División por cero: por qué 0/0 es indeterminado y A/0 indefinido
Descubre por qué 0/0 es indeterminado y A/0 indefinido: diferencias, ejemplos y consecuencias en álgebra y límites.
En matemáticas, no se puede dividir por cero dentro del sistema de números reales (ni en la mayor parte de las estructuras numéricas habituales). Para entender por qué, conviene recordar que la división es el inverso de la multiplicación.
1. División como inversa de la multiplicación
A ∗ B = C {\diseño de A*B=C} 
Si B = 0, entonces necesariamente C = 0. Esto es una consecuencia directa de la multiplicación: cualquier número multiplicado por 0 da 0.
2. Intento de "dividir por cero"
A = C / B {\deseo de mostrar A=C/B} 
Si sustituimos B = 0 en esa igualdad obtenemos:
A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} 
¿Por qué 0/0 es indeterminado?
La ecuación 0·A = 0 se cumple para cualquier número A. Por eso, si intentamos interpretar 0/0 como "el número A tal que 0·A = 0", no obtenemos un valor único: cualquier A sirve. Por eso decimos que 0/0 es una forma indeterminada: no tiene un valor bien definido, y las reglas usuales (por ejemplo, cancelar factores) no permiten asignarle un único resultado.
En cálculo, el caso 0/0 aparece frecuentemente en límites y exige un análisis más fino (por ejemplo, aplicar la regla de L'Hôpital o manipular algebraicamente las expresiones) porque el límite puede tomar distintos valores según cómo se aproximen las funciones al cero.
¿Y A/0 (con A ≠ 0)?
Si A es distinto de 0, no existe ningún número B tal que A = B·0, porque B·0 = 0 para todo B. Por tanto, la expresión A/0 no corresponde a ningún número real. Se suele decir que A/0 es indefinido (no existe) en los reales.
Es importante distinguir:
- 0/0 es una forma indeterminada (puede corresponder a muchos valores en contextos de límites).
- A/0 con A ≠ 0 es indefinido en los reales: no hay número que cumpla la relación. En ciertos marcos extendidos se puede hablar de que la magnitud tiende a ±∞, pero ∞ no es un número real.
Ejemplos en límites (por qué 0/0 no determina el resultado)
Considera límites donde numerador y denominador tienden a 0:
- lim x→0 (x/x) = 1
- lim x→0 (2x/x) = 2
- lim x→0 (x^2/x) = lim x→0 x = 0
- lim x→0 (sin x / x) = 1
En todos estos casos la forma formal es 0/0, pero los límites son distintos. Por eso en análisis 0/0 se llama una forma indeterminada: el valor límite depende de cómo se aproximan al cero numerador y denominador.
¿Y el infinito?
A menudo se dice coloquialmente que A/0 = ∞ cuando A ≠ 0. Eso es una abreviación útil en algunos contextos (por ejemplo, al estudiar límites que divergen), pero debe considerarse con cuidado:
- En los números reales no existe ∞ como número; decir "igual a infinito" significa que la magnitud crece sin acotación en valor absoluto.
- En la recta real extendida se añaden +∞ y −∞ para describir comportamientos límite, pero las operaciones algebraicas con estos símbolos no satisfacen todas las propiedades usuales.
- En la esfera de Riemann (la extensión de los complejos), se introduce un único punto ∞ y para A ≠ 0 se puede asignar A/0 = ∞, pero 0/0 sigue sin definición incluso allí.
Conclusión y consejos prácticos
- No se puede dividir por cero en aritmética y álgebra convencionales.
- 0/0 es una forma indeterminada; necesita contexto (por ejemplo, un límite) para poder determinar un resultado, y ese resultado puede variar.
- A/0 con A ≠ 0 es indefinido: no existe un número real que lo represente. En análisis se habla de divergencia a infinito, pero eso no convierte ∞ en un número real.
