Paralelepípedo

Propiedades

Cualquiera de los tres pares de caras paralelas puede considerarse como los planos base del prisma. Un paralelepípedo tiene tres conjuntos de cuatro aristas paralelas; las aristas dentro de cada conjunto tienen la misma longitud.

Los paralelepípedos resultan de transformaciones lineales de un cubo (para los casos no degenerados: las transformaciones lineales biyectivas).

Como cada cara tiene simetría puntual, un paralelepípedo es un zonoedro. Además, todo el paralelepípedo tiene simetría puntual C_i (véase también triclínico). Cada cara es, vista desde el exterior, la imagen especular de la cara opuesta. Las caras son en general quirales, pero el paralelepípedo no lo es.

Es posible una teselación que llene el espacio con copias congruentes de cualquier paralelepípedo.

Volumen

El volumen de un paralelepípedo es el producto del área de su base A por su altura h. La base es cualquiera de las seis caras del paralelepípedo. La altura es la distancia perpendicular entre la base y la cara opuesta.

Un método alternativo define los vectores a = (a₁ , a₂ , a₃ ), b = (b ₁, b₂ , b₃ ) y c = (c ₁, c₂ , c₃ ) para representar tres aristas que se encuentran en un vértice. El volumen del paralelepípedo es entonces igual al valor absoluto del triple producto escalar a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=Izquierda|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=Izquierda|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \(tiempos de la placa de la placa de la placa de la placa de la placa de la placa)

Esto es cierto porque, si elegimos b y c para representar las aristas de la base, el área de la base es, por definición del producto cruzado (ver significado geométrico del producto cruzado),

A = | b | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \derecha... izquierda... mathbf... c... \A = Izquierda, B y C. \tiempos =mathbf =c \...y la de la derecha...}

donde θ es el ángulo entre b y c, y la altura es

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|cos \alpha ,}

donde α es el ángulo interno entre a y h.

De la figura se deduce que la magnitud de α está limitada a 0° ≤ α < 90°. Por el contrario, el vector b × c puede formar con a un ángulo interno β mayor que 90° (0° ≤ β ≤ 180°). A saber, como b × c es paralelo a h, el valor de β es o bien β = α o bien β = 180° - α. Por tanto

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos beta \right|,}

y

h = | a | cos β | . {\displaystyle h=\a izquierda|\a mathbf {a}\a derecha|\a izquierda|\a cos \beta \a derecha|. }

Concluimos que

V = A h = | a | b × c | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \...veces... \...derecha... izquierda... cos... beta... derecha...}

que es, por definición del producto escalar (o punto), equivalente al valor absoluto de a - (b × c), Q.E.D.

Esta última expresión también es equivalente al valor absoluto del determinante de una matriz tridimensional construida utilizando a, b y c como filas (o columnas):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Para ello, se utiliza la regla de Cramer en tres matrices bidimensionales reducidas a partir del original.

Si a, b y c son las longitudes de las aristas del paralelepípedo, y α, β y γ son los ángulos internos entre las aristas, el volumen es

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{{sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}. }

Tetraedro correspondiente

El volumen de cualquier tetraedro que comparta tres aristas convergentes de un paralelepípedo tiene un volumen igual a la sexta parte del volumen de dicho paralelepípedo (ver prueba).

Vectores que definen un paralelepípedo.

Casos especiales

Para los paralelepípedos con un plano de simetría hay dos casos:

• tiene cuatro caras rectangulares
• tiene dos caras rómbicas, mientras que de las otras caras, dos adyacentes son iguales y las otras dos también (los dos pares son la imagen especular del otro).

Véase también monoclínico.

Un cubo rectangular, también llamado paralelepípedo rectangular o a veces simplemente cubo, es un paralelepípedo cuyas caras son todas rectangulares; un cubo es un cubo con caras cuadradas.

Un romboedro es un paralelepípedo con todas las caras rómbicas; un trapezoedro trigonal es un romboedro con caras rómbicas congruentes.

