Matriz (matemáticas): definición, operaciones y aplicaciones

Las líneas horizontales de una matriz se llaman filas y las verticales, columnas. Una matriz con m filas y n columnas se llama matriz m por n (o matriz m×n) y m y n se llaman sus dimensiones.

Los lugares de la matriz donde están los números se llaman entradas. La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila número i y en la columna número j se llama entrada i,j de A. Se escribe como A[i,j] o a_i,j .

Escribimos A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}} para definir una matriz m × n, con cada entrada de la matriz llamada_i,j para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n.

Ejemplo

La matriz

{\a6&1}[1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5] {\a6&1}[inicio{bmatriz}1&2&3\a6&1}[fin{bmatriz}]

es una matriz de 4×3. Esta matriz tiene m=4 filas y n=3 columnas.

El elemento A[2,3] o un_2,3 es 7.

Adición

La suma de dos matrices es la matriz cuya (i,j)-ésima entrada es igual a la suma de las (i,j)-ésimas entradas de dos matrices:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Las dos matrices tienen las mismas dimensiones. En este caso, A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} es verdadera (y es verdadera en general para las matrices de dimensiones iguales).

Multiplicación de dos matrices

La multiplicación de dos matrices es un poco más complicada:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\Nfinal{bmatriz}={comienzo{bmatriz}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\N-(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\N-fin{bmatriz}}

Así que con los números:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\\\\nd{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\\Nfinal {bmatriz}={comenzar{bmatriz}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\N-(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• Dos matrices pueden multiplicarse entre sí aunque tengan dimensiones diferentes, siempre que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda.
• El resultado de la multiplicación, llamado producto, es otra matriz con el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda.
• La multiplicación de las matrices no es conmutativa, lo que significa que, en general, A B ≠ B A {\displaystyle AB\neq BA} .
• La multiplicación de las matrices es asociativa, lo que significa que ( A B ) C = A ( B C ) {\año (AB)C=A(BC)} .

Hay algunas matrices que son especiales.

Matriz cuadrada

Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, por lo que m=n.

Un ejemplo de matriz cuadrada es

{\a6}[5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8] {\a6}[inicio{bmatriz}5&-2&4\a0&9&1\a7&6&8\a6}[fin{bmatriz}}

Esta matriz tiene 3 filas y 3 columnas: m=n=3.

Identidad

Todo conjunto de dimensión cuadrada de una matriz tiene una contrapartida especial llamada "matriz de identidad", representada por el símbolo I {\displaystyle I} . La matriz de identidad no tiene más que ceros, excepto en la diagonal principal, donde todo son unos. Por ejemplo:

{\a6}[1 0 0 0 1 0 0 1].

es una matriz de identidad. Hay exactamente una matriz identidad para cada conjunto de dimensiones cuadradas. Una matriz identidad es especial porque al multiplicar cualquier matriz por la matriz identidad, el resultado es siempre la matriz original sin cambios.

Matriz inversa

Una matriz inversa es una matriz que, cuando se multiplica por otra matriz, es igual a la matriz identidad. Por ejemplo:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\cdot {\comenzar{bmatriz}7&8{6&}7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\6&7\\\nd{bmatrix}} es la inversa de [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&7\\\nd{bmatrix}} .

La fórmula para la inversa de una matriz de 2x2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\z&v\end{bmatrix}} es:

( 1 det ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}right){\begin{bmatrix}v&-y\-z&x\end{bmatrix}}

Donde det {\displaystyle \det } es el determinante de la matriz. En una matriz de 2x2, el determinante es igual a:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Matriz de una columna

Una matriz que tiene muchas filas, pero sólo una columna, se llama vector columna.

El determinante toma una matriz cuadrada y calcula un número simple, un escalar. Para entender lo que significa este número, tome cada columna de la matriz y dibuje como un vector. El paralelogramo dibujado por esos vectores tiene un área, que es el determinante. Para todas las matrices de 2x2, la fórmula es muy sencilla: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}right)=ad-bc}

Para matrices de 3x3 la fórmula es más complicada det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

No hay fórmulas sencillas para los determinantes de las matrices más grandes, y muchos programadores informáticos estudian cómo conseguir que los ordenadores encuentren rápidamente determinantes grandes.

Propiedades de los determinantes

Hay tres reglas que siguen todos los determinantes. Estas son:

• El determinante de una matriz identidad es 1
• Si se intercambian dos filas o dos columnas de la matriz, el determinante se multiplica por -1. Los matemáticos llaman a esto alternancia.
• Si todos los números de una fila o columna se multiplican por otro número n, entonces el determinante se multiplica por n. Además, si una matriz M tiene una columna v que es la suma de dos matrices de columna v 1 {\displaystyle v_{1}} y v 2 {\displaystyle v_{2}} , entonces el determinante de M es la suma de los determinantes de M con v 1 {\displaystyle v_{1}} en lugar de v y M con v 2 {\displaystyle v_{2}} en lugar de v. Estas dos condiciones se denominan multilinealidad.

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