Vectores y valores propios (eigen): definición y propiedades

El álgebra lineal habla de tipos de funciones llamadas transformaciones. En ese contexto, un vector propio es un vector -diferente del vector nulo- que no cambia de dirección en la transformación (excepto si la transformación hace girar el vector hacia la dirección opuesta). El vector puede cambiar su longitud, o convertirse en cero ("nulo"). El valor propio es el valor del cambio de longitud del vector. La palabra "eigen" es una palabra alemana que significa "propio".

Definición formal

Sea T una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre un cuerpo (por ejemplo, los reales R o los complejos C). Un escalar λ y un vector v ≠ 0 cumplen que

T(v) = λ v.

En ese caso, λ se llama valor propio (o eigenvalor) y v se llama vector propio (o eigenvector) asociado a λ. La condición v ≠ 0 es importante: el vector nulo nunca se considera vector propio.

Cómo calcular valores y vectores propios (para matrices)

Si A es una matriz cuadrada n×n que representa T en una base, los valores propios son las soluciones λ del polinomio característico:
det(A − λI) = 0.
Para cada valor propio λ, los vectores propios son los vectores no nulos del espacio nulo de A − λI, es decir, las soluciones no triviales de
(A − λI)v = 0.
En la práctica: se calcula el polinomio característico, se factoriza (posiblemente en C), se obtienen los λ, y luego se resuelve el sistema homogéneo para cada λ para hallar los vectores propios.

Propiedades importantes

Escalado: Si v es vector propio asociado a λ, entonces cualquier múltiplo escalar αv (α ≠ 0) es también vector propio asociado a λ. Por eso los vectores propios se consideran direcciones, no vectores únicos.
Signo y dirección: Si λ es negativo, la transformación invierte la dirección del vector propio (giro de 180° en la recta de v) y cambia su longitud por |λ|.
Eigenvalor cero: Si λ = 0 es valor propio, entonces A v = 0 para algún v ≠ 0, lo que implica que A no es invertible (determinante cero).
Multiplicidades:
- La multiplicidad algebraica de un valor propio es su multiplicidad como raíz del polinomio característico.
- La multiplicidad geométrica es la dimensión del espacio propio (espacio nulo de A − λI).
- Siempre: 1 ≤ multiplicidad geométrica ≤ multiplicidad algebraica.
Independencia: Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son linealmente independientes.
Diagonalización: Una matriz A es diagonalizable si existe una base de R^n (o C^n) formada por vectores propios de A, equivalentes a que la suma de las multiplicidades geométricas sea n. En tal caso A = PDP^{-1} con D diagonal.
Matrices similares: Matrices similares tienen el mismo polinomio característico y, por tanto, los mismos valores propios (con las mismas multiplicidades algebraicas).
Reales y complejos: Una matriz con entradas reales puede tener valores propios complejos (ocurren en pares conjugados si los coeficientes son reales).

Ejemplos sencillos

Diagonal: Para A = diag(a1, a2, ..., an), los valores propios son exactamente a1, a2, ..., an y los vectores propios son los vectores canónicos (cada uno con un 1 en una posición y ceros en las demás).
Reflexión en R^2: Una reflexión respecto a una recta tiene valores propios 1 (dirección fija) y −1 (dirección invertida).
Rotación en R^2: Una rotación no nula (ángulo distinto de 0 y π) no tiene vectores propios reales; sus valores propios son complejos de forma cos θ ± i sin θ.
Ejemplo de cálculo: Para A = [[2, 1],[1, 2]], el polinomio característico es (2−λ)^2 − 1 = λ^2 − 4λ + 3, raíces λ = 1, 3. Para λ = 3, (A−3I)v = 0 da vectores proporcionales a [1,1]^T; para λ = 1, vectores proporcionales a [1,−1]^T.

Aplicaciones

Resolución de sistemas diferenciales lineales (descomposición modal).
Análisis de estabilidad (autovalores de la matriz Jacobiana).
Procesamiento de señales y vibraciones (modos propios y frecuencias naturales).
Reducción de dimensionalidad en estadísticas (PCA usa autovalores/autovectores de la matriz de covarianzas).
Mecánica cuántica (valores propios como energías observables y vectores propios como estados).
Cadenas de Markov (vectores propios asociados a valor propio 1 dan distribuciones estacionarias).

