Geometría hiperbólica | una geometría no euclidiana

Definición formal

El postulado de la paralela en la geometría euclidiana dice que en un espacio bidimensional, para cualquier línea l y un punto P que no esté en l, hay exactamente una línea que pasa por P y que no interseca a l. Esta línea se llama paralela a l. En la geometría hiperbólica hay al menos dos de estas líneas que pasan por P. Como no intersecan a l, el postulado de la paralela es falso. Se han construido modelos dentro de la geometría euclidiana que obedecen a los axiomas de la geometría hiperbólica. Estos modelos demuestran que el postulado de las paralelas es independiente de los demás postulados de Euclides.

Dado que no existe un análogo hiperbólico a las líneas paralelas euclidianas, el uso hiperbólico de las paralelas y de los términos relacionados varía entre los escritores. En este artículo, las dos líneas límite se denominan asintóticas y las líneas que tienen una perpendicular común se denominan ultraparalelas; la simple palabra paralelo puede aplicarse a ambas.

 
Líneas que pasan por un punto P dado y son asintóticas a la línea l.  

Líneas no intersecantes

Una propiedad interesante de la geometría hiperbólica se deriva de la aparición de más de una línea paralela a través de un punto P: hay dos clases de líneas que no se intersecan. Sea B el punto sobre l tal que la recta PB es perpendicular a l. Considere la recta x que pasa por P tal que x no interseca a l, y el ángulo θ entre PB y x en sentido contrario a PB es lo más pequeño posible; es decir, cualquier ángulo menor obligará a la recta a intersecar a l. Esto se llama una recta asintótica en geometría hiperbólica. Simétricamente, la recta y que forma el mismo ángulo θ entre PB y ella misma pero en el sentido de las agujas del reloj desde PB también será asintótica. x e y son las únicas dos rectas asintóticas a l que pasan por P. Todas las demás rectas que pasan por P y no intersecan a l, con ángulos mayores que θ con PB, se llaman ultraparalelas (o disjuntas) a l. Nótese que como hay un número infinito de ángulos posibles entre θ y 90 grados, y cada uno de ellos determinará dos rectas que pasen por P y sean disjuntas paralelas a l, existe un número infinito de rectas ultraparalelas.

Así tenemos esta forma modificada del postulado de las paralelas: En la geometría hiperbólica, dada cualquier línea l, y un punto P que no está en l, hay exactamente dos líneas que pasan por P que son asintóticas a l, e infinitas líneas que pasan por P ultraparalelas a l.

Las diferencias entre estos tipos de rectas también se pueden observar de la siguiente manera: la distancia entre las rectas asintóticas se reduce a cero en una dirección y crece sin límite en la otra; la distancia entre las rectas ultraparalelas aumenta en ambas direcciones. El teorema de las ultraparalelas afirma que existe una única línea en el plano hiperbólico que es perpendicular a cada uno de un par dado de líneas ultraparalelas.

En la geometría euclidiana, el ángulo de paralelismo es una constante; es decir, cualquier distancia ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } entre líneas paralelas produce un ángulo de paralelismo igual a 90°. En la geometría hiperbólica, el ángulo de paralelismo varía con la función Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} . Esta función, descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produce un ángulo de paralelismo único para cada distancia p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . A medida que la distancia se acorta, Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} se aproxima a 90°, mientras que al aumentar la distancia Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} se aproxima a 0°. Así, a medida que las distancias son menores, el plano hiperbólico se comporta cada vez más como la geometría euclidiana. En efecto, a escalas pequeñas comparadas con 1 - K {\displaystyle {\frac {1}{sqrt {-K}}}} donde K {\displaystyle K\!} es la curvatura gaussiana (constante) del plano, un observador tendría dificultades para determinar si se encuentra en el plano euclidiano o en el hiperbólico.

 

Historia

Durante siglos, los geómetras intentaron demostrar el postulado de las paralelas. Fracasaron, pero sus esfuerzos dieron lugar a la geometría hiperbólica. Los teoremas de Alhacen, Khayyam sobre los cuadriláteros, fueron los primeros teoremas sobre la geometría hiperbólica. Sus trabajos sobre la geometría hiperbólica influyeron en su desarrollo entre los geómetras europeos posteriores, como Witelo, Alfonso y John Wallis.

En el siglo XIX, la geometría hiperbólica fue explorada por János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky, de quien a veces recibe el nombre. Lobachevsky publicó en 1830, mientras que Bolyai la descubrió de forma independiente y la publicó en 1832. Karl Friedrich Gauss también estudió la geometría hiperbólica, describiendo en una carta de 1824 a Taurinus que la había construido, pero no publicó su trabajo. En 1868, Eugenio Beltrami proporcionó modelos de la misma y los utilizó para demostrar que la geometría hiperbólica era consistente si la geometría euclidiana lo era.

