Quinto postulado de Euclides
En geometría, el postulado de las paralelas es uno de los axiomas de la geometría euclidiana. A veces también se le llama quinto postulado de Euclides, porque es el quinto postulado de los Elementos de Euclides.
El postulado dice que:
Si cortas un segmento de recta con dos líneas, y los dos ángulos interiores que forman las líneas suman menos de 180°, entonces las dos líneas acabarán encontrándose si las extiendes lo suficiente.
El campo de la geometría que sigue todos los axiomas de Euclides se llama geometría euclidiana. Las geometrías que no siguen todos los axiomas de Euclides se llaman geometría no euclidiana.
Si la suma de los ángulos interiores α (alfa) y β (beta) es inferior a 180°, las dos rectas se cruzarán en algún punto, si ambas se prolongan hasta el infinito.
Historia
Algunos matemáticos pensaban que el quinto postulado de Euclides era mucho más largo y complicado que los otros cuatro postulados. Muchos de ellos pensaron que se podía demostrar a partir de los otros axiomas más simples. Algunos matemáticos anunciaron que habían demostrado la proposición a partir de las proposiciones más simples, pero todos resultaron estar equivocados.
El axioma de Playfair
Otra proposición más reciente conocida como el axioma de Playfair es similar al quinto postulado de Euclides. Dice que:
Dada una línea recta y un punto que no está en esta línea, sólo se puede trazar una línea recta por este punto que no se encuentre con la otra línea recta.
De hecho, los matemáticos descubrieron que este axioma no sólo es similar al quinto postulado de Euclides, sino que tiene exactamente las mismas implicaciones. Matemáticamente, las dos proposiciones se denominan proposiciones "equivalentes". Hoy en día, el axioma de Playfair es más utilizado por los matemáticos que el postulado paralelo original de Euclides.
Geometría no euclidiana
Con el tiempo, algunos matemáticos intentaron construir nuevas geometrías sin utilizar el axioma. Un tipo de geometría no euclidiana se llama geometría elíptica. En la geometría elíptica el postulado de las paralelas se sustituye por un axioma que establece que:
Dada una línea recta y un punto que no está en esta línea, no se puede dibujar una línea recta que pase por este punto y que no acabe cruzando la otra línea recta.
Los matemáticos descubrieron que, al sustituir el quinto postulado de Euclides por este axioma, podían seguir demostrando muchos de los demás teoremas de Euclides. Una forma de imaginar la geometría elíptica es pensar en la superficie de un globo terráqueo. En un globo terráqueo, las líneas de longitud parecen ser paralelas en el ecuador, pero todas se unen en los polos. A finales del siglo XIX se demostró que la geometría elíptica es consistente. Esto demostró que el quinto postulado de Euclides no era independiente de los demás postulados. Después de esto, los matemáticos dejaron de intentar demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro postulados. En su lugar, muchos matemáticos comenzaron a estudiar otras geometrías que no siguen el quinto postulado de Euclides.
Otro axioma con el que los matemáticos sustituyen a veces el quinto axioma de Euclides dice que
Dada una línea recta y un punto que no está en esta línea, puedes dibujar al menos dos líneas rectas que pasen por este punto y que finalmente no se crucen con la otra línea recta.
Esto se llama geometría hiperbólica.
Otra geometría simplemente elimina el quinto postulado de Euclides y no lo sustituye por nada. Esto se llama geometría neutra o geometría absoluta.
