columnas). Para una matriz n×n, se toma una fila (o columna) y se suma cada entrada multiplicada por su cofactor: det(A) = Σ_j (−1)^{i+j} a_{ij} det(M_{ij}), donde M_{ij} es la submatriz que resulta al eliminar la fila i y la columna j. Es útil conceptualmente y para matrices de tamaño pequeño o con ceros que simplifican el cálculo.
Eliminación de Gauss / factorización LU. Reduce la matriz a una forma triangular mediante operaciones elementales. El determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos diagonales, y hay que tener en cuenta el signo si se realizan intercambios de filas (cada intercambio cambia el signo del determinante). Este método es eficiente para cálculos numéricos y matrices grandes.
Propiedades espectrales. Si conoces los valores propios (autovalores) λ1, …, λn de A, entonces det(A) = λ1·λ2·…·λn. Esto se usa en teoría espectral y en aplicaciones donde se calculan eigenvalores.

Propiedades importantes

Multiplicatividad. det(AB) = det(A) det(B) para matrices cuadradas del mismo tamaño.
Determinante de la transpuesta. det(A^T) = det(A).
Determinante de una matriz triangular. Si A es triangular (superior o inferior), det(A) = producto de los elementos de la diagonal principal.
Intercambio de filas. Al intercambiar dos filas de A se cambia el signo del determinante: intercambio → det cambia de signo.
Multiplicar una fila por un escalar. Si multiplicas una fila por k, el determinante se multiplica por k. En general, si multiplicas toda la matriz por k (cada fila), det(kA) = k^n det(A) para una matriz n×n.
Suma de una fila múltiplo de otra. Sumar a una fila un múltiplo de otra fila no cambia el determinante (operación elemental tipo 3).
Determinante nulo y singularidad. det(A) = 0 si y solo si A no es invertible (A es singular).

Interpretación geométrica y aplicaciones

Escalado de volúmenes. El valor absoluto del determinante de una transformación lineal representa el factor de escala del volumen (o área, en 2D) que aplica la transformación a regiones del espacio. Si |det(A)| = 2, la transformación dobla los volúmenes.
Orientación. El signo del determinante indica si la transformación preserva la orientación (det > 0) o la invierte (det < 0).
Usos prácticos. El determinante aparece en la resolución de sistemas lineales, cálculo de inversas (A^{-1} = adj(A)/det(A) si det(A) ≠ 0), en teoría de estabilidad, cambios de variable en integrales múltiples (Jacobiano) y en físicas aplicadas.

Ejemplos

Ejemplo 2×2. Para A = [2 3; 1 4], det(A) = 2·4 − 3·1 = 8 − 3 = 5.
Ejemplo 3×3. Para A = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0], usando Sarrus o expansión por cofactores, obtenemos det(A) = 1·1·0 + 2·4·5 + 3·0·6 − 3·1·5 − 2·0·0 − 1·4·6 = 0 + 40 + 0 − 15 − 0 − 24 = 1.

Consejos para el cálculo

Antes de aplicar la expansión por cofactores, busca filas o columnas con ceros para simplificar el trabajo.
Para matrices grandes, usa eliminación gaussiana y cuenta los intercambios de fila para ajustar el signo final.
En cálculos numéricos, ten en cuenta errores de redondeo: valores muy pequeños del determinante pueden indicar que la matriz es casi singular.

El determinante es, por tanto, una herramienta fundamental que conecta álgebra lineal, geometría y aplicaciones prácticas en ingeniería y ciencias. Comprender sus propiedades y métodos de cálculo facilita el trabajo con transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones.

Interpretación

Hay varias formas de entender lo que el determinante dice sobre una matriz.

Interpretación geométrica

Una matriz n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ puede verse como la descripción de un mapa lineal en n {\displaystyle n} dimensiones. En este caso, el determinante indica el factor por el que esta matriz escala (crece o se encoge) una región del espacio n {\displaystyle n} -dimensional.

$2\times 2$ Por ejemplo, una matriz A de 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} {\displaystyle A} $A$ , vista como un mapa lineal, convertirá un cuadrado en el espacio bidimensional en un paralelogramo. El área de ese paralelogramo será det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ veces mayor que el área del cuadrado.

$B$ Del mismo modo, una matriz B {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ , vista como un mapa lineal, convertirá un cubo en el espacio tridimensional en un paralelepípedo. El volumen de ese paralelepípedo será det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ veces mayor que el volumen del cubo.

El determinante puede ser negativo o cero. Un mapa lineal puede estirar y escalar un volumen, pero también puede reflejarlo sobre un eje. Cuando esto ocurre, el signo del determinante cambia de positivo a negativo, o de negativo a positivo. Un determinante negativo significa que el volumen se reflejó sobre un número impar de ejes.

Interpretación del "sistema de ecuaciones"

Se puede pensar que una matriz describe un sistema de ecuaciones lineales. Ese sistema tiene una solución única no trivial exactamente cuando el determinante es distinto de 0 (no trivial significa que la solución no es simplemente todo ceros).

