Un número complejo es un número que amplía el conjunto de los números reales al incorporar una nueva unidad imaginaria. Un número complejo consta de dos partes: la primera es un número real y la segunda es un número imaginario. La unidad imaginaria más importante se denomina i {\displaystyle i}{\displaystyle i}, definida por la propiedad fundamental de que su cuadrado es −1: i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. Todos los demás números imaginarios se obtienen multiplicando i por un número real, de la misma forma que todo número real puede verse como 1 multiplicado por otro real. Las operaciones aritméticas básicas —suma, resta, multiplicación y división— se pueden aplicar a números complejos, y estos conservan las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva (como en los reales).

La necesidad de los números complejos surgió al intentar resolver ecuaciones que involucran exponentes, por ejemplo al buscar raíces de números negativos: no existe ningún número real cuyo cuadrado sea −1, lo que impide hallar raíces cuadradas reales de números negativos. Para superar este obstáculo se introdujo el símbolo i como solución formal a la ecuación x2 = −1.

Los primeros en trabajar con expresiones que implicaban raíces de números negativos fueron Gerolamo Cardano y Raffaele Bombelli en el siglo XVI (Cardano, siglo XVI). Más tarde, fue probablemente Leonhard Euler quien popularizó la notación i {\displaystyle \mathrm {i} } {\displaystyle \mathrm {i} } para esta unidad imaginaria.

Forma binómica y notación

Cualquier número complejo puede escribirse en forma binómica como a + b i {\displaystyle a+bi} {\displaystyle a+bi}, donde a y b son números reales. Aquí, a se llama la parte real y b la parte imaginaria. Para un complejo z {\displaystyle z}{\displaystyle z} escribimos

  • ℜ(z) = Re(z) = a {\displaystyle \Re (z) = \operatorname{Re}(z) = a} {\displaystyle \Re (z)}
  • ℑ(z) = Im(z) = b {\displaystyle \Im (z) = \operatorname{Im}(z) = b} {\displaystyle \Im (z)}

Todo número real es también un número complejo con parte imaginaria cero: a + 0⋅i {\displaystyle a+0\cdot i} {\displaystyle a+0\cdot i}.

También es frecuente representar un número complejo como un par ordenado (a, b) en el plano, identificando la parte real con la coordenada x y la imaginaria con la coordenada y. Esta representación geométrica se conoce como plano complejo o diagrama de Argand.

En disciplinas como la electrotecnia, a veces se usa la letra j {\displaystyle j}{\displaystyle j} en lugar de i {\displaystyle i} {\displaystyle i} porque la letra i suele denotar la corriente eléctrica.

El conjunto de todos los números complejos se denota por C {\displaystyle \mathbb {C} }.

Propiedades algebraicas

  • Estructura de campo: (C, +, ·) forma un campo: suma y multiplicación son cerradas, asociativas, conmutativas, existe elemento neutro y opuesto para la suma, inversos multiplicativos para todo complejo distinto de 0, y la distributiva enlaza ambas operaciones.
  • No ordenable: no existe un orden total compatible con las operaciones que extienda el orden usual de los reales (no hay una noción consistente de “mayor que” para todos los complejos).
  • Teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja (y exactamente n raíces contadas con multiplicidad si el grado es n).

Operaciones básicas

Las operaciones se realizan componente a componente en forma binómica. Sea z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} entonces:

  • Suma: z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}.
  • Resta: z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}.
  • Multiplicación: z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.}

Conjugado y módulo

El conjugado de un complejo z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} {\displaystyle z=a+bi} se denota {\overline {z}} {\displaystyle {\overline {z}}} {\displaystyle {\overline {z}}} y es a - b i {\displaystyle a-bi} {\displaystyle a-bi}. El producto de un número por su conjugado es siempre real y no negativo:

z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2} {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}}.

De aquí se define el módulo (o valor absoluto) de z como |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. El módulo representa la distancia desde el origen hasta el punto (a, b) en el plano complejo.

Inverso multiplicativo y división

Si z = a + bi es distinto de 0, su inverso multiplicativo (1/z) se obtiene multiplicando por el conjugado y dividiendo por |z|^2:

{\frac {1}{z}}={\frac {\overline{z}}{z\overline{z}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i}.

Por tanto, la división w/z se puede expresar como producto w·(1/z). En forma explícita:

{\frac {w}{z}}=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((ac+bd)+(bc-ad)i\right) {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).}

Forma polar y fórmula de Euler

Además de la forma binómica, un complejo se puede expresar en forma polar usando su módulo r = |z| y su argumento θ = arg(z), de modo que

z = r (cos θ + i sin θ).

La fórmula de Euler relaciona esta forma con la exponencial compleja:

z = r e^{iθ} = r(\cos θ + i \sin θ).

Esta representación es especialmente útil para multiplicar, dividir y elevar a potencias: si z1 = r1 e^{iθ1} y z2 = r2 e^{iθ2} entonces

  • z1·z2 = r1 r2 e^{i(θ1+θ2)}
  • z1 / z2 = (r1 / r2) e^{i(θ1−θ2)}
  • z^n = r^n e^{i n θ} (fórmula de De Moivre).

Potencias de i y raíces

Las potencias de la unidad imaginaria i son cíclicas de periodo 4:

  • i^0 = 1
  • i^1 = i
  • i^2 = −1
  • i^3 = −i
  • i^4 = 1

Las raíces n-ésimas de un número complejo r e^{iθ} se obtienen como

z_k = r^{1/n} e^{i(\theta+2k\pi)/n}, para k = 0,1,...,n−1, lo que produce n raíces distintas (en general) distribuidas uniformemente en ángulo.

Ejemplos resueltos

Sea z = 3 + 4i y w = 1 − 2i.

  • Suma: z + w = (3+1) + (4−2)i = 4 + 2i.
  • Multiplicación: z·w = (3+4i)(1−2i) = 3·1 + 3(−2i) + 4i·1 + 4i(−2i) = 3 −6i +4i −8i^2 = 3 −2i −8(−1) = 3 −2i +8 = 11 −2i.
  • Conjugado y módulo: \overline{z} = 3 − 4i, |z| = \sqrt{3^2+4^2} = 5.
  • División: \displaystyle\frac{z}{w} = \frac{(3+4i)(1+2i)}{1^2+(-2)^2} = \frac{(3+6i+4i+8i^2)}{5} = \frac{(3+10i-8)}{5} = \frac{-5+10i}{5} = -1 + 2i.

Aplicaciones y relevancia

Los números complejos se utilizan en multitud de áreas: análisis complejo, teoría de señales y sistemas, electrónica y electrotecnia (representación fasorial), mecánica cuántica, control automático, teoría de circuitos, procesamiento de señales digitales, resolución de ecuaciones diferenciales, y muchas más. Proporcionan una extensión natural del álgebra y resultan indispensables para comprender fenómenos que involucran oscilaciones, rotaciones y transformaciones lineales en dos dimensiones.

Resumen

  • Un número complejo tiene forma a + bi, con a, b reales e i^2 = −1.
  • Puede representarse como punto en el plano complejo (plano de Argand).
  • Las operaciones básicas siguen reglas análogas a las de los reales, usando la relación i^2 = −1.
  • La forma polar y la fórmula de Euler facilitan multiplicaciones, divisiones y potencias.
  • El conjunto de los complejos forma un campo algebraico y es central en muchas ramas de la matemática y la ingeniería.

Para más detalles sobre operaciones y ejemplos adicionales, consulte la sección Operaciones sobre números complejos y recursos relacionados sobre división y exponenciación.