Número complejo
Un número complejo es un número, pero se diferencia de los números comunes en muchos aspectos. Un número complejo se compone de dos números combinados. La primera parte es un número real. La segunda parte de un número complejo es un número imaginario. El número imaginario más importante se llama i {\displaystyle i}
, definido como un número que será -1 cuando se eleve al cuadrado ("al cuadrado" significa "multiplicado por sí mismo"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Todos los demás números imaginarios son i {\displaystyle i} multiplicados por un número real, del mismo modo que todos los números reales pueden considerarse como 1 multiplicado por otro número. Las funciones aritméticas como la suma, la resta, la multiplicación y la división pueden utilizarse con los números complejos. También siguen las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, al igual que los números reales.
Los números complejos se descubrieron al intentar resolver ecuaciones especiales que tienen exponentes. Estos empezaron a plantear verdaderos problemas a los matemáticos. A modo de comparación, utilizando números negativos, es posible encontrar la x en la ecuación a + x = b {\displaystyle a+x=b} 
para todos los valores reales de a y b, pero si sólo se permiten números positivos para x a veces es imposible encontrar una x positiva, como en la ecuación 3 + x = 1.
Con la exponenciación, hay una dificultad que hay que superar. No hay ningún número real que dé -1 cuando se eleva al cuadrado. En otras palabras, -1 (o cualquier otro número negativo) no tiene raíz cuadrada real. Por ejemplo, no hay ningún número real x {\displaystyle x} 
que resuelva ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9} 
. Para resolver este problema, los matemáticos introdujeron un símbolo i y lo llamaron número imaginario. Este es el número imaginario que dará -1 cuando se eleve al cuadrado.
Los primeros matemáticos que pensaron en esto fueron probablemente Gerolamo Cardano y Raffaele Bombelli. Vivieron en el siglo XVI. Fue probablemente Leonhard Euler quien introdujo la escritura i {\displaystyle \mathrm {i} } 
para ese número.
Todos los números complejos se pueden escribir como a + b i {\displaystyle a+bi} 
(o a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i} 
), donde a se llama la parte real del número, y b se llama la parte imaginaria. Escribimos ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
o Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} 
para la parte real de un número complejo z {\displaystyle z} 
. Así, si z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} 
, escribimos a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=Re (z)=\operatorname {Re} (z)} 
. Del mismo modo, escribimos ℑ ( z ) {\displaystyle \m (z)} 
o Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)} 
para la parte imaginaria de un número complejo z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
, para el mismo z. Todo número real es también un número complejo; es un número complejo z con ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0} 
.
El número complejo también puede escribirse como un par ordenado, (a, b). Tanto a como b son números reales. Cualquier número real puede escribirse sencillamente como a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} 
o como el par (a, 0).
A veces, se escribe j {\displaystyle j}
en lugar de i {\displaystyle i} . En electrotecnia, i {estilo de visualización i} significa corriente eléctrica. Escribir i {\displaystyle i} puede causar muchos problemas porque algunos números en ingeniería eléctrica son números complejos.
El conjunto de todos los números complejos se suele escribir como C } 
.
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{[22250-18120]}]
Operaciones sobre números complejos
La suma, la resta, la multiplicación, la división, siempre que el divisor no sea cero, y la exponenciación (elevar los números a exponentes) son posibles con los números complejos. Algunos otros cálculos también son posibles con los números complejos.
La regla para sumar y restar números complejos es bastante sencilla:
Sea z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} , entonces z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di) 
entonces z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, y z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} 
.
La multiplicación es un poco diferente:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Otra operación notable para los números complejos es la conjugación. Un complejo conjugado z ¯ {\displaystyle {\overline {z}} 
a z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} es a - b i {\displaystyle a-bi}
. Es bastante simple, pero es importante para los cálculos, porque z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}} 
pertenece a los números reales para todo complejo z {\displaystyle z} :
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {{displaystyle z{bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}. 
.
Podemos usar esto para hacer la división:
1 z = z ¯ z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}-{frac {b}{a^{2}+b^{2}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Otras formas de describir los números complejos
Los números complejos se pueden mostrar en el llamado plano complejo. Si se tiene un número z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , se puede ir a un punto del eje real y a b del eje imaginario y dibujar un vector desde ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 
hasta ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 
. La longitud de este vector se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras y el ángulo entre el eje real positivo y este vector, yendo en sentido contrario a las agujas del reloj. La longitud de un vector para un número z {\displaystyle z} se llama su módulo (escrito como | z | {\displaystyle |z|} 
), y el ángulo se llama su argumento ( arg z {\displaystyle \arg z} 
).
Esto nos lleva a la forma trigonométrica de describir los números complejos: por las definiciones de seno y coseno, para todo z {\displaystyle z} significa que
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Esto está estrechamente relacionado con la fórmula de De Moivre.
Existe incluso otra forma, llamada formaexponencial.
Un número complejo puede mostrarse visualmente como dos números que forman un vector en un diagrama de Argand, que representa el plano complejo.
Conclusión
Con la adición de los números complejos a las matemáticas, todo polinomio con coeficientes complejos tiene raíces que son números complejos. La adición exitosa de los números complejos a las matemáticas también ayudó a abrir un camino para la creación de otros tipos de números que podrían resolver y ayudar a explicar muchos problemas diferentes, por ejemplo los: números hipercomplejos, sedenion, números hiperreales, números surrealistas y muchos otros. Ver tipos de números.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es un número complejo?
R: Un número complejo es un número formado por dos partes, siendo la primera un número real y la segunda un número imaginario.
P: ¿Cuál es el número imaginario más importante?
R: El número imaginario más importante se llama i, que se define como un número que será -1 cuando se eleve al cuadrado.
P: ¿Cómo se utilizan las funciones aritméticas con los números complejos?
R: Las funciones aritméticas como la suma, la resta, la multiplicación y la división pueden utilizarse con números complejos. También siguen las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva al igual que los números reales.
P: ¿Qué símbolo representa el conjunto de los números complejos?
R: El conjunto de los números complejos se suele representar con el símbolo C.
P: ¿Por qué se descubrieron los números complejos?
R: Los números complejos se descubrieron al intentar resolver ecuaciones especiales que tienen exponentes porque planteaban problemas reales a los matemáticos.
P: ¿Quién introdujo la escritura i para este tipo de números?
R: Probablemente fue Leonhard Euler quien introdujo la escritura i para este tipo de números.
P: ¿Cómo se puede escribir un número complejo como un par ordenado?
R: Un número complejo puede escribirse como un par ordenado (a, b), donde a y b son números reales.
