Vector propio y valor propio

Bases

Si existe una matriz cuadrada llamada A, un escalar λ y un vector distinto de cero, entonces λ es el valor propio y v es el vector propio si se cumple la siguiente ecuación:

A v = λ v . {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \lambda,. }

En otras palabras, si la matriz A por el vector v es igual al escalar λ por el vector v, entonces λ es el valor propio de v, donde v es el vector propio.

Un eigespacio de A es el conjunto de todos los vectores propios con el mismo valor propio junto con el vector cero. Sin embargo, el vector cero no es un vector propio.

Estas ideas se extienden a menudo a situaciones más generales, en las que los escalares son elementos de cualquier campo, los vectores son elementos de cualquier espacio vectorial y las transformaciones lineales pueden representarse o no mediante la multiplicación de matrices. Por ejemplo, en lugar de números reales, los escalares pueden ser números complejos; en lugar de flechas, los vectores pueden ser funciones o frecuencias; en lugar de la multiplicación de matrices, las transformaciones lineales pueden ser operadores como la derivada del cálculo. Estos son sólo algunos de los innumerables ejemplos en los que los vectores y valores propios son importantes.

En estos casos, la idea de dirección pierde su significado ordinario y tiene una definición más abstracta. Pero incluso en este caso, si esa dirección abstracta no se ve modificada por una transformación lineal determinada, se utiliza el prefijo "eigen", como en eigenfunción, eigenmodo, eigenfaz, eigenestado y eigenfrecuencia.

Los valores propios y los vectores propios tienen muchas aplicaciones tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Se utilizan en la factorización de matrices, en la mecánica cuántica, en los sistemas de reconocimiento facial y en muchas otras áreas.

Ejemplo

Para la matriz A

A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. }

el vector

x = [ 3 - 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={comienza{bmatrix}}3\\más} {finaliza{bmatrix}}

es un vector propio con valor propio 1. En efecto,

A x = [ 2 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\displaystyle A\mathbf {x} = {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\cdot {bmatrix}}{comenzar{bmatrix}3\cdot-3\cdot}={comenzar{bmatrix}(2\cdot 3)+(1\cdot (-3))\cdot (1\cdot 3)+(2\cdot (-3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. }

Por otro lado, el vector

x = [ 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} = {\begin{bmatrix}0\1\nd{bmatrix}}}

no es un vector propio, ya que

[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1& 2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. }

y este vector no es un múltiplo del vector original x.