Reloj de luz

El reloj de luz es una forma sencilla de mostrar una característica básica de la relatividad especial. El reloj está diseñado para funcionar haciendo rebotar un destello de luz en un espejo lejano y utilizando su retorno para desencadenar otro destello de luz, contando mientras tanto cuántos destellos se han producido en el camino. Es fácil demostrar que los habitantes de la Tierra que observan el vuelo de una nave espacial con un reloj de este tipo lo verían funcionar con relativa lentitud. Este efecto se llama dilatacióndel tiempo.

Antes de estudiar el reloj de la luz, consideremos otro tipo de relatividad. Imaginemos que alguien está regateando una pelota de baloncesto en la bodega de un gran avión de carga. El jugador de baloncesto se mueve en la misma dirección que el avión. Las demás personas del avión le ven moverse uno o dos metros mientras hace un regate. Entre el momento en que el balón rebota la primera vez y el segundo, ha pasado aproximadamente un segundo. Pero cuando se produjo el primer rebote el balón de baloncesto estaba sobre Gibraltar, y cuando se produjo el segundo rebote el balón de baloncesto estaba sobre el agua más cerca de España. Por lo tanto, el balón de baloncesto se ha movido 280 metros con respecto a la Tierra.

Consideremos ahora una cuestión algo similar sobre el movimiento relativo. Esta vez vamos a considerar lo que ven las personas que miran las estrellas desde el Polo Norte cuando una nave espacial muy rápida les sobrevuela. Podemos utilizar el álgebra y el teorema de Pitágoras para calcular cuánto se ralentiza el tiempo en la nave espacial. Lo único que necesitamos es la ecuación que relaciona la distancia, d, el índice o velocidad de desplazamiento, r, y el tiempo, t. La ecuación es

d = rt

La velocidad de la luz es constante, por lo que aplicaremos este valor a dos problemas. Llamaremos a la velocidad de la luz c, ya que es la letra que los científicos suelen utilizar para nombrarla.

El reloj se hace colocando una salida de luz en la parte inferior de un poste largo, un espejo en la parte superior del poste y un detector de luz electrónico en la parte inferior del poste. El reloj se pone en marcha cerrando brevemente un interruptor que envía un parpadeo de luz desde la parte inferior del poste hasta la parte superior, donde se refleja de nuevo en la parte inferior del poste. Cuando el detector de luz en la parte inferior del poste ve el parpadeo de luz, hace dos cosas. Añade uno al contador que está unido a él, y lanza otro parpadeo de luz hacia el espejo. Cuando ese parpadeo de luz vuelve a la parte inferior, la cuenta cambia a dos, y se dispara otro parpadeo de luz. Dado que la luz viaja muy rápidamente (300.000 kilómetros/segundo), por cada segundo medido por un reloj ordinario el reloj de luz "marcará" un número muy grande de veces.

Para facilitar las matemáticas, diremos que el polo mide medio kilómetro. Por tanto, si nos situamos junto al reloj de luz que está construido al lado del gran telescopio del Polo Norte, veremos que la luz recorre un kilómetro por cada "tick" del reloj de luz. Como la distancia recorrida, d, es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo, y la velocidad implicada es c, tenemos la ecuación

d = ct

y podemos resolver esta ecuación para t para saber cuánto tiempo en segundos es cada "tick".

1 km = 300.000 km/segundo * t segundos

t segundos = 1 km/300.000 (km/segundo) = 1/300.000 segundos = 0,00000333...3 segundos

En otras palabras, cada "tick" del reloj de la luz tardará 0,00000333...3 segundos.

Si una nave espacial volara en línea recta pasando por encima del Polo Norte a una gran fracción de la velocidad de la luz, y tuviera un reloj similar, la gente que observara su paso vería que el espejo de la parte superior del polo se ha movido desde directamente por encima de la luz que emite, por lo que la luz viajaría a lo largo de la línea marcada h en el diagrama, y luego seguiría la otra hipotenusa de vuelta a la base del polo - que ahora se habría movido cierta distancia ya que la nave espacial se mueve tan rápido. Podemos calcular el tiempo que tardaría un tick según los habitantes de la Tierra. Sabemos que el polo de la nave espacial tiene una longitud de a, ya que es el mismo tipo de reloj que la gente utiliza en el Polo Norte. Queremos calcular t' , el tiempo que tarda en hacer un tictac el reloj de la nave espacial.

