Vector propio y valor propio
El álgebra lineal habla de tipos de funciones llamadas transformaciones. En ese contexto, un vector propio es un vector -diferente del vector nulo- que no cambia de dirección en la transformación (excepto si la transformación hace girar el vector hacia la dirección opuesta). El vector puede cambiar su longitud, o convertirse en cero ("nulo"). El valor propio es el valor del cambio de longitud del vector. La palabra "eigen" es una palabra alemana que significa "propio".
Ilustración de una transformación (de la Mona Lisa): La imagen se modifica de tal manera que la flecha (vector) roja no cambia su dirección, pero la azul sí. Por tanto, el vector rojo es un vector propio de esta transformación, el azul no. Como el vector rojo no cambia su longitud, su valor propio es 1. La transformación utilizada se denomina mapeo de cizalladura.
Bases
Si existe una matriz cuadrada llamada A, un escalar λ y un vector distinto de cero, entonces λ es el valor propio y v es el vector propio si se cumple la siguiente ecuación:
A v = λ v . {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \lambda,. }
En otras palabras, si la matriz A por el vector v es igual al escalar λ por el vector v, entonces λ es el valor propio de v, donde v es el vector propio.
Un eigespacio de A es el conjunto de todos los vectores propios con el mismo valor propio junto con el vector cero. Sin embargo, el vector cero no es un vector propio.
Estas ideas se extienden a menudo a situaciones más generales, en las que los escalares son elementos de cualquier campo, los vectores son elementos de cualquier espacio vectorial y las transformaciones lineales pueden representarse o no mediante la multiplicación de matrices. Por ejemplo, en lugar de números reales, los escalares pueden ser números complejos; en lugar de flechas, los vectores pueden ser funciones o frecuencias; en lugar de la multiplicación de matrices, las transformaciones lineales pueden ser operadores como la derivada del cálculo. Estos son sólo algunos de los innumerables ejemplos en los que los vectores y valores propios son importantes.
En estos casos, la idea de dirección pierde su significado ordinario y tiene una definición más abstracta. Pero incluso en este caso, si esa dirección abstracta no se ve modificada por una transformación lineal determinada, se utiliza el prefijo "eigen", como en eigenfunción, eigenmodo, eigenfaz, eigenestado y eigenfrecuencia.
Los valores propios y los vectores propios tienen muchas aplicaciones tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Se utilizan en la factorización de matrices, en la mecánica cuántica, en los sistemas de reconocimiento facial y en muchas otras áreas.
Ejemplo
Para la matriz A
A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. }
el vector
x = [ 3 - 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={comienza{bmatrix}}3\\más} {finaliza{bmatrix}}
es un vector propio con valor propio 1. En efecto,
A x = [ 2 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\displaystyle A\mathbf {x} = {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\cdot {bmatrix}}{comenzar{bmatrix}3\cdot-3\cdot}={comenzar{bmatrix}(2\cdot 3)+(1\cdot (-3))\cdot (1\cdot 3)+(2\cdot (-3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. }
Por otro lado, el vector
x = [ 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} = {\begin{bmatrix}0\1\nd{bmatrix}}}
no es un vector propio, ya que
[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1& 2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. }
y este vector no es un múltiplo del vector original x.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es el álgebra lineal?
R: El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales.
P: ¿Qué es un vector propio?
R: Un vector propio es un vector que no cambia de dirección después de sufrir una transformación, excepto en el caso de que la transformación lo gire en la dirección opuesta.
P: ¿Qué significa el término "vector nulo"?
R: Un vector nulo es un vector de longitud o magnitud cero.
P: ¿Qué es un valor propio?
R: Un valor propio es el valor del cambio de longitud de un vector propio después de sufrir una transformación.
P: ¿Cuál es el significado del valor propio en álgebra lineal?
R: El valor propio desempeña un papel crucial en el álgebra lineal, ya que ayuda a determinar las propiedades de la transformación.
P: ¿Cuál es el origen de la palabra "eigen"?
R: La palabra "eigen" proviene del alemán, que significa "propio" o "típico".
P: ¿Puede un vector propio convertirse en un vector nulo después de una transformación?
R: Sí, un vector propio puede convertirse en un vector nulo después de sufrir una transformación.