Consejos prácticos

Si trabajas en R but obtienes raíces complejas, considera el trabajo en C o interpreta las soluciones en términos de pares conjugados.
Para matrices grandes usa métodos numéricos (p. ej. método de la potencia, QR) para aproximar los valores propios dominantes.
Normalizar eigenvectores (hacerlos de norma 1) es común para facilitar comparaciones y cálculos posteriores.

En resumen, los vectores propios y los valores propios resumen cómo una transformación lineal actúa sobre ciertas direcciones privilegiadas del espacio: esas direcciones se estiran, encogen, invierten o se anulan por factores escalares (los autovalores). Comprenderlos es clave para analizar y simplificar muchos problemas en matemáticas, física, ingeniería y ciencias de datos.

Ilustración de una transformación (de la Mona Lisa): La imagen se modifica de tal manera que la flecha (vector) roja no cambia su dirección, pero la azul sí. Por tanto, el vector rojo es un vector propio de esta transformación, el azul no. Como el vector rojo no cambia su longitud, su valor propio es 1. La transformación utilizada se denomina mapeo de cizalladura.

Bases

Si existe una matriz cuadrada llamada A, un escalar λ y un vector distinto de cero, entonces λ es el valor propio y v es el vector propio si se cumple la siguiente ecuación:

A v = λ v . {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \lambda,. } $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \,.$

En otras palabras, si la matriz A por el vector v es igual al escalar λ por el vector v, entonces λ es el valor propio de v, donde v es el vector propio.

Un eigespacio de A es el conjunto de todos los vectores propios con el mismo valor propio junto con el vector cero. Sin embargo, el vector cero no es un vector propio.

Estas ideas se extienden a menudo a situaciones más generales, en las que los escalares son elementos de cualquier campo, los vectores son elementos de cualquier espacio vectorial y las transformaciones lineales pueden representarse o no mediante la multiplicación de matrices. Por ejemplo, en lugar de números reales, los escalares pueden ser números complejos; en lugar de flechas, los vectores pueden ser funciones o frecuencias; en lugar de la multiplicación de matrices, las transformaciones lineales pueden ser operadores como la derivada del cálculo. Estos son sólo algunos de los innumerables ejemplos en los que los vectores y valores propios son importantes.

En estos casos, la idea de dirección pierde su significado ordinario y tiene una definición más abstracta. Pero incluso en este caso, si esa dirección abstracta no se ve modificada por una transformación lineal determinada, se utiliza el prefijo "eigen", como en eigenfunción, eigenmodo, eigenfaz, eigenestado y eigenfrecuencia.

Los valores propios y los vectores propios tienen muchas aplicaciones tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Se utilizan en la factorización de matrices, en la mecánica cuántica, en los sistemas de reconocimiento facial y en muchas otras áreas.

Ejemplo

Para la matriz A

A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. } $A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$

el vector

x = [ 3 - 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={comienza{bmatrix}}3\\más} {finaliza{bmatrix}} $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}$

es un vector propio con valor propio 1. En efecto,

A x = [ 2 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\displaystyle A\mathbf {x} = {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\cdot {bmatrix}}{comenzar{bmatrix}3\cdot-3\cdot}={comenzar{bmatrix}(2\cdot 3)+(1\cdot (-3))\cdot (1\cdot 3)+(2\cdot (-3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. } $A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 3)+(1\cdot (-3))\\(1\cdot 3)+(2\cdot (-3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}.$

Por otro lado, el vector

x = [ 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} = {\begin{bmatrix}0\1\nd{bmatrix}}} $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

no es un vector propio, ya que

[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1& 2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. } ${\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.$

y este vector no es un múltiplo del vector original x.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es el álgebra lineal?

R: El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales.

P: ¿Qué es un vector propio?

R: Un vector propio es un vector que no cambia de dirección después de sufrir una transformación, excepto en el caso de que la transformación lo gire en la dirección opuesta.

P: ¿Qué significa el término "vector nulo"?

R: Un vector nulo es un vector de longitud o magnitud cero.

P: ¿Qué es un valor propio?

R: Un valor propio es el valor del cambio de longitud de un vector propio después de sufrir una transformación.

P: ¿Cuál es el significado del valor propio en álgebra lineal?

R: El valor propio desempeña un papel crucial en el álgebra lineal, ya que ayuda a determinar las propiedades de la transformación.

P: ¿Cuál es el origen de la palabra "eigen"?

R: La palabra "eigen" proviene del alemán, que significa "propio" o "típico".

P: ¿Puede un vector propio convertirse en un vector nulo después de una transformación?

R: Sí, un vector propio puede convertirse en un vector nulo después de sufrir una transformación.