Relatividad especial: definición, principios y aplicaciones

Suponga que se mueve hacia algo que se mueve hacia usted. Si mide su velocidad, le parecerá que se mueve más rápido que si usted no se mueve. Ahora supongamos que nos alejamos de algo que se mueve hacia nosotros. Si vuelves a medir su velocidad, te parecerá que se mueve más despacio. Esta es la idea de "velocidad relativa": la velocidad del objeto en relación con usted.

Antes de Albert Einstein, los científicos intentaban medir la "velocidad relativa" de la luz. Para ello, medían la velocidad de la luz de las estrellas que llegaba a la Tierra. Esperaban que si la Tierra se movía hacia una estrella, la luz de esa estrella debería parecer más rápida que si la Tierra se alejaba de esa estrella. Sin embargo, se dieron cuenta de que, independientemente de quién realizara los experimentos, dónde se llevaran a cabo o qué luz estelar se utilizara, la velocidad de la luz medida en el vacío era siempre la misma.

Einstein dijo que esto ocurre porque hay algo inesperado en la longitud y la duración, o en el tiempo que dura algo. Pensó que a medida que la Tierra se desplaza por el espacio, todas las duraciones medibles cambian muy ligeramente. Cualquier reloj utilizado para medir una duración se equivocará exactamente en la cantidad necesaria para que la velocidad de la luz siga siendo la misma. Imaginar un "reloj de luz" nos permite comprender mejor este hecho notable para el caso de una sola onda luminosa.

Además, Einstein dijo que a medida que la Tierra se desplaza por el espacio, todas las longitudes medibles cambian (muy ligeramente). Cualquier aparato que mida la longitud dará una longitud desviada en la cantidad exacta para que la velocidad de la luz siga siendo la misma.

Lo más difícil de entender es que los acontecimientos que parecen ser simultáneos en un marco pueden no serlo en otro. Esto tiene muchos efectos que no son fáciles de percibir o entender. Dado que la longitud de un objeto es la distancia de la cabeza a la cola en un momento simultáneo, se deduce que si dos observadores no están de acuerdo sobre qué sucesos son simultáneos, esto afectará (a veces de forma dramática) a sus mediciones de la longitud de los objetos. Además, si una línea de relojes parece estar sincronizada para un observador estacionario y parece estar desincronizada para ese mismo observador después de acelerar a una determinada velocidad, se deduce que durante la aceleración los relojes funcionaron a diferentes velocidades. Algunos incluso pueden ir al revés. Esta línea de razonamiento conduce a la relatividad general.

Otros científicos anteriores a Einstein habían escrito que la luz parecía ir a la misma velocidad independientemente de cómo se observara. Lo que hizo que la teoría de Einstein fuera tan revolucionaria es que considera que la medición de la velocidad de la luz es constante por definición, es decir, que es una ley de la naturaleza. Esto tiene las notables implicaciones de que las mediciones relacionadas con la velocidad, la longitud y la duración, cambian para adaptarse a ella.

Las bases matemáticas de la relatividad especial son las transformaciones de Lorentz, que describen matemáticamente las vistas del espacio y el tiempo para dos observadores que se mueven uno respecto al otro pero que no experimentan aceleración.

Para definir las transformaciones utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para describir matemáticamente el tiempo y el espacio de los "acontecimientos".

Cada observador puede describir un evento como la posición de algo en el espacio en un momento determinado, utilizando coordenadas (x,y,z,t).

La ubicación del evento se define en las tres primeras coordenadas (x,y,z) en relación con un centro arbitrario (0,0,0) de modo que (3,3,3) es una diagonal que va 3 unidades de distancia (como metros o millas) hacia fuera en cada dirección.

El tiempo del evento se describe con la cuarta coordenada t en relación con un punto arbitrario (0) en alguna unidad de tiempo (como segundos u horas o años).

Exista un observador K que describa cuándo ocurren los eventos con una coordenada temporal t, y que describa dónde ocurren los eventos con coordenadas espaciales x, y y z. Esto es definir matemáticamente el primer observador cuyo "punto de vista" será nuestra primera referencia.

Especifiquemos que el tiempo de un evento viene dado: por la hora en que se observa t_(observado) (digamos hoy, a las 12) menos el tiempo que tardó la observación en llegar al observador.