- Si aparece una división por cero en un problema, reescribe la expresión, usa límites o examina la situación para evitar tratar la fracción como un número concreto.
En resumen: las reglas algebraicas habituales fallan cuando aparece la división por cero; hay que emplear definiciones precisas (inverso multiplicativo, límites, extensiones adecuadas) para dar sentido a esas expresiones.
Pruebas incorrectas basadas en la división por cero
Es posible disfrazar un caso especial de división por cero en un argumento algebraico. Esto puede llevar a pruebas inválidas, como 1=2, como en lo siguiente:
Con los siguientes supuestos:
0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\times 2&=0.\bend{aligned}} 
Lo siguiente debe ser cierto:
0 × 1 = 0 × 2. {\año de la pantalla 0\año de la pantalla 1=0\año de la pantalla 2.\año,} 
Dividiendo por cero se obtiene:
0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}times 1={\frac {0}{0}}times 2.} 
Simplifica:
1 = 2. {\año de visualización 1=2.\año,} 
La falacia es la suposición de que dividir por 0 es una operación legítima con 0/0 = 1.
La mayoría de la gente probablemente reconocería la "prueba" anterior como incorrecta, pero el mismo argumento puede presentarse de una manera que haga más difícil detectar el error. Por ejemplo, si 1 se escribe como x, entonces el 0 puede esconderse detrás de x-x y el 2 detrás de x+x. La prueba mencionada puede entonces mostrarse de la siguiente manera:
( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\\\N-(x-x)(x+x)=0{end{aligned}}. 
por lo tanto:
( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . (x-x)x=(x-x)(x+x). 
Dividiendo por x - x da:
x = x + x {\displaystyle x=x+x,} 
y dividiendo por x se obtiene
1 = 2. {\año de visualización 1=2.\año,}
La "prueba" anterior es incorrecta porque divide por cero cuando divide por x-x, porque cualquier número menos él mismo es cero.
Cálculo
En el cálculo, las anteriores "formas indeterminadas" también son el resultado de la sustitución directa al evaluar los límites.
División por cero en los ordenadores
Si un programa de ordenador intenta dividir un entero por cero, el sistema operativo suele detectarlo y detener el programa. Normalmente imprimirá un "mensaje de error" o dará consejos al programador sobre cómo mejorar el programa[]. La división por cero es un error común en la programación informática. Dividir números en coma flotante (decimales) por cero suele dar como resultado el infinito o un valor especial NaN (no es un número), dependiendo de lo que se esté dividiendo por cero.
División por cero en geometría
En la geometría 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } 
Este infinito (infinito proyectivo) no es ni un número positivo ni un número negativo, del mismo modo que el cero no es ni un número positivo ni un número negativo
Preguntas y respuestas
P: ¿Cuál es el resultado de dividir un número por cero?
R: Dividir un número por cero da como resultado una "forma indefinida" o "indeterminada", lo que significa que no tiene un valor único.
P: ¿Qué significa 0/0?
R: Se dice que 0/0 es de "forma indeterminada" porque no tiene un único valor.
P: ¿Qué ocurre cuando dos números son iguales a la misma cosa, pero esa cosa es 0/0?
R: Las reglas normales de las matemáticas no funcionan cuando el número se divide por cero, por lo que los dos números no serían iguales entre sí.
P: ¿Es cierto que cualquier intento de definir un número de la forma A/0 dará como resultado un valor infinito?
R: Sí, cualquier intento de definir un número de la forma A/0 (donde A no es 0) dará como resultado un valor de infinito, que en sí mismo es indefinido.
P: ¿Cómo podemos determinar si dos números son iguales entre sí?
R: Podemos determinar si dos números son iguales entre sí viendo si ambos son iguales a la misma cosa. Normalmente esto funciona, sin embargo esto no se aplica cuando ambos números son iguales a 0/0.
P: ¿Existe alguna excepción para cuando no podemos dividir un número por cero? R: Sí, en matemáticas no es posible dividir un número por cero.
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