Número complejo: definición, propiedades, operaciones y ejemplos
Un número complejo es un número que amplía el conjunto de los números reales al incorporar una nueva unidad imaginaria. Un número complejo consta de dos partes: la primera es un número real y la segunda es un número imaginario. La unidad imaginaria más importante se denomina i {\displaystyle i}
, definida por la propiedad fundamental de que su cuadrado es −1: i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Todos los demás números imaginarios se obtienen multiplicando i por un número real, de la misma forma que todo número real puede verse como 1 multiplicado por otro real. Las operaciones aritméticas básicas —suma, resta, multiplicación y división— se pueden aplicar a números complejos, y estos conservan las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva (como en los reales).
La necesidad de los números complejos surgió al intentar resolver ecuaciones que involucran exponentes, por ejemplo al buscar raíces de números negativos: no existe ningún número real cuyo cuadrado sea −1, lo que impide hallar raíces cuadradas reales de números negativos. Para superar este obstáculo se introdujo el símbolo i como solución formal a la ecuación x2 = −1.
Los primeros en trabajar con expresiones que implicaban raíces de números negativos fueron Gerolamo Cardano y Raffaele Bombelli en el siglo XVI (Cardano, siglo XVI). Más tarde, fue probablemente Leonhard Euler quien popularizó la notación i {\displaystyle \mathrm {i} } 
para esta unidad imaginaria.
Forma binómica y notación
Cualquier número complejo puede escribirse en forma binómica como a + b i {\displaystyle a+bi} 
, donde a y b son números reales. Aquí, a se llama la parte real y b la parte imaginaria. Para un complejo z {\displaystyle z}
escribimos
- ℜ(z) = Re(z) = a {\displaystyle \Re (z) = \operatorname{Re}(z) = a}
- ℑ(z) = Im(z) = b {\displaystyle \Im (z) = \operatorname{Im}(z) = b}
Todo número real es también un número complejo con parte imaginaria cero: a + 0⋅i {\displaystyle a+0\cdot i} 
.
También es frecuente representar un número complejo como un par ordenado (a, b) en el plano, identificando la parte real con la coordenada x y la imaginaria con la coordenada y. Esta representación geométrica se conoce como plano complejo o diagrama de Argand.
En disciplinas como la electrotecnia, a veces se usa la letra j {\displaystyle j}
en lugar de i {\displaystyle i} porque la letra i suele denotar la corriente eléctrica.
El conjunto de todos los números complejos se denota por C 
.
Propiedades algebraicas
- Estructura de campo: (C, +, ·) forma un campo: suma y multiplicación son cerradas, asociativas, conmutativas, existe elemento neutro y opuesto para la suma, inversos multiplicativos para todo complejo distinto de 0, y la distributiva enlaza ambas operaciones.
- No ordenable: no existe un orden total compatible con las operaciones que extienda el orden usual de los reales (no hay una noción consistente de “mayor que” para todos los complejos).
- Teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja (y exactamente n raíces contadas con multiplicidad si el grado es n).
Operaciones básicas
Las operaciones se realizan componente a componente en forma binómica. Sea z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
entonces:
- Suma: z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
. - Resta: z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
. - Multiplicación: z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.
Conjugado y módulo
El conjugado de un complejo z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} 
se denota {\overline {z}} {\displaystyle {\overline {z}}} 
y es a - b i {\displaystyle a-bi} 
. El producto de un número por su conjugado es siempre real y no negativo:
z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2} 
.
De aquí se define el módulo (o valor absoluto) de z como |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. El módulo representa la distancia desde el origen hasta el punto (a, b) en el plano complejo.
Inverso multiplicativo y división
Si z = a + bi es distinto de 0, su inverso multiplicativo (1/z) se obtiene multiplicando por el conjugado y dividiendo por |z|^2:
{\frac {1}{z}}={\frac {\overline{z}}{z\overline{z}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i 
.
Por tanto, la división w/z se puede expresar como producto w·(1/z). En forma explícita:
{\frac {w}{z}}=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((ac+bd)+(bc-ad)i\right) 
Forma polar y fórmula de Euler
Además de la forma binómica, un complejo se puede expresar en forma polar usando su módulo r = |z| y su argumento θ = arg(z), de modo que
z = r (cos θ + i sin θ).
La fórmula de Euler relaciona esta forma con la exponencial compleja:
z = r e^{iθ} = r(\cos θ + i \sin θ).
Esta representación es especialmente útil para multiplicar, dividir y elevar a potencias: si z1 = r1 e^{iθ1} y z2 = r2 e^{iθ2} entonces
- z1·z2 = r1 r2 e^{i(θ1+θ2)}
- z1 / z2 = (r1 / r2) e^{i(θ1−θ2)}
- z^n = r^n e^{i n θ} (fórmula de De Moivre).
