Geometría euclidiana | un sistema en matemáticas

Autor: Leandro Alegsa

24-11-2022

La geometría euclidiana es un sistema de las matemáticas. Se cree que Euclides fue la primera persona que lo describió; por ello, lleva su nombre. La describió por primera vez en su libro de texto Elementos. El libro fue la primera discusión sistemática de la geometría tal y como se conocía en aquella época. En el libro, Euclides asume primero unos cuantos axiomas. Éstos constituyen la base de los trabajos posteriores. Son intuitivamente claros. A partir de esos axiomas, se pueden demostrar otros teoremas.

En el siglo XIX se encontraron otras formas de geometría. Se trata de la geometría no euclidiana. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky fueron algunas de las personas que desarrollaron tales geometrías. Muy a menudo, éstas no utilizan el postulado paralelo, sino los otros cuatro axiomas.

Los axiomas

Euclides hace las siguientes suposiciones. Son axiomas y no es necesario demostrarlos.

Dos puntos cualesquiera pueden ser unidos por una línea recta
Cualquier segmento de línea recta puede alargarse (extenderse) hasta el infinito, por lo que se convierte en una línea recta.
Con un segmento de línea recta es posible dibujar un círculo, de forma que un punto final del segmento sea el centro del círculo, y el otro punto final se encuentre en el círculo. El segmento de línea se convierte en el radio del círculo.
Todos los ángulos rectos son congruentes
Postulado de la paralela. Si dos rectas se cruzan con una tercera de tal manera que la suma de los ángulos interiores de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas deben inevitablemente cruzarse en ese lado si se extienden lo suficiente.

Estado

La geometría euclidiana es una teoría de primer orden. Con ella se pueden hacer afirmaciones como Para todos los triángulos... y demostrarlas. Afirmaciones como Para todos los conjuntos de triángulos... están fuera del alcance de la teoría.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la geometría euclidiana?

R: La geometría euclidiana es un sistema matemático que fue descrito por primera vez por Euclides en su libro de texto Elementos. Consiste en unos pocos axiomas que forman la base para trabajos posteriores, y a partir de estos axiomas se pueden demostrar otros teoremas.

P: ¿Quién escribió los Elementos?

R: Euclides escribió Elementos, que fue la primera discusión sistemática de la geometría tal y como se conocía en aquella época.

P: ¿Cuáles son algunos ejemplos de geometrías no euclidianas?

R: Las geometrías no euclidianas fueron desarrolladas por Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky en el siglo XIX. Estas no suelen utilizar el postulado de la paralela, sino que se basan en los otros cuatro axiomas.

P: ¿De qué tratan los Elementos?

R: Los Elementos discuten la geometría tal y como se conocía en la época y proporcionan una discusión sistemática de la misma.

P: ¿Cuántos axiomas tiene la geometría euclidiana?

R: La geometría euclidiana tiene unos pocos axiomas que constituyen su base para trabajos posteriores.

P: ¿Quién desarrolló las geometrías no euclidianas?

R: Las geometrías no euclidianas fueron desarrolladas por Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky en el siglo XIX.

P: ¿La geometría no euclidiana utiliza los cinco axiomas o sólo cuatro?

R: La geometría no euclidiana no suele utilizar el postulado de las paralelas, sino que se basa en sólo cuatro de sus cinco axiomas.