Se puede calcular como la distancia del observador al suceso d_(observado) (digamos que el suceso está en una estrella que está a 1 año luz, por lo que la luz tarda 1 año en llegar al observador) dividida por c, la velocidad de la luz (varios millones de millas por hora), que definimos como la misma para todos los observadores.

Esto es correcto porque la distancia, dividida por la velocidad da el tiempo que se tarda en recorrer esa distancia a esa velocidad (por ejemplo, 30 millas divididas por 10 mph: nos da 3 horas, porque si vas a 10 mph durante 3 horas, llegas a 30 millas). Así que tenemos:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Se trata de definir matemáticamente lo que significa cualquier "tiempo" para cualquier observador.

Ahora, con estas definiciones, dejemos que haya otro observador K' que sea

• moviéndose a lo largo del eje x de K a una velocidad de v,
• tiene un sistema de coordenadas espaciales de x' , y' , y z' ,

donde el eje x' coincide con el eje x, y con los ejes y' y z' - "siendo siempre paralelo" a los ejes y y z.

Esto significa que cuando K' da una ubicación como (3,1,2), la x (que es 3 en este ejemplo) es el mismo lugar del que K, el primer observador estaría hablando, pero el 1 en el eje y o el 2 en el eje z son sólo paralelos a alguna ubicación en el sistema de coordenadas del observador K', y

• donde K y K' coinciden en t = t' = 0

Esto significa que la coordenada (0,0,0,0) es el mismo evento para ambos observadores.

En otras palabras, ambos observadores tienen (al menos) un tiempo y una ubicación en la que ambos están de acuerdo, que es la ubicación y el tiempo cero.

Las transformaciones de Lorentz son entonces

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} y

z ′ = z {\displaystyle z'=z}.

Definamos que un suceso tiene coordenadas espaciotemporales (t,x,y,z) en el sistema S y (t′,x′,y′,z′) en un marco de referencia que se mueve a una velocidad v respecto a ese marco, S′. Entonces la transformación de Lorentz especifica que estas coordenadas están relacionadas de la siguiente manera: es el factor de Lorentz y c es la velocidad de la luz en el vacío, y la velocidad v de S′ es paralela al eje x. Para simplificar, las coordenadas y y z no se ven afectadas; sólo se transforman las coordenadas x y t. Estas transformaciones de Lorentz forman un grupo de mapeos lineales de un parámetro, que se llama rapidez.

Resolviendo las cuatro ecuaciones de transformación anteriores para las coordenadas no imprimadas se obtiene la transformación inversa de Lorentz:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

La aplicación de esta transformación inversa de Lorentz para que coincida con la transformación de Lorentz del sistema cebado al no cebado, muestra que el marco no cebado se mueve con la velocidad v′ = -v, medida en el marco cebado.

El eje x no tiene nada de especial. La transformación puede aplicarse al eje y o al eje z, o incluso en cualquier dirección, lo que puede hacerse mediante direcciones paralelas al movimiento (que se deforman por el factor γ) y perpendiculares; véase el artículo La transformación de Lorentz para más detalles.

Una cantidad invariante bajo las transformaciones de Lorentz se conoce como escalar de Lorentz.

Escribiendo la transformación de Lorentz y su inversa en términos de diferencias de coordenadas, donde un evento tiene coordenadas (x ₁, t ₁) y (x′ ₁, t′ ₁), otro evento tiene coordenadas (x ₂, t ₂) y (x′ ₂, t′ ₂), y las diferencias se definen como

Ec. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}} ,\Delta t'=t'_{2}-t'_{1}} . }

Ecuación 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\N-\N-\N-Delta t=t_{2}-t_{1}\N-. }

obtenemos

Ec. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ } ,\ \️ . Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\} . }

Ecuación 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v,\Delta t')\}. Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Si tomamos los diferenciales en lugar de tomar las diferencias, obtenemos

Ec. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\️ ,\️ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\} . }

Ecuación 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\'dt')\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\} . }

En relatividad especial, el momento p {\displaystyle p} y la energía total E {\displaystyle E} de un objeto en función de su masa m {\displaystyle m} son

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

y

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}} {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Un error que se comete con frecuencia (también en algunos libros) es reescribir esta ecuación utilizando una "masa relativista" (en la dirección del movimiento) de m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} . La razón por la que esto es incorrecto es que la luz, por ejemplo, no tiene masa, pero tiene energía. Si utilizamos esta fórmula, el fotón (partícula de luz) tiene una masa, lo que según los experimentos es incorrecto.