Si el determinante es cero, entonces no hay una solución única no trivial, o hay infinitas.

Matrices singulares

Una matriz tiene una matriz inversa exactamente cuando el determinante es distinto de 0. Por esta razón, una matriz con un determinante distinto de cero se llama invertible. Si el determinante es 0, la matriz se llama no invertible o singular.

Geométricamente, se puede pensar que una matriz singular "aplana" el paralelepípedo en un paralelogramo, o un paralelogramo en una línea. Entonces el volumen o el área es 0, lo que significa que no hay ningún mapa lineal que devuelva la antigua forma.

Calcular un determinante

Hay varias formas de calcular un determinante.

Fórmulas para matrices pequeñas

Para las matrices de 1 × 1 {estilos de visualización 1\necesidad de 1} $1\times 1$ y 2 × 2 {estilos de visualización 2\necesidad de 2} $2\times 2$ , se mantienen las siguientes fórmulas sencillas:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\a6}=a,\a6}=qquad $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

Para las matrices de 3 × 3 {desde 3 veces} $3\times 3$ , la fórmula es:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det{comenzar{bmatriz}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

Se puede utilizar la regla de Sarrus (ver imagen) para recordar esta fórmula.

Expansión del cofactor

Para matrices más grandes, el determinante es más difícil de calcular. Una forma de hacerlo se llama expansión de cofactores.

Supongamos que tenemos una matriz A de n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ {\displaystyle A} $A$ . En primer lugar, elegimos cualquier fila o columna de la matriz. $a_{ij}$ Para cada número a i j {\displaystyle a_{ij}} en esa fila o columna, calculamos algo llamado su cofactor C i j {\displaystyle C_{ij}}. $C_{ij}$ . Entonces det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\nsuma a_{ij}C_{ij} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Para calcular dicho cofactor C i j {\displaystyle C_{ij}}, borramos la fila i {\displaystyle i} y la columna j {\displaystyle j} . $C_{ij}$ , borramos la fila i {\displaystyle i} $i$ y la columna j {\displaystyle j} $j$ de la matriz A {\displaystyle A} $A$ . Esto nos da una matriz más pequeña ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\Nveces (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ . La llamamos M {\displaystyle M} $M$ . $C_{ij}$ El cofactor C i j {\displaystyle C_{ij}} es entonces igual a ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

He aquí un ejemplo de expansión cofactorial de la columna izquierda de una matriz de 3 × 3 {desde 3 hasta 3} $3\times 3$ :

det [ 1 3 2 2 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle} {{comenzar}{alinear}{detener}{color {rojo}1}&3&2{color {rojo}2}&1{color {rojo}0}&3&4{finalizar{bmatriz}}= {color {rojo}1}punto C_{11}+{color {rojo}2}punto C_{21}+{color {rojo}0}punto C_{31}&=left({color {rojo}1}punto (-1)^{1+1}det {{comenzar{bmatriz}1&1\3&4\\\Nfinalización de la matriz}\Nderecha)+Izquierda({color {rojo}2\Npunto (-1)^{2+1}det {\Ncomienza la matriz}3&2\N3&4\Nfinalización de la matriz}\Nderecha)+Izquierda({color {rojo}0\Npunto (-1)^3+1\Ndet {\Ncomienza la matriz}3&2\\1&1\\a fin{bmatriz}}de la derecha)\a=({color{rojo}1\a}punto 1)+({color{rojo}2\a}punto (-1)\a}punto 6)+{color{rojo}0}\a=11.\{{end}}} ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

$a_{ij}$ $C_{ij}$ Como se ha ilustrado anteriormente, se puede simplificar el cálculo del determinante eligiendo una fila o columna que tenga muchos ceros; si a i j {{displaystyle a_{ij}} es 0, entonces se puede omitir el cálculo de C i j {{displaystyle C_{ij}} por completo.

Páginas relacionadas

Matriz invertible
Volumen

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es un determinante?

R: Un determinante es un escalar (un número) que indica cómo se comporta una matriz cuadrada.

P: ¿Cómo se puede calcular el determinante de una matriz?

R: El determinante de la matriz se puede calcular a partir de los números de la matriz.

P: ¿Cómo se escribe el determinante de una matriz?

R: El determinante de una matriz se escribe como det(A) o |A| en una fórmula.

P: ¿Hay otras formas de escribir el determinante de una matriz?

R: Sí, en lugar de det([a b c d]) y |[a b c d]|, se puede escribir simplemente det[a b c d] y |[a b c d]|.

P: ¿Qué significa cuando decimos "escalar"?

R: Un escalar es un número o cantidad individual que tiene magnitud pero no tiene dirección asociada.

P: ¿Qué son las matrices cuadradas?

R: Las matrices cuadradas son matrices con un número igual de filas y columnas, como las matrices de 2x2 o 3x3.