Ecuaciones de Maxwell

En la década de 1860, James Clerk Maxwell publicó unas ecuaciones que describen cómo las partículas cargadas dan lugar a una fuerza eléctrica y magnética por unidad de carga. La fuerza por unidad de carga se denomina campo. Las partículas pueden estar inmóviles o en movimiento. Estas ecuaciones, junto con la ecuación de la fuerza de Lorentz, proporcionan todo lo necesario para calcular el movimiento de las partículas clásicas en campos eléctricos y magnéticos.

Las ecuaciones de Maxwell describen cómo las cargas eléctricas y las corrientes eléctricas crean campos eléctricos y magnéticos. Además, describen cómo un campo eléctrico puede generar un campo magnético, y viceversa.

La primera ecuación permite calcular el campo eléctrico creado por una carga. La segunda permite calcular el campo magnético. Las otras dos describen cómo los campos "circulan" alrededor de sus fuentes. Los campos magnéticos "circulan" en torno a corrientes eléctricas y campos eléctricos variables en el tiempo, ley de Ampère con corrección de Maxwell, mientras que los campos eléctricos "circulan" en torno a campos magnéticos variables en el tiempo, ley de Faraday.

Ecuaciones de Maxwell en las formas clásicas

Nombre	Forma diferencial	Forma integral
La ley de Gauss:	∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho } $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	∮ S D ⋅ d A = ∫ V ρ ⋅ d V {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \punto dathbf {A} = punto _{V} {rho} {cdot dV} $\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho \cdot dV$
Ley de Gauss para el magnetismo (ausencia de monopolos magnéticos):	∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	∮ S B ⋅ d A = 0 {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B}} \Punto de dathbf A = 0. $\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0$
La ley de inducción de Faraday:	∇ × E = - ∂ B ∂ t { {\displaystyle \nabla \mathbf {E} =-{frac {\partial \mathbf {B}} {{parcial t}} $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	∮ C E ⋅ d l - ∮ C B × v ⋅ d l = - d d t ∫ S B ⋅ d A {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E}} \Punto de la matriz de la tierra. Punto de la matriz de la tierra. \N - punto _{C} {mathbf} {E} - punto d{mathbf} {l} = - d sobre dt, punto _{S} {mathbf {B} \d{mathbf {A}} } $\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} -\oint _{C}\mathbf {B} \times \mathbf {v} \cdot d{\mathbf {l} }=-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$
La ley de Ampère (con la extensión de Maxwell):	∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \mathbf {H} =\mathbf {J} +\frac {\partial \mathbf {D} +{{frac}} {{parcial}} {{mathbf}} {{d}} {{parcial t}} $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A + ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d A {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} = punto _{S} {mathbf} {J} \...punto de la matriz A... +int _{S} {\frac {{parcialmente} {D}} {{parcial t}} +int _{S} {frac} {parcial d}{mathbf {A}} } $\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A}$

donde la siguiente tabla proporciona el significado de cada símbolo y la unidad de medida del SI:

Símbolo	Significado	Unidad de medida del SI
E {\displaystyle \mathbf {E} } $\mathbf {E}$	campo eléctrico	voltios por metro
H {\displaystyle \mathbf {H}} } $\mathbf {H}$	intensidad del campo magnético	amperios por metro
D {\displaystyle \mathbf {D}} } $\mathbf {D}$	campo de desplazamiento eléctrico	culombios por metro cuadrado
B {\displaystyle \mathbf {B} } $\mathbf {B}$	La densidad de flujo magnético también se llama la inducción magnética.	tesla, o lo que es lo mismo weber por metro cuadrado
ρ {\displaystyle \ \rho \ } $\ \rho \$	densidad de carga eléctrica libre, sin contar las cargas dipolares ligadas en un material.	culombios por metro cúbico
J {\displaystyle \mathbf {J} } $\mathbf {J}$	densidad de corriente libre, sin contar las corrientes de polarización o magnetización ligadas a un material.	amperios por metro cuadrado
d A {\displaystyle d\mathbf {A} } $d\mathbf {A}$	elemento vectorial diferencial de la superficie A, con magnitud muy pequeña y dirección normal a la superficie S	metros cuadrados
d V {\displaystyle dV\ } $dV\$	elemento diferencial del volumen V encerrado por la superficie S	metros cúbicos
d l {\displaystyle d\mathbf {l} } $d\mathbf {l}$	elemento vectorial diferencial de longitud de trayectoria tangencial al contorno C que encierra la superficie c	metros
v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$	velocidad instantánea del elemento de línea d l {\displaystyle d\mathbf {l} } } $d\mathbf {l}$ definida anteriormente (para circuitos en movimiento).	metros por segundo

∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } $\nabla \cdot$ es el operador de divergencia (unidad SI: 1 por metro),

∇ × {\displaystyle \nabla \times } $\nabla \times$ es el operador de rizo (unidad SI: 1 por metro).

El significado de las ecuaciones

La densidad de carga y el campo eléctrico

∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho } $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$ ,

donde ρ {\displaystyle {\rho }} ${\rho }$ es la densidad de carga eléctrica libre (en unidades de C/m ³), sin contar las cargas dipolares ligadas en un material, y D {\displaystyle \mathbf {D} $\mathbf {D}$ es el campo de desplazamiento eléctrico (en unidades de C/m )². Esta ecuación es como la ley de Coulomb para cargas sin movimiento en el vacío.

La siguiente forma integral (por el teorema de la divergencia), también conocida como ley de Gauss, dice lo mismo:

∮ A D ⋅ d A = Q encerrado {\displaystyle \oint _{A}\mathbf {D}} \Punto de la matriz de A = Q encerrado. $\oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{\text{enclosed}}$

d A {\displaystyle d\mathbf {A} } $d\mathbf {A}$ es el área de un cuadrado diferencial en la superficie cerrada A. La normal de la superficie que apunta hacia fuera es la dirección, y Q encerrado {\displaystyle Q_{text{enclosed}} $Q_{\text{enclosed}}$ es la carga libre que está dentro de la superficie.

En un material lineal, D {\displaystyle \mathbf {D}} está directamente relacionado con el campo eléctrico E {\mathbf {E}}. $\mathbf {D}$ está directamente relacionado con el campo eléctrico E $\mathbf {E}$ con una constante llamada permitividad, ε {\displaystyle \varepsilon } $\varepsilon$ (Esta constante es diferente para diferentes materiales):

D = ε E {\año de la pantalla \año de la pantalla {D} =\año de la pantalla \año de la pantalla {E}} } $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$ .

Se puede pretender que un material sea lineal, si el campo eléctrico no es muy fuerte.

La permitividad del espacio libre se llama ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} $\varepsilon _{0}$ y se utiliza en esta ecuación:

∇ ⋅ E = ρ t ε 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} = {\frac {\rho _{t}}{varepsilon _{0}}}} $\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{t}}{\varepsilon _{0}}}$

Aquí E {\displaystyle \mathbf {E} $\mathbf {E}$ es el campo eléctrico de nuevo (en unidades de V/m), ρ t {\displaystyle \rho _{t}} $\rho _{t}$ es la densidad de carga total (incluyendo las cargas ligadas), y ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} $\varepsilon _{0}$ (aproximadamente 8,854 pF/m) es la permitividad del espacio libre. También se puede escribir ε {\displaystyle \varepsilon } $\varepsilon$ como ε 0 ⋅ ε r {\displaystyle \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}}. $\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}$ . Aquí, ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} $\varepsilon _{r}$ es la permitividad del material cuando se compara con la permitividad del espacio libre. Esto se denomina permitividad relativa o constante dieléctrica.

Véase también la ecuación de Poisson.

La estructura del campo magnético

∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

B {\displaystyle \mathbf {B} } $\mathbf {B}$ es la densidad de flujo magnético (en unidades de tesla, T), también llamada inducción magnética.

Esta siguiente forma integral dice lo mismo:

∮ A B ⋅ d A = 0 {\displaystyle \oint _{A}\mathbf {B}} \Punto de A y B = 0. $\oint _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0$

El área de d A {\displaystyle d\mathbf {A} } $d\mathbf {A}$ es el área de un cuadrado diferencial sobre la superficie A {\displaystyle A} $A$ . La dirección de d A {\displaystyle d\mathbf {A} } $d\mathbf {A}$ es la normal de la superficie que apunta hacia afuera en la superficie de A {\displaystyle A} $A$ .

