En geometría, el postulado de las paralelas es uno de los axiomas de la geometría euclidiana. A veces también se le llama quinto postulado de Euclides, porque es el quinto postulado de los Elementos de Euclides.
El postulado dice que:
Si cortas un segmento de recta con dos líneas, y los dos ángulos interiores que forman las líneas suman menos de 180°, entonces las dos líneas acabarán encontrándose si las extiendes lo suficiente.
El campo de la geometría que sigue todos los axiomas de Euclides se llama geometría euclidiana. Las geometrías que no siguen todos los axiomas de Euclides se llaman geometría no euclidiana.
Formulación moderna y equivalentes
En la notación contemporánea, el postulado suele expresarse de forma más clara y simbólica. Una formulación muy usada —equivalente al postulado original bajo los demás axiomas euclidianos— es el axioma de Playfair:
Por un punto exterior a una recta sólo pasa una recta paralela a la dada.
Existen muchas proposiciones que, junto con los demás axiomas de Euclides, son lógicamente equivalentes al postulado de las paralelas. Entre las más conocidas están:
- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
- Si una recta corta a dos rectas y las ángulos alternos internos son iguales, las rectas son paralelas.
- Existen rectángulos (un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos).
- Las paralelas son únicas por un punto exterior (forma de Playfair).
Historia y esfuerzos por demostrarlo
Desde la Antigüedad y durante muchos siglos los matemáticos intentaron derivar el quinto postulado de los restantes axiomas de Euclides, considerándolo menos evidente que los demás. Numerosos intentos de demostrarlo dieron lugar a resultados parciales y a la introducción de nuevas nociones (como ángulos "infinítos" o límites), pero ninguno logró deducirlo de forma coherente.
En el siglo XIX, gracias al trabajo independiente de matemáticos como János Bolyai, Nikolái Lobachevski y las contribuciones de Carl Friedrich Gauss, se comprendió que el postulado de las paralelas no es deducible de los demás axiomas: su negación conduce a una geometría consistente alternativa (la geometría hiperbólica). La construcción de modelos concretos por Eugenio Beltrami, y más tarde por Klein y Poincaré, demostró la consistencia relativa de la geometría hiperbólica y, por tanto, la independencia del quinto postulado respecto a los demás axiomas de Euclides.
Consecuencias en la geometría euclidiana
Tomando el postulado de las paralelas como verdadero se obtiene una gran parte de la geometría plana clásica: propiedades de triángulos (teorema de la suma de ángulos), semejanza de triángulos, criterios métricos para paralelismo, propiedades de polígonos y del círculo, y herramientas para el cálculo de longitudes y áreas en el plano. Muchas demostraciones y construcciones clásicas dependen de la unicidad de la paralela por un punto exterior.
Geometrías no euclidianas
Si se reemplaza o niega el postulado de las paralelas surgen dos familias principales de geometrías no euclidianas:
- Geometría hiperbólica: por un punto exterior a una recta pasan al menos dos rectas que no se cortan con la dada (infinitas paralelas locales), y la suma de ángulos de un triángulo es menor de 180°.
- Geometría elíptica (o riemanniana): no existen paralelas; todas las rectas se cortan y la suma de ángulos de un triángulo es mayor de 180°.
Estas geometrías no sólo fueron curiosidades teóricas: hoy tienen aplicaciones en relatividad general, en teoría de superficies y en otras áreas de la matemática y la física.
Importancia y perspectiva moderna
El estudio del postulado de las paralelas marcó un cambio profundo en la comprensión de los fundamentos de la matemática: mostró que los axiomas deben elegirse con cuidado y que diferentes sistemas axiomáticos producen geometrías coherentes pero con propiedades distintas. La libertad para modificar o sustituir axiomas básicos es la base de la teoría axiomática moderna.
En resumen, el postulado de las paralelas es central para la geometría euclidiana clásica; su independencia y las geometrías alternativas que surgen al negarlo constituyen uno de los logros más importantes en la historia de la matemática.