El término "geometría hiperbólica" fue introducido por Félix Klein en 1871. Para más historia, véase el artículo sobre la geometría no euclidiana.

 

Modelos del plano hiperbólico

Existen tres modelos comúnmente utilizados para la geometría hiperbólica: el modelo de Klein, el modelo del disco de Poincaré y el modelo de Lorentz, o modelo del hiperboloide. Estos modelos definen un espacio hiperbólico real que satisface los axiomas de una geometría hiperbólica. A pesar de la denominación, los dos modelos de disco y el modelo del semiplano fueron introducidos como modelos del espacio hiperbólico por Beltrami, no por Poincaré o Klein.

1. El modelo de Klein, también conocido como modelo de disco proyectivo y modelo de Beltrami-Klein, utiliza el interior de un círculo para el plano hiperbólico, y las cuerdas del círculo como líneas.
2. El modelo del semiplano de Poincaré considera que la mitad del plano euclidiano, determinada por una línea euclidiana B, es el plano hiperbólico (no se incluye B).
• Las líneas hiperbólicas son entonces semicírculos ortogonales a B o rayos perpendiculares a B.
• Ambos modelos de Poincaré preservan los ángulos hiperbólicos y, por tanto, son conformes. Todas las isometrías dentro de estos modelos son por tanto transformaciones de Möbius.
• El modelo de medio plano es idéntico (en el límite) al modelo de disco de Poincaré en el borde del disco
• Este modelo tiene una aplicación directa a la relatividad especial, ya que el espacio 3 de Minkowski es un modelo para el espaciotiempo, suprimiendo una dimensión espacial. Se puede tomar el hiperboloide para representar los eventos que varios observadores en movimiento, radiando hacia fuera en un plano espacial desde un único punto, alcanzarán en un tiempo propio fijo. La distancia hiperbólica entre dos puntos del hiperboloide puede entonces identificarse con la rapidez relativa entre los dos observadores correspondientes.

 
Modelo de disco de Poincaré del gran mosaico rombitruncado {3,7}  

Visualización de la geometría hiperbólica

M. Los famosos grabados de C. Escher Círculo límite III Archivado el 18 de marzo de 2009 en la Wayback Machine y Círculo límite IV Archivado el 18 de marzo de 2009 en la Wayback Machine ilustran bastante bien el modelo de disco conforme. En ambos se pueden ver las geodésicas. (En la III las líneas blancas no son geodésicas, sino hiperciclos, que corren a su lado). También se puede ver con bastante claridad la curvatura negativa del plano hiperbólico, a través de su efecto sobre la suma de ángulos en triángulos y cuadrados.

En el plano euclidiano, sus ángulos sumarían 450°; es decir, un círculo y un cuarto. De esto se deduce que la suma de los ángulos de un triángulo en el plano hiperbólico debe ser menor que 180°. Otra propiedad visible es el crecimiento exponencial. En el Límite del Círculo IV, por ejemplo, se puede ver que el número de ángeles y demonios Archivado 2009-03-18 en la Wayback Machine dentro de una distancia de n del centro aumenta exponencialmente. Los demonios tienen igual área hiperbólica, por lo que el área de una bola de radio n debe aumentar exponencialmente en n.

Hay varias formas de realizar físicamente un plano hiperbólico (o una aproximación al mismo). Un modelo de papel especialmente conocido basado en la pseudoesfera se debe a William Thurston. El arte del ganchillo se ha utilizado para demostrar planos hiperbólicos, siendo el primero realizado por Daina Taimina. En el año 2000, Keith Henderson demostró un modelo de papel rápido de hacer llamado "balón de fútbol hiperbólico".

 
Una colección de planos hiperbólicos de ganchillo, a imitación de un arrecife de coral, por el Institute For Figuring  

Literatura

• Coxeter, H. S. M. (1942) Geometría no euclidiana, University of Toronto Press, Toronto
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometría, traductor y editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, Sociedad Matemática Europea, 2010.
• Milnor, John W. (1982) Geometría hiperbólica: Los primeros 150 años, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volumen 6, Número 1, pp. 9-24.
• Reynolds, William F. (1993) Geometría hiperbólica en un hiperboloide, American Mathematical Monthly 100:442-455.
• Stillwell, John (1996) Sources in Hyperbolic Geometry, volumen 10 de la serie AMS/LMS History of Mathematics.
• Samuels, David. (marzo de 2006) Revista Knit Theory Discover, volumen 27, número 3.
• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9