Potencias de i y raíces
Las potencias de la unidad imaginaria i son cíclicas de periodo 4:
- i^0 = 1
- i^1 = i
- i^2 = −1
- i^3 = −i
- i^4 = 1
Las raíces n-ésimas de un número complejo r e^{iθ} se obtienen como
z_k = r^{1/n} e^{i(\theta+2k\pi)/n}, para k = 0,1,...,n−1, lo que produce n raíces distintas (en general) distribuidas uniformemente en ángulo.
Ejemplos resueltos
Sea z = 3 + 4i y w = 1 − 2i.
- Suma: z + w = (3+1) + (4−2)i = 4 + 2i.
- Multiplicación: z·w = (3+4i)(1−2i) = 3·1 + 3(−2i) + 4i·1 + 4i(−2i) = 3 −6i +4i −8i^2 = 3 −2i −8(−1) = 3 −2i +8 = 11 −2i.
- Conjugado y módulo: \overline{z} = 3 − 4i, |z| = \sqrt{3^2+4^2} = 5.
- División: \displaystyle\frac{z}{w} = \frac{(3+4i)(1+2i)}{1^2+(-2)^2} = \frac{(3+6i+4i+8i^2)}{5} = \frac{(3+10i-8)}{5} = \frac{-5+10i}{5} = -1 + 2i.
Aplicaciones y relevancia
Los números complejos se utilizan en multitud de áreas: análisis complejo, teoría de señales y sistemas, electrónica y electrotecnia (representación fasorial), mecánica cuántica, control automático, teoría de circuitos, procesamiento de señales digitales, resolución de ecuaciones diferenciales, y muchas más. Proporcionan una extensión natural del álgebra y resultan indispensables para comprender fenómenos que involucran oscilaciones, rotaciones y transformaciones lineales en dos dimensiones.
Resumen
- Un número complejo tiene forma a + bi, con a, b reales e i^2 = −1.
- Puede representarse como punto en el plano complejo (plano de Argand).
- Las operaciones básicas siguen reglas análogas a las de los reales, usando la relación i^2 = −1.
- La forma polar y la fórmula de Euler facilitan multiplicaciones, divisiones y potencias.
- El conjunto de los complejos forma un campo algebraico y es central en muchas ramas de la matemática y la ingeniería.
Para más detalles sobre operaciones y ejemplos adicionales, consulte la sección Operaciones sobre números complejos y recursos relacionados sobre división y exponenciación.
Otras formas de describir los números complejos
Los números complejos se pueden mostrar en el llamado plano complejo. Si se tiene un número z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , se puede ir a un punto del eje real y a b del eje imaginario y dibujar un vector desde ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 
hasta ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 
. La longitud de este vector se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras y el ángulo entre el eje real positivo y este vector, yendo en sentido contrario a las agujas del reloj. La longitud de un vector para un número z {\displaystyle z} se llama su módulo (escrito como | z | {\displaystyle |z|} 
), y el ángulo se llama su argumento ( arg z {\displaystyle \arg z} 
).
Esto nos lleva a la forma trigonométrica de describir los números complejos: por las definiciones de seno y coseno, para todo z {\displaystyle z} significa que
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Esto está estrechamente relacionado con la fórmula de De Moivre.
Existe incluso otra forma, llamada formaexponencial.
Un número complejo puede mostrarse visualmente como dos números que forman un vector en un diagrama de Argand, que representa el plano complejo.
Conclusión
Con la adición de los números complejos a las matemáticas, todo polinomio con coeficientes complejos tiene raíces que son números complejos. La adición exitosa de los números complejos a las matemáticas también ayudó a abrir un camino para la creación de otros tipos de números que podrían resolver y ayudar a explicar muchos problemas diferentes, por ejemplo los: números hipercomplejos, sedenion, números hiperreales, números surrealistas y muchos otros. Ver tipos de números.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es un número complejo?
R: Un número complejo es un número formado por dos partes, siendo la primera un número real y la segunda un número imaginario.
P: ¿Cuál es el número imaginario más importante?
R: El número imaginario más importante se llama i, que se define como un número que será -1 cuando se eleve al cuadrado.
P: ¿Cómo se utilizan las funciones aritméticas con los números complejos?
R: Las funciones aritméticas como la suma, la resta, la multiplicación y la división pueden utilizarse con números complejos. También siguen las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva al igual que los números reales.
P: ¿Qué símbolo representa el conjunto de los números complejos?
R: El conjunto de los números complejos se suele representar con el símbolo C.
P: ¿Por qué se descubrieron los números complejos?
R: Los números complejos se descubrieron al intentar resolver ecuaciones especiales que tienen exponentes porque planteaban problemas reales a los matemáticos.
P: ¿Quién introdujo la escritura i para este tipo de números?
R: Probablemente fue Leonhard Euler quien introdujo la escritura i para este tipo de números.
P: ¿Cómo se puede escribir un número complejo como un par ordenado?
R: Un número complejo puede escribirse como un par ordenado (a, b), donde a y b son números reales.