En la relatividad especial, la masa, la energía total y el momento de un objeto están relacionados por la ecuación

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} .

Para un objeto en reposo, p = 0 {\displaystyle p=0} por lo que la ecuación anterior se simplifica a E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}. . Por lo tanto, un objeto masivo en reposo sigue teniendo energía. Llamamos a esta energía en reposo y la denotamos por E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} .

La necesidad de la relatividad especial surgió de las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell, publicadas en 1865. Más tarde se descubrió que exigen que las ondas electromagnéticas (como la luz) se muevan a una velocidad constante (es decir, la velocidad de la luz).

Para que las ecuaciones de James Clerk Maxwell fueran coherentes tanto con las observaciones astronómicas^[1]como con la física newtoniana, ^[2]Maxwell propuso en 1877 que la luz viaja a través de un éter que está en todo el universo.

En 1887, el famoso experimento Michelson-Morley intentó detectar el "viento del éter" generado por el movimiento de la Tierra.^[3] Los persistentes resultados nulos de este experimento desconcertaron a los físicos y pusieron en duda la teoría del éter.

En 1895, Lorentz y Fitzgerald observaron que el resultado nulo del experimento de Michelson-Morley podía explicarse porque el viento del éter contraía el experimento en la dirección del movimiento del éter. Este efecto se denomina contracción de Lorentz, y (sin el éter) es una consecuencia de la relatividad especial.

En 1899, Lorentz publicó por primera vez las ecuaciones de Lorentz. Aunque no era la primera vez que se publicaban, sí fue la primera vez que se utilizaron como explicación del resultado nulo de Michelson-Morley, ya que la contracción de Lorentz es un resultado de las mismas.

En 1900, Poincaré pronunció un famoso discurso en el que consideraba la posibilidad de que fuera necesaria una "nueva física" para explicar el experimento de Michelson-Morley.

En 1904, Lorentz demostró que los campos eléctricos y magnéticos pueden modificarse entre sí mediante las transformaciones de Lorentz.

En 1905, Einstein publicó su artículo de introducción a la relatividad especial, "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento", en Annalen der Physik. En este artículo, presentó los postulados de la relatividad, dedujo las transformaciones de Lorentz a partir de ellos y (sin conocer el artículo de Lorentz de 1904) también mostró cómo las transformaciones de Lorentz afectan a los campos eléctricos y magnéticos.

Más tarde, en 1905, Einstein publicó otro artículo presentando E = mc ².

En 1908, Max Planck respaldó la teoría de Einstein y la denominó "relatividad". Ese mismo año, Hermann Minkowski pronunció un famoso discurso sobre el espacio y el tiempo en el que demostró que la relatividad es autoconsistente y desarrolló aún más la teoría. Estos acontecimientos obligaron a la comunidad de físicos a tomar en serio la relatividad. A partir de entonces, la relatividad fue siendo cada vez más aceptada.

En 1912, Einstein y Lorentz fueron propuestos para el premio Nobel de Física por sus trabajos pioneros sobre la relatividad. Desgraciadamente, la relatividad fue tan controvertida entonces, y siguió siéndolo durante tanto tiempo, que nunca se concedió un premio Nobel por ella.

• El experimento de Michelson-Morley, que no logró detectar ninguna diferencia en la velocidad de la luz en función de la dirección del movimiento de la misma.
• El experimento de Fizeau, en el que el índice de refracción de la luz en el agua en movimiento no puede ser inferior a 1. Los resultados observados se explican por la regla relativista de adición de velocidades.
• La energía y el momento de la luz obedecen a la ecuación E = p c {\displaystyle E=pc} . (En la física newtoniana, se espera que sea E = 1 2 p c {\displaystyle E={begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}pc} .)
• El efecto doppler transversal, que consiste en que la luz emitida por un objeto que se mueve rápidamente se desplaza hacia el rojo debido a la dilatación del tiempo.
• La presencia de muones creados en la atmósfera superior en la superficie de la Tierra. La cuestión es que los muones tardan mucho más tiempo que la vida media en llegar a la superficie de la Tierra, incluso a casi la velocidad de la luz. Su presencia puede considerarse como debida a la dilatación del tiempo (desde nuestro punto de vista) o a la contracción de la longitud de la distancia a la superficie terrestre (desde el punto de vista de los muones).
• Los aceleradores de partículas no pueden construirse sin tener en cuenta la física relativista.

• La relatividad general