Sabemos que la nave espacial viajará 1/2 r t' mientras el parpadeo de la luz se dirige hacia arriba, hacia el espejo, y otra 1/2 r t' mientras el parpadeo de la luz se dirige hacia abajo, hacia la base del poste. Ese cálculo nos da la longitud de la línea b en el gráfico. Conocemos a, así que podemos calcular h por el teorema de Pitágoras:

h = √(a ²+ (rt' /2) ²)

Así que la distancia total que recorre la luz es de 2 h o d = 2 √(a ²+ (rt' /2) ²)

También sabemos que la velocidad de la luz, c, es constante. No importa quién la mida, resulta ser la misma velocidad. Así que podemos utilizar ese hecho para obtener otra forma de calcular cuánto tarda el destello de luz en ir desde la base hasta la cima del polo y volver:

t' = d/c

En otras palabras, d = c t' .

Así que podemos escribir

c t' = 2 √(a ²+ (rt' /2) ²)

1/2 c t' = √(a ²+ (rt' /2) ²)

Para resolver la ecuación anterior, necesitaremos

Cuadrar ambos lados
Divide ambos lados por t' ²
Multiplica ambos lados por 4
Dividir ambos lados por c ²
Simplificar c ²/ c ²
Resta r² /c² de ambos lados
Sacar la raíz cuadrada de ambos lados
Multiplica ambos lados por t'
Divide ambos lados por √(1-r²/c ²)

Resolviendo la ecuación anterior encontramos que:

t' = 2a/(c√(1-r ²/c ²)

El tiempo entre ticks del reloj en el Polo Norte es 2a/c, por lo que podemos escribir:

t' = t/√(1-r ²/c ²)

Si t = 1 segundo, entonces si la nave espacial viaja a la mitad de la velocidad de la luz, t' = 1,1547 seg.

Experimenta con varias velocidades de desplazamiento en: http://www.1728.org/reltivty.htm

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es el reloj de luz?

R: El reloj de luz es un dispositivo diseñado para demostrar una característica básica de la Relatividad Especial. Funciona haciendo rebotar un destello de luz en un espejo distante y utilizando su retorno para desencadenar otro destello de luz, mientras cuenta cuántos destellos se han producido a lo largo del camino.

P: ¿Qué es la dilatación del tiempo?

R: La dilatación del tiempo es un efecto que se produce cuando las personas en la Tierra observan el sobrevuelo de una nave espacial con un reloj de luz. Verán que hace tictac relativamente despacio debido a los efectos de la relatividad.

P: ¿Cómo podemos calcular cuánto se ralentiza el tiempo en la nave espacial?

R: Podemos utilizar el álgebra y el teorema de Pitágoras para calcular cuánto se ralentiza el tiempo en la nave espacial. Tenemos que aplicar la ecuación d = rt (la distancia es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo) y utilizar la velocidad constante de la luz c en dos problemas.

P: ¿Cómo funciona el reloj de luz?

R: El reloj de luz consiste en una salida de luz en la parte inferior de un palo largo, con un espejo en la parte superior y un detector electrónico en la parte inferior. Cuando se pone en marcha, un parpadeo de luz va de abajo hacia arriba, donde se refleja de nuevo hacia abajo al ser detectado por el detector de la parte inferior, que añade una cuenta al contador adjunto y vuelve a disparar otro parpadeo hacia arriba. Este proceso continúa hasta que se detiene o se reinicia.

P: ¿Qué ecuación necesitamos para este cálculo?

R: Necesitamos t' = 2a/(c√(1-r2/c2)) que establece que t' (tiempo entre tictacs del reloj en el Polo Norte) es igual a 2a/c dividido por √(1-r2/c2). Donde t = 1 segundo, si se viaja a la mitad de la velocidad de la luz entonces t' = 1,1547 s.

P: ¿Qué tiene que ver el teorema de Pitágoras con este cálculo?

R: El teorema de Pitágoras nos ayuda a averiguar h (la hipotenusa), que forma parte de nuestra ecuación para calcular cuánto dura cada tic en segundos (d=ct). Conocer h nos permite resolver para t', que nos dice cuánto tarda cada tic según las personas en la Tierra que observan desde el Polo Norte, así como las que están a bordo de la propia nave que viaja muy rápido sobre ellos