En matemáticas, una base o radix es el número de dígitos diferentes o la combinación de dígitos y letras que un sistema de conteo utiliza para representar números. Por ejemplo, la base más utilizada hoy en día es el sistema decimal. Como "dec" significa 10, utiliza los 10 dígitos del 0 al 9. La mayoría de la gente piensa que utilizamos la base 10 porque tenemos 10 dedos.

Una base suele ser un número entero mayor que 1, aunque las bases no enteras también son matemáticamente posibles. La base de un número puede escribirse junto al número: por ejemplo, 23 8 {\displaystyle 23_{8}}{\displaystyle 23_{8}} significa 23 en base 8 (que es igual a 19 en base 10). Sobre Trecentosexagesimal, Grados de ángulo.

Sistemas posicionales: cómo funciona una base

En un sistema posicional, el valor de cada dígito depende de su posición (o lugar) y de la base. Un número con dígitos dn dn−1 ... d1 d0 en base b representa

  • dn·b^n + dn−1·b^(n−1) + ... + d1·b + d0

Por ejemplo, 23 en base 8 (238) vale 2·8 + 3 = 19 en base 10. En general, los dígitos permitidos van desde 0 hasta b−1. Si b > 10, se usan letras para representar valores mayores que 9 (por ejemplo, en hexadecimal: A = 10, B = 11, ..., F = 15).

Ejemplos comunes

  • Decimal (base 10): el sistema usual para la vida cotidiana. Dígitos: 0–9.
  • Binario (base 2): usado en informática. Dígitos: 0 y 1. Ejemplo: 11012 = 1·2^3 + 1·2^2 + 0·2 + 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310.
  • Octal (base 8): dígitos 0–7; se usó históricamente en informática. Ejemplo ya dado: 238 = 1910.
  • Hexadecimal (base 16): muy usado en programación y representación compacta de bytes. Dígitos: 0–9 y A–F (A=10,...,F=15). Ejemplo: 1A316 = 1·16^2 + 10·16 + 3 = 256 + 160 + 3 = 41910.
  • Sexagesimal (base 60): sistema antiguo que se mantiene en la medida del tiempo y los ángulos (60 segundos, 60 minutos por grado).

Conversión entre bases

Conversiones básicas:

  • De base b a decimal: aplicar la fórmula posicional (sumar dígitos multiplicados por potencias de b). Ej.: 10112 = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2 + 1 = 1110.
  • De decimal a base b: dividir repetidamente entre b y tomar los restos (el último resto es el dígito más significativo). Ej.: convertir 1310 a binario:
    1. 13 ÷ 2 = 6 resto 1 (LSB)
    2. 6 ÷ 2 = 3 resto 0
    3. 3 ÷ 2 = 1 resto 1
    4. 1 ÷ 2 = 0 resto 1 (MSB)
    Resultado: 11012.
  • Fracciones (parte fraccionaria): multiplicar la parte fraccionaria por la base y tomar la parte entera como dígito; repetir con la nueva fracción. Ej.: 0.62510 a binario:
    1. 0.625·2 = 1.25 → dígito 1, fracción 0.25
    2. 0.25·2 = 0.5 → dígito 0, fracción 0.5
    3. 0.5·2 = 1.0 → dígito 1, fracción 0.0
    Resultado: 0.1012.

Variantes y generalizaciones

  • Bases no enteras, negativas o complejas: existen sistemas numéricos con bases no enteras (por ejemplo, base phi o "phinary"), con bases negativas (por ejemplo, base −2) y hasta bases complejas; son objetos estudiados en teoría de numeración.
  • Notación: habitualmente se indica la base con un subíndice, p. ej. 238 o 1A316; también puede indicarse usando sufijos o prefijos en contextos informáticos (0x para hexadecimal, b para binario en algunos lenguajes, etc.).

Consejos prácticos

  • Para programación y electrónica, memorizar conversiones entre binario, octal y hexadecimal es muy útil (cada 4 bits = 1 hex, cada 3 bits = 1 octal).
  • Al convertir mentalmente, escribe las potencias de la base (1, b, b^2, b^3...) para sumar rápidamente los valores posicionales.
  • Recuerda que la representación de algunos números racionales en una base dada puede ser periódica (por ejemplo, 1/3 en decimal = 0.333..., en base 3 = 0.1).

Resumen: una base numérica determina cuántos dígitos distintos se usan y cómo se atribuye valor a la posición de cada dígito. Los sistemas posicionales (decimal, binario, hexadecimal, etc.) son eficientes y flexibles para representar cantidades enteras y fraccionarias; conocer las reglas de conversión y las propiedades de cada base facilita el trabajo en matemáticas y en informática.