Esta ecuación sólo funciona si la integral se realiza sobre una superficie cerrada. Esta ecuación dice, que en cada volumen la suma de las líneas de campo magnético que entran es igual a la suma de las líneas de campo magnético que salen. Esto significa que las líneas de campo magnético deben ser bucles cerrados. Otra forma de decir esto es que las líneas de campo no pueden partir de algún lugar. Esta es la forma matemática de decir: "No hay monopolos magnéticos".

Un flujo magnético cambiante y el campo eléctrico

∇ × E = - ∂ B ∂ t { {\displaystyle \nabla \mathbf {E} =-{frac {\partial \mathbf {B}} {{parcial t}} $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

Esta siguiente forma integral dice lo mismo:

∮ s E ⋅ d s = - d Φ B d t {\displaystyle \oint _{s}\mathbf {E} \d dathbf {s} =-{frac {d\Phi _{mathbf {B}} }{dt}} $\oint _{s}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d\Phi _{\mathbf {B} }}{dt}}$

Aquí Φ B = ∫ A B ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{mathbf {B}} =int _{A} {mathbf {B} \d=int _{mathbf {A}} } $\Phi _{\mathbf {B} }=\int _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$

Esto es lo que significan los símbolos:

Φ_B es el flujo magnético que atraviesa el área A que describe la segunda ecuación,

E es el campo eléctrico que provoca el flujo magnético,

s es un camino cerrado en el que se induce la corriente, por ejemplo un cable,

v es la velocidad instantánea del elemento de línea (para los circuitos en movimiento).

La fuerza electromotriz es igual al valor de esta integral. A veces se utiliza este símbolo para la fuerza electromotriz: E {\displaystyle {\mathcal {E}} $\mathcal{E}$ No hay que confundirlo con el símbolo de la permitividad que se utilizaba antes.

Esta ley es como la ley de inducción electromagnética de Faraday.

Algunos libros de texto muestran el signo de la derecha de la forma integral con una N (N es el número de bobinas de alambre que están alrededor del borde de A) delante de la derivada del flujo. La N se puede tener en cuenta en el cálculo de A (múltiples bobinas de alambre significa múltiples superficies para el flujo de ir a través de), y es un detalle de ingeniería por lo que se deja fuera aquí.

El signo negativo es necesario para la conservación de la energía. Es tan importante que incluso tiene su propio nombre, la ley de Lenz.

Esta ecuación muestra la relación entre los campos eléctrico y magnético. Por ejemplo, esta ecuación explica cómo funcionan los motores eléctricos y los generadores eléctricos. En un motor o generador, el circuito de campo tiene un campo eléctrico fijo que provoca un campo magnético. Esto se llama excitación fija. La tensión variable se mide a través del circuito de inducido. Las ecuaciones de Maxwell se utilizan en un sistema de coordenadas a la derecha. Para utilizarlas en un sistema zurdo, sin tener que cambiar las ecuaciones, la polaridad de los campos magnéticos tiene que hacerse opuesta (esto no es incorrecto, pero es confuso porque no se suele hacer así).

La fuente del campo magnético

∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \mathbf {H} =\mathbf {J} +\frac {\partial \mathbf {D} +{{frac}} {{parcial}} {{mathbf}} {{d}} {{parcial t}} $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

H es la intensidad del campo magnético (en unidades de A/m), que se obtiene dividiendo el flujo magnético B por una constante llamada permeabilidad, μ (B = μH), y J es la densidad de corriente, definida por:

J = ∫ρ_qvdA

v es un campo vectorial llamado velocidad de deriva. Describe las velocidades de los portadores de carga que tienen una densidad descrita por la función escalar ρ _q.

En el espacio libre, la permeabilidad μ es la permeabilidad del espacio libre, μ₀ , que es exactamente 4π×10 ⁻⁷W/A-m, por definición. Asimismo, la permitividad es la permitividad del espacio libre ε ₀. Así, en el espacio libre, la ecuación es:

∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {{displaystyle \nabla \\\\Nmathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\\\Nvarepsilon _{0}\Nparcial \mathbf {E}. +\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac {\parcial \mathbf {E}} {{parcial t}} $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

La siguiente forma integral dice lo mismo:

∮ s B ⋅ d s = μ 0 I encerrado + μ 0 ε 0 ∫ A ∂ E ∂ t ⋅ d A {\displaystyle \oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{text{encircled}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{s} \Punto d...mathbf...s... =...m...i...texto...rodeado...+...m...varepsilon...int...A...frac...parcial...mathbf...E... {{parcial t}} {{cdot d{mathbf {A}} } $\oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\text{encircled}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\int _{A}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A}$

s es el borde de la superficie abierta A (cualquier superficie con la curva s como su borde está bien aquí), y Iencircled es la corriente rodeada por la curva s (la corriente a través de cualquier superficie se define por la ecuación Ithrough _A= ∫ _AJ-dA).