Paralelepípedo rectangular

Paralelepípedo perfecto

Un paralelepípedo perfecto es un paralelepípedo con aristas de longitud entera, diagonales de cara y diagonales de espacio. En 2009 se demostró que existen docenas de paralelepípedos perfectos, respondiendo a una pregunta abierta de Richard Guy. Un ejemplo tiene las aristas 271, 106 y 103, las diagonales menores 101, 266 y 255, las diagonales mayores 183, 312 y 323 y las diagonales espaciales 374, 300, 278 y 272.

Se conocen algunos paralelopípedos perfectos que tienen dos caras rectangulares. Pero no se sabe si existe alguno con todas las caras rectangulares; este caso se llamaría cuboide perfecto.

Paralelotopo

Coxeter llamó paralelotopo a la generalización de un paralelepípedo en dimensiones superiores.

Específicamente en el espacio n-dimensional se llama paralelotopo n-dimensional, o simplemente n-paralelotopo. Así, un paralelogramo es un 2-paralelotopo y un paralelepípedo es un 3-paralelotopo.

De forma más general, un paralelótopo, o paralelótopo de Voronoi, tiene facetas opuestas paralelas y congruentes. Así, un paralelotopo de 2 caras es un paralelogón que también puede incluir ciertos hexágonos, y un paralelotopo de 3 caras es un paraleloedro, que incluye 5 tipos de poliedros.

Las diagonales de un n-paralelotopo se cruzan en un punto y son bisecadas por este punto. La inversión en este punto deja el n-paralelotopo sin cambios. Véase también puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano.

Las aristas que irradian desde un vértice de un k-paralelotopo forman un k-frame ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} del espacio vectorial, y el paralelotopo puede recuperarse a partir de estos vectores, tomando combinaciones lineales de los vectores, con pesos entre 0 y 1.

El n-volumen de un n-paralelotopo incrustado en R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} donde m ≥ n {\displaystyle m\geq n} puede calcularse mediante el determinante de Gram. Alternativamente, el volumen es la norma del producto exterior de los vectores:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\||. }

Si m = n, equivale al valor absoluto del determinante de los n vectores.

Otra fórmula para calcular el volumen de un n-paralelotopo P en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} cuyos n + 1 vértices son V 0 , V 1 , ... , V n {pantalla V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} es

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}(P)=|{rm {det}\ ([V_{0} 1]^{rm {T}},[V_{1} 1]^{rm {T}},|ldots ,[V_{} 1]^{rm {T}})|,}

donde [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} es el vector fila formado por la concatenación de V i {\displaystyle V_{i}} y 1. En efecto, el determinante no cambia si se resta [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} a [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} (i > 0). (i > 0), y colocando [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} en la última posición sólo cambia su signo.

Del mismo modo, el volumen de cualquier n-simplex que comparta n aristas convergentes de un paralelótopo tiene un volumen igual a uno 1/n! del volumen de dicho paralelótopo.

Lexicografía

La palabra aparece como parallelipipedon en la traducción de Sir Henry Billingsley de los Elementos de Euclides, fechada en 1570. En la edición de 1644 de su Cursus mathematicus, Pierre Hérigone utilizó la grafía parallelepipedum. El Oxford English Dictionary cita que el actual paralelepípedo aparece por primera vez en la obra Chorea gigantum (1663) de Walter Charleton.

El Diccionario de Charles Hutton (1795) muestra parallelopiped y parallelopipedon, mostrando la influencia de la forma combinada parallelo-, como si el segundo elemento fuera pipedon en lugar de epipedon. Noah Webster (1806) incluye la grafía parallelopiped. La edición de 1989 del Oxford English Dictionary describe explícitamente parallelopiped (y parallelipiped) como formas incorrectas, pero éstas aparecen sin comentarios en la edición de 2004, y sólo se dan pronunciaciones con el énfasis en la quinta sílaba pi (/paɪ/).

El cambio de la pronunciación tradicional ha ocultado la diferente partición que sugieren las raíces griegas, con epi- ("sobre") y pedon ("suelo") que se combinan para dar epiped, un "plano" plano. Así, las caras de un paralelepípedo son planas y las opuestas son paralelas.