En matemáticas, no se puede dividir por cero dentro del sistema de números reales (ni en la mayor parte de las estructuras numéricas habituales). Para entender por qué, conviene recordar que la división es el inverso de la multiplicación.
1. División como inversa de la multiplicación
A ∗ B = C {\diseño de A*B=C} 
Si B = 0, entonces necesariamente C = 0. Esto es una consecuencia directa de la multiplicación: cualquier número multiplicado por 0 da 0.
2. Intento de "dividir por cero"
A = C / B {\deseo de mostrar A=C/B} 
Si sustituimos B = 0 en esa igualdad obtenemos:
A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} 
¿Por qué 0/0 es indeterminado?
La ecuación 0·A = 0 se cumple para cualquier número A. Por eso, si intentamos interpretar 0/0 como "el número A tal que 0·A = 0", no obtenemos un valor único: cualquier A sirve. Por eso decimos que 0/0 es una forma indeterminada: no tiene un valor bien definido, y las reglas usuales (por ejemplo, cancelar factores) no permiten asignarle un único resultado.
En cálculo, el caso 0/0 aparece frecuentemente en límites y exige un análisis más fino (por ejemplo, aplicar la regla de L'Hôpital o manipular algebraicamente las expresiones) porque el límite puede tomar distintos valores según cómo se aproximen las funciones al cero.
¿Y A/0 (con A ≠ 0)?
Si A es distinto de 0, no existe ningún número B tal que A = B·0, porque B·0 = 0 para todo B. Por tanto, la expresión A/0 no corresponde a ningún número real. Se suele decir que A/0 es indefinido (no existe) en los reales.
Es importante distinguir:
- 0/0 es una forma indeterminada (puede corresponder a muchos valores en contextos de límites).
- A/0 con A ≠ 0 es indefinido en los reales: no hay número que cumpla la relación. En ciertos marcos extendidos se puede hablar de que la magnitud tiende a ±∞, pero ∞ no es un número real.
Ejemplos en límites (por qué 0/0 no determina el resultado)
Considera límites donde numerador y denominador tienden a 0:
- lim x→0 (x/x) = 1
- lim x→0 (2x/x) = 2
- lim x→0 (x^2/x) = lim x→0 x = 0
- lim x→0 (sin x / x) = 1
En todos estos casos la forma formal es 0/0, pero los límites son distintos. Por eso en análisis 0/0 se llama una forma indeterminada: el valor límite depende de cómo se aproximan al cero numerador y denominador.
¿Y el infinito?
A menudo se dice coloquialmente que A/0 = ∞ cuando A ≠ 0. Eso es una abreviación útil en algunos contextos (por ejemplo, al estudiar límites que divergen), pero debe considerarse con cuidado:
- En los números reales no existe ∞ como número; decir "igual a infinito" significa que la magnitud crece sin acotación en valor absoluto.
- En la recta real extendida se añaden +∞ y −∞ para describir comportamientos límite, pero las operaciones algebraicas con estos símbolos no satisfacen todas las propiedades usuales.
- En la esfera de Riemann (la extensión de los complejos), se introduce un único punto ∞ y para A ≠ 0 se puede asignar A/0 = ∞, pero 0/0 sigue sin definición incluso allí.
Conclusión y consejos prácticos
- No se puede dividir por cero en aritmética y álgebra convencionales.
- 0/0 es una forma indeterminada; necesita contexto (por ejemplo, un límite) para poder determinar un resultado, y ese resultado puede variar.
- A/0 con A ≠ 0 es indefinido: no existe un número real que lo represente. En análisis se habla de divergencia a infinito, pero eso no convierte ∞ en un número real.
- Si aparece una división por cero en un problema, reescribe la expresión, usa límites o examina la situación para evitar tratar la fracción como un número concreto.
En resumen: las reglas algebraicas habituales fallan cuando aparece la división por cero; hay que emplear definiciones precisas (inverso multiplicativo, límites, extensiones adecuadas) para dar sentido a esas expresiones.