Si la densidad de flujo eléctrico no cambia muy rápido, el segundo término del lado derecho (el flujo de desplazamiento) es muy pequeño y puede omitirse, y entonces la ecuación es la misma que la ley de Ampere.

Formulación covariante

Sólo hay dos ecuaciones covariantes de Maxwell, porque el vector de campo covariante incluye el campo eléctrico y el magnético.

Nota matemática: En esta sección se utilizará la notación de índice abstracto.

En la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell para el vacío se escriben en términos de cuatro vectores y tensores en la forma "manifiestamente covariante". Esto se ha hecho para mostrar más claramente el hecho de que las ecuaciones de Maxwell (en el vacío) tienen la misma forma en cualquier sistema de coordenadas inerciales. Esta es la forma "manifiestamente covariante":

J b = ∂ a F a b {\displaystyle J^{b}=parcial _{a}F^{ab}\},\} } $J^{b}=\partial _{a}F^{ab}\,\!$ ,

0 = ∂ c F a b + ∂ b F c a + ∂ a F b c {\displaystyle 0=parcial _{c}F_{ab}+parcial _{b}F_{ca}+parcial _{a}F_{bc}} $0=\partial _{c}F_{ab}+\partial _{b}F_{ca}+\partial _{a}F_{bc}$

La segunda ecuación es la misma que:

0 = ε d a b c ∂ a F b c {\displaystyle 0=\varepsilon _{dabc}\partial ^{a}F^{bc}\},\} } $0=\varepsilon _{dabc}\partial ^{a}F^{bc}\,\!$

Aquí J a {\displaystyle \\\a} $\,J^{a}$ es la corriente 4, F a b {\displaystyle \a} $\,F^{ab}$ es el tensor de intensidad de campo (escrito como una matriz 4 × 4), ε a b c d {\displaystyle \a} $\,\varepsilon _{abcd}$ es el símbolo de Levi-Civita, y ∂ a = ( ∂ / ∂ c t , ∇ ) {\displaystyle \partial _{a}=(\partial /\partial ct,\nabla )} $\partial _{a}=(\partial /\partial ct,\nabla )$ es el gradiente 4 (por lo que ∂ a ∂ a {\displaystyle \partial _{a}\partial ^{a}} $\partial _{a}\partial ^{a}$ es el operador d'Alembertiano). (El a {\displaystyle a} en la primera ecuación se suma implícitamente, según la notación de Einstein). La primera ecuación tensorial dice lo mismo que las dos ecuaciones inhomogéneas de Maxwell: la ley de Gauss y la ley de Ampere con la corrección de Maxwell. La segunda ecuación dice lo mismo que las otras dos ecuaciones, las ecuaciones homogéneas: La ley de Faraday de la inducción y la ausencia de monopolos magnéticos.

J a {\displaystyle \\\\Nde J^{a}} $\,J^{a}$ también puede describirse de forma más explícita mediante esta ecuación: J a = ( c ρ , J → ) {\displaystyle J^{a}=\,(c\rho ,{\vec {J}})} $J^{a}=\,(c\rho ,{\vec {J}})$ (como un vector contravariante), donde se obtiene J a {\displaystyle \\a}} $\,J^{a}$ a partir de la densidad de carga ρ y la densidad de corriente J → {\displaystyle {\vec {J}} ${\vec {J}}$ . La corriente 4 es una solución a la ecuación de continuidad:

J a , a = 0 {\displaystyle J^{a}{}{,a},=0} $J^{a}{}_{,a}\,=0$

En términos del 4-potencial (como vector contravariante) A a = ( ϕ , A → c ) {\displaystyle A^{a}=\left(\phi ,{\vec {A}c\right)}, donde φ es el potencial eléctrico y A → {\displaystyle {\vec {A}} es el potencial vectorial magnético en el gauge de Lorentz ( ∂ a A a = 0). $A^{a}=\left(\phi ,{\vec {A}}c\right)$ , donde φ es el potencial eléctrico y A → {\displaystyle {\vec {A}} ${\vec {A}}$ es el potencial vectorial magnético en el gauge de Lorentz ( ∂ a A a = 0 ) {\displaystyle \left(\partial _{a}A^{a}=0\right)} $\left(\partial _{a}A^{a}=0\right)$ F puede escribirse como

F a b = ∂ b A a - ∂ a A b {\displaystyle F^{ab}=parcial ^{b}A^{a}-parcial ^{a}A^{b},\}. } $F^{ab}=\partial ^{b}A^{a}-\partial ^{a}A^{b}\,\!$

que conduce al tensor de rango 2 de la matriz 4 × 4:

F a b = ( 0 - E x c - E y c - E z c E x c 0 - B z B y E y c B z 0 - B x E z c - B y B x 0 ) . {\displaystyle F^{ab}=left({\begin{matrix}0&-{frac {E_{x}}{c}&-{frac {E_{y}}{c}&-{frac {E_{z}}{c}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right). } $F^{ab}=\left({\begin{matrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).$

El hecho de que tanto el campo eléctrico como el magnético se combinen en un solo tensor muestra el hecho de que, según la relatividad, ambos son partes diferentes de la misma cosa: al cambiar los marcos de referencia, lo que parece un campo eléctrico en un marco puede parecer un campo magnético en otro marco, y al revés.

Utilizando la forma tensorial de las ecuaciones de Maxwell, la primera ecuación implica

◻ F a b = 0 {\displaystyle \Box F^{ab}=0} $\Box F^{ab}=0$ (Véase el cuatro-potencial electromagnético para la relación entre el d'Alembertian del cuatro-potencial y el cuatro-corriente, expresado en términos de la notación del operador vectorial más antiguo).

Diferentes autores utilizan a veces diferentes convenciones de signos para estos tensores y 4 vectores (pero esto no cambia lo que significan).

F a b {\displaystyle \\\\\a} $\,F^{ab}$ y F a b {\displaystyle \a} $\,F_{ab}$ no son lo mismo: están relacionados por el tensor métrico de Minkowski η {\a} {\a} $\eta$ : F a b = η a c η b d F c d {\a} =\a}, \a}, \a}. $F_{ab}=\,\eta _{ac}\eta _{bd}F^{cd}$ . Esto cambia el signo de algunos de los componentes de F; se pueden ver dualidades métricas más complejas en la relatividad general.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué describen las ecuaciones de Maxwell?

R: Las ecuaciones de Maxwell describen cómo las cargas eléctricas y las corrientes eléctricas crean campos eléctricos y magnéticos.

P: ¿Cómo puede un campo eléctrico generar un campo magnético?

R: Las ecuaciones de Maxwell describen cómo un campo eléctrico puede generar un campo magnético.

P: ¿Quién desarrolló las ecuaciones de Maxwell y cuándo se publicaron?

R: Las ecuaciones fueron desarrolladas por James Clerk Maxwell y se publicaron en la década de 1860.

P: ¿Qué es un campo?

R: Un campo es la fuerza por unidad de carga generada por partículas cargadas.

P: ¿Se pueden utilizar las ecuaciones para calcular el movimiento de las partículas en campos eléctricos y magnéticos?

R: Sí, las ecuaciones, junto con la ecuación de la fuerza de Lorentz, pueden utilizarse para calcular el movimiento de partículas clásicas en campos eléctricos y magnéticos.

P: ¿Qué permite calcular la primera ecuación de las ecuaciones de Maxwell?

R: La primera ecuación permite calcular el campo eléctrico creado por una carga.

P: ¿Qué describen las otras dos ecuaciones de las ecuaciones de Maxwell?

R: Las otras dos ecuaciones describen cómo los campos 'circulan' alrededor de sus fuentes. Los campos magnéticos 'circulan' alrededor de corrientes eléctricas y campos eléctricos variables en el tiempo, mientras que los campos eléctricos 'circulan' alrededor de campos magnéticos variables en el